探讨功能关系的图像问题

李国海

(甘肃省民乐县第一中学 734500)

高考试题及平时的模考中涉及到的功能关系的图像问主要有：F-x图像、Ek-x图像(Ek指动能)、E-x图像(E指机械能)、Ep-x图像(EP指电势能)、Ep-r图像(EP指分子势能)等.正确解决功能关系的图像问题的关键在于对不同功能关系的正确理解以及能够从图像中得出正确的物理信息，如图像的面积表示什么？图像的斜率表示什么？图像的截距表示什么？高中物理中比较重要的功能关系有：动能定理、除重力或弹力而外的其他力做功与系统机械能变化的关系、电场力做功与电势能变化的关系、分子力做功与分子势能变化的关系等四种功能关系.下面主要向读者介绍高中物理中比较重要的几种功能关系图像.

1 F-x图像的物理意义

由W=F·x及微元法的知识可知，F-x图像与x轴包围的面积指F做的功W.

例1 如图1(a)图所示，轻质弹簧的左端与一质量m=0.5kg的物块相连，右端固定在竖直墙上，最初物块静止，且弹簧处于自然长度.以物块的初位置为原点，现对物块施加水平向右的外力F，外力F随物块相对于初位置的位移x的变化情况如图1(b)图所示.当物块运动到x=0.4m处时速度为零，已知物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.2，g=10m/s2，则此时弹簧的弹性势能为多少？

图1

解析F-x图像与x轴包围的面积指F做的功W，可得当物块运动到x=0.4m处时力F做的功为：

=3.5J

设这一过程中克服弹簧的弹力做的功为W弹，根据动能定理得：

W-W弹-μmg·x=0

解得：W弹=3.1J

则由弹簧的弹力做功的功能关系得，物块运动到x=0.4m处时的弹性势能为:EP=W弹=3.1J

2 物体运动的动能Ek随位置坐标x变化的关系图像

由动能定理F·x=Ek-Ek0得Ek=F·x+Ek0，所以Ek-x图像的斜率为合外力F，纵轴上的截距为初动能Ek0.

例22022年北京冬季奥运会混合双人冰壶比赛中，意大利队以11场比赛全胜的战绩获得金牌.意大利某队员以某一初速度将m=19kg的冰壶沿水平面抛出，由于冰壶受摩擦力的作用，冰壶的动能Ek随位移x变化图像如图2所示，g取10m/s2，则以下说法正确的是( ).

A.冰壶与冰面间的摩擦因数μ=0.05

B.冰壶与冰面间的摩擦因数μ=0.02

C.冰壶的总滑行时间t=5s

D.冰壶的总滑行时间t=10s

图2

答案:D

点评动能定理是高中学生学习的重中之重，此题通过Ek-x图像主要考察了学生对动能定理的理解程度.对于Ek-x图像问题，理解Ek-x图像的斜率、截距的物理意义是解决此类问题的关键.

3 系统的机械能E随位置坐标x变化的关系图像

对于某一系统，系统的机械能变化是由除重力或弹力(一般指弹簧的弹力)而外的其它力做功引起的，所以该系统的机械能的变化量等于除重力或弹力(一般指弹簧的弹力)而外的其它力做的功，若外力是恒力，则F其他·x=E-E0，即E=F其他·x-E0，所以E-x图像的斜率为除重力或弹力(一般指弹簧的弹力)而外的其它力F其他，纵轴上的截距为系统在初状态的机械能E0.

例3 一质量为m的物体从一固定斜面的顶端自由下滑，物体的动能和机械能随下滑距离s变化的图像如图3所示.已知斜面的倾角为30°，物体在下滑过程中所受到的摩擦阻力恒定，g=10m/s2.则物体下滑1m的过程中，下列说法正确的是( ).

图3

A．物体沿斜面下滑过程中，只有重力对物体做功

B．物体沿斜面下滑过程中，受到的摩擦阻力为f=2400N

C．物体的质量m=6kg

D．物体沿斜面下滑过程中，物体下滑时加速度a=4m/s2

答案：D

4 电荷的电势能Ep随电荷的位置坐标x变化的关系图像

静电力对电荷做正功，电荷的电势能减小；静电力对电荷做负功，电荷的电势能增加.静电力对电荷做的功等于电荷电势能的减少量，则:W电=EP初-EP末，所以Ep-x图像的斜率的绝对值表示电场力的大小.

例4 一带正电的粒子仅在静电力的作用下以某一初速度v0沿x轴的正方向运动，粒子的电势能Ep随位置坐标x变化的关系图像如图4所示，图像O～x2段是关于直线x=x1对称的直线，x2～x3段是曲线，则下列说法正确的是( ).

图4

A．0～x1段带电粒子做匀变速直线运动

B．在O、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的高低关系为φ3<φ2=φ0<φ1

C．0～x3段，x3处电场强度最小

D．0～x1段电场强度方向沿x轴负方向；x2～x3段的电场强度的方向沿x轴正方向

答案：AC

点评多数学生普遍认为有关带电粒子在静电场中的运动的知识较为抽象、难懂，尤其是涉及到功能关系问题.针对这一现状，一方面需要学生对这类问题多加练习，还需要学生通过类比物体在重力场中运动引起的能量变化来理解这部分知识.

5 分子势能Ep随分子间的距离r变化的关系图像

分子力对分子做正功，分子的分子势能减小；分子力对分子做负功，分子的分子势能增加.分子力对分子做的功等于分子势能的减少量，则:W=EP初-EP末，所以Ep-x图像斜率的绝对值表示分子力的大小.

例5 两分子组成的系统，分子势能Ep的大小与分子间的距离r有关.若规定甲、乙两分子相距无穷远时，它们组成的系统分子势能为零.若甲分子固定在坐标原点O，乙分子从距O点很远处以某一初速度v0向甲分子运动，两分子的分子势能Ep与分子间距r的关系如图5所示.不考虑其他作用力，下列说法正确的是( ).

图5

A．两分子的分子间距r由无穷远处向r2减小的过程中，两分子之间的分子力先增大后减小

B．两分子的分子间距r由r2减小到r1的过程中，分子力对乙分子做正功

C．乙分子能够运动到距离甲分子的距离小于r1的位置处

D．两分子的分子间距r=r2时，两分子之间的引力等于斥力

答案：ACD

点评分子势能Ep随分子间的距离r变化的关系图像是分子动理论知识的学习重点，也是难点.此题的综合性较强，要正确解决此题，不仅需要学生知道分子力做功与分子势能变化的关系，还需要知道Ep-x图像的斜率表示什么.

总之，功能关系的图像问题综合性较强，涉及的知识点较多.正确解决有关功能关系的图像问题，不仅需要学生深刻理解每一种功能关系，还需要学生能够根据图像得到相关的物理信息.