细数动量定理的涵义和应用

成金德

(浙江省义乌市第二中学 322000)

动量定理FΔt=mv-mv0作为力学中的重要规律之一，它反映了物体受到的冲量与动量变化间的关系，尤其是解决诸如短时间的力作用问题可谓非它莫属.正因为这样，动量定理是中学物理教学的重点内容，也是高考必考的知识点.如何正确理解动量定理的物理涵义和灵活运用至关重要，本文就此问题作详细的分析和探讨.

1 对F的理解

1.1 F是恒力

动量定理FΔt=mv-mv0中的F可以是恒力.

例1一个质量为m=1 kg的小球，从距地面h=5 m高处，以初速度v0=10 m/s沿水平方向抛出，空气阻力不计，g取10 m/s2.则小球落地时的速度多大？

分析由于小球作平抛运动，其竖直方向的分运动是自由落体运动，即

代入数据解得小球的落地时间：

在小球飞行过程中，小球只受重力作用，设小球在竖直方向获得的分速度为vy，由动量定理得：

mgt=mvy-0，

解得：vy=gt=10 m/s.

由速度的合成知识可得小球落地时的速度大小：

点评：小球只受到重力的作用，且重力是恒力，重力只改变竖直方向的动量.

1.2 F是变力

当F是变力时，由动量定理FΔt=mv-mv0求出的F一般是平均作用力.

例2(2018年全国Ⅱ卷)高空坠物极易对行人造成伤害.若一个50 g的鸡蛋从一居民楼的25层坠下，与地面的撞击时间约为2 ms，则该鸡蛋对地面产生的冲击力约为( ).

A.10 N B.102N C.103N D.104N

分析由于每层楼的高度大约是3 m，由动能定理可求出鸡蛋落地瞬间的速度为：

鸡蛋落地与地面发生相互作用的过程中，鸡蛋受到地面的支持力和重力的作用，取向上方向为正方向，应用动量定理得：

(FN-mg)t=0-(-mv)

代入数据解得：FN≈1×103N，由牛顿第三定律可知鸡蛋对地面产生的冲击力约为103N，因此，选项C正确.

点评鸡蛋与地面间的作用力是一个变力，本题中应用动量定理求出的鸡蛋对地面的冲击力是平均作用力.

1.3 F是某个方向的力

动量定理也可写成分量形式，即FxΔt=mvx-mv0x和FyΔt=mvy-mv0y.

例3某质量为m的物体A，现以速度v0沿水平方向抛出，由于物体A受到水平向左的恒力F的作用，当物体A下落了一段距离后，其水平速度的大小仍为v0，但水平速度的方向与原水平速度方向相反，如图1所示.则此时物体的速度多大？

图1

分析物体A在下落运动的过程中，受到重力和水平向左的恒力F的作用，因此，物体A在水平方向(设为x方向)作匀减速运动；在竖直方向(设为y方向)作初速度为零的匀加速运动，则在两个方向上分别应用动量定理得：

在x方向：Ft=mv0-(-mv0)

在y方向：mgt=mvy-0

由速度的合成原理得：

点评物体A在下落运动的过程中，受到水平方向的恒力F和竖直方向的重力mg作用，则物体A在水平方向和竖直方向的动量均要发生变化，因此，可以分别对两个方向应用动量定理求出两个分速度，再应用矢量合成法则求出合速度.

1.4 F是电学中的力

动量定理FΔt=mv-mv0中的F可以是力学中的重力、弹力和摩擦力，也可以是电学中的电场力、安培力.

例4如图2所示，平行光滑金属轨道ABCD和A′B′C′D′固定在水平地面上，轨道间的距离为d=0.8m，DD′之间连接一个定值电阻，其阻值R=0.3Ω.倾角为θ=30°的倾斜轨道与水平轨道顺滑连接，BB′C′C是宽为x=0.25m的矩形区域，在该区域内存在方向竖直向上、磁感应强度为B=1.0T的匀强磁场.质量为m=0.2kg、电阻为r=0.1Ω的导体棒在倾斜轨道上与BB′距离L=1.6m处静止释放.取g=10m/s2，求导体棒离开匀强磁场B时的速度大小v；

图2

分析(1)导体棒从斜面上下滑到水平面上时，设此时的速度为v1，应用机械能守恒定律得：

代入数据解得：v1=4m/s

设导体棒离开匀强磁场B时的速度为v，导体棒在磁场B区域中运动时，受到安培力的作用，根据动量定理可得：

而：ΔΦ=Bdx

解以上各式得：

=2m/s

点评导体棒进入磁场后，由于安培力的作用，使导体棒做减速运动，要求出导体棒离开磁场时的速度，必须应用动量定理.

2 对m的理解

2.1 m可以是单个物体的质量

动量定理FΔt=mv-mv0中的m可以是单个物体的质量.

例5某运动员用头颠球，若足球用头顶起，每次上升高度为h=0.80 m，足球的质量为m=0.40kg，与头部作用时间Δt为0.1 s，空气阻力不计，g=10 m/s2，求足球对头部的作用力.

分析设竖直向上为正方向，由于空气阻力不计，所以顶球前后足球的速度大小相同，其速度由运动学公式得：

v2=2gh

在用头部颠球的过程中，设头部对足球的作用力为FN，对足球应用动量定理得：

(FN-mg)Δt=mv-(-mv)

解以上两式得：

=36 N，

根据牛顿第三定律可知，足球对头部的作用力为36 N，方向竖直向下.

点评在应用动量定理时，本题中只涉及足球这个物体，其表达式中的m即为足球的质量.

2.2 m可以是多个物体的质量

动量定理FΔt=mv-mv0中的m可以是多个物体的质量.

例6用细线将质量分别为M、m的金属块与木块连在一起浸在水中，开始时木块的上表面刚好与水面相平，如图3所示.现从静止释放后，系统以加速度a加速下沉，经t1时间细线突然断裂，又经t2时间木块回到初始位置，且具有向上的速度v.求此时金属块的速度vM.

图3

分析取竖直向下方向为正方向.对由两物体组成的系统应用牛顿第二定律得：F=(M+m)a

对系统在整个运动过程应用动量定理得：

F(t1+t2)=(MvM-mv)-0

解以上两式得：

点评在本题中，涉及金属块和木块两个物体，但依然可以应用动量定理.如果两个物体的速度相同，则可以将两个物体合并为一个，但如果两个物体的速度不相同，在计算动量时可分别计算.

2.3 m可以是连续介质的质量

动量定理FΔt=mv-mv0中的m可以是连续介质的质量，尤其是某一部分液体的质量.

例7(2019年高考全国Ⅰ卷)最近，我国为“长征九号”研制的大推力新型火箭发动机联试成功，这标志着我国重型运载火箭的研发取得突破性进展．若某次实验中该发动机向后喷射的气体速度约为3km/s，产生的推力约为4.8×106N，则它在1s时间内喷射的气体质量约为( ).

A.1.6×102kg B.1.6×103kg

C.1.6×105kg D.1.6×106kg

分析设发动机在1s内喷射出的气体的质量为m，取这部分连续气体作为研究对象，这部分连续气体受到运载火箭的推力和重力的作用，由于重力远小于推力，因此，这部分连续气体所受到的重力可以忽略不计.对这部分连续气体应用动量定理得：

Ft=mv-0

代入数据解得：

可见，选项B正确.

点评从火箭发动机内喷出连续的气体介质，由于反冲使火箭获得方向向上的加速度.对此类连续介质的问题，可以取某一部分连续介质为研究对象，如本题取1s内喷出的气体为研究对象，再应用动量定理求解相关的问题.

2.4 涉及的物体的质量m可以是变化的

动量定理FΔt=mv-mv0中的m可以是变化的，即动量定理对变质量的物体也可应用.

例8宇宙飞船进入一个宇宙尘埃区，每前进x=1 m，就有n=10个平均质量为m=2×10-7kg的微尘粒与飞船相撞，并附在飞船上.若尘埃微粒原来的速度不计，要保持飞船的速度v=10km/s，飞船喷气产生的推力至少应维持多大？

分析取飞船为研究对象，由于飞船在运动过程中，有微粒附在飞船上，使得飞船的质量不断增大，为使飞船的速度保持不变，需要飞船向后喷气获得一个推力来维持.设这个推力为F，在飞船前进x=1m的过程中，飞船增加的质量为ΔM=nm，经历的时间为t=x/v.则由动量定理得：

Ft=(M+ΔM)v-Mv

整理后得：

即飞船喷气产生的推力为200N.

点评本题涉及的飞船由于在运动过程中有微粒不断附着，使得飞船的质量发生变化.求解时，一般选取飞船和附着的微粒为研究对象.

3 对FΔt的理解

3.1 若F是恒力，则冲量FΔt是恒量

例9质量为m的物体以初速度v0做平抛运动，经过时间t，下落的高度为h，速度大小为v，不计空气阻力，在这段时间内，该物体的重力产生的冲量大小为( ).

A.mv-mv0B.mgt

分析由于物体所受的重力是恒力，则它的冲量大小为：FΔt=mgt.则选项B正确.

由于重力的作用，使得物体的动量发生了变化，设物体落地时沿竖直方向的分速度为vy，取竖直向下方向为正方向，根据动量定理可得：

FΔt=mgt=mvy-0

在竖直方向应用运动学公式可得：vy2=2gh

所以，重力产生冲量的大小为：

显然，选项D正确，故本题的正确选项为BD.

点评FΔt是指F在时间Δt内产生的冲量，如果F是恒力，则冲量FΔt是恒量.

3.2 若F是变力，则应用动量定理求出的冲量FΔt是平均值

例10在一光滑的水平面上，有一轻质弹簧，弹簧一端固定在竖直墙壁上，另一端紧靠着一物体A，已知物体A的质量m=4 kg，如图4所示.现用一水平力F作用在物体A上，并向左压缩弹簧，力F做功50 J后(弹簧仍处在弹性限度内)，突然撤去力F，物体A从静止开始运动.则当撤去力F后，弹簧的弹力对物体A的冲量大小为( ).

A.20 N·s B.50 N·s C.25 N·s D.40 N·s

图4

分析撤去力F后，在弹簧的弹力作用下，物体向右做加速运动.设弹簧恢复原长时物体A的速度为v.

根据动量定理得FΔt=mv-0

解以上几式得：

可见，选项A正确.

点评本题中涉及的弹簧的弹力是一个变力，则应用动量定理求出的冲量FΔt是一个平均值.

3.3 改变时间Δt，在冲量FΔt不变时，可以改变F的大小

例11杂技演员做高空表演时，为了安全常在下面挂一张很大的安全网，演员不小心从高处掉下落在网上，跟落在相同高度的地面上相比较，下列说法正确的是( ).

A.下落的人与安全网接触时间较长，人落在网上时冲量变化较小

B.下落的人与安全网接触时间较长，人落在网上时动量变化较小

C.下落的人与安全网接触时间较长，人落在网上时动量变化较大

D.下落的人与安全网接触时间较长，网对人的作用力比落在地上的作用力较小

分析杂技演员落在网上或者地面上，从速度v减小到零的过程中，动量的变化量为Δp=mv-0，显然，杂技演员落到网上或者地面上，最终动量的变化是相同的，所以，选项B、C错误；由动量定理FΔt=mv可知，人落在网上或者地面上时，冲量的变化是一样的，则选项A错误；根据动量定理FΔt=mv可知，人落在网上时接触时间长，则网对人的作用力较小，因此，选项D正确.

点评由动量定理FΔt=mv-mv0看到，当某物体的动量变化相同时，通过增大力的作用时间Δt，可以减小作用力F的大小.

4 对Δmv的理解

4.1 由于物体速度的变化而引起动量的变化，即P=Δmv=mΔv

例12如图5所示，一物体分别沿三个倾角不同的光滑斜面由静止开始分别从顶端下滑到底端C、D、E三处，三个过程中重力的冲量依次为I1、I2、I3,动量变化量的大小依次为Δp1、Δp2、Δp3，则有 ( ).

A.I1

C.Δp1=Δp2=Δp3D.Δp1<Δp2<Δp3

图5

答案：AC.

点评本题中的物体沿不同的斜面下滑的过程中，由于速度变化量的大小相等，则物体的动量变化量的大小也相等.

4.2 由于物体某部分的动量变化而引起整体动量的变化，即P=Δmv

例13如图6所示，一个下面装有轮子的贮气瓶停放在光滑的水平地面上，底端与竖直墙壁接触.现打开右端阀门，气体向外喷出，设喷口的面积为S，气体的密度为ρ，气体向外喷出的速度为v，则气体刚喷出时钢瓶底端对竖直墙面的作用力大小为多大？

图6

分析设Δt时间内从贮气瓶内喷出的气体的质量为：

Δm=ρSvΔt

对贮气瓶、瓶内气体和喷出的气体这个整体应用动量定理得：

FΔt=Δmv-0

解得：F=ρSv2

点评本题中，由于贮气瓶向外喷出气体，使得贮气瓶、瓶内气体和喷出的气体这个整体的动量发生变化，则贮气瓶必须受到一个外力的作用.

5 从选取过程上看

5.1 分过程应用

对于一个多过程问题，应用动量定理时，可以分过程应用.

例14质量为1 kg的物体静止放在足够大的水平桌面上，物体与桌面间的动摩擦因数为μ=0.4，有一大小为5 N的水平恒力F作用于物体上，使之加速前进，经3 s后撤去F，求物体运动的总时间．(g=10 m/s2)

分析在t1=3s这段时间内，在水平方向，物体受到水平恒力F和摩擦力f的作用，设末速度为v，则由动量定理得：(F-f)t1=mv-0

在撤去水平恒力F后至物体停止运动这段时间t2内，物体受到摩擦力f的作用，则由动量定理得：

-ft2=0-mv

而：f=μmg

解以上三式得：

则物体运动的总时间为：

t=t1+t2=3s+0.75s=3.75s

点评：本题涉及两个过程：F作用的过程和F撤去后的过程，可分别对这两个过程应用动量定理.

5.2 全过程应用

对于一个多过程问题，应用动量定理时，可以分过程应用.

例15如图7所示，A、B两小物块用平行于斜面的轻细线相连，均静止于斜面上．用平行于斜面向上的恒力拉A，使A、B同时由静止起以加速度a沿斜面向上运动．经时间t1，细线突然被拉断．再经时间t2，B上滑到最高点．已知A、B的质量分别为m1、m2，细线断后拉A的恒力不变，求B到达最高点时A的速度.

图7

分析对于由A、B两小物块组成的系统，受到的合外力始终不变，且大小为F合=(m1+m2)a

对A、B两小物块运动的全过程应用动量定理得：

(m1+m2)a(t1+t2)=m1vA

点评由A、B两小物块组成的系统经历两个过程，细线拉断前的运动和细线拉断后的运动.本题在整个过程中应用动量定理，显得简捷快速.

总之，要理解和掌握动量定理FΔt=mv-mv0的物理涵义和灵活应用，必须注意公式的适用条件，必须弄清各个物理量的物理意义，必须掌握应用定理的方法.