活用“平移齐次式” 妙解五年高考题

河北 郭天总 尹战平

2022年新高考Ⅰ卷的数学试题给广大考生留下了深刻的印象，好似一石激起千层浪，成了广泛议论的话题，网上对这套试题的评价是“难”，那到底难在哪儿了呢？就21题来说，这是一道中规中矩的以两直线斜率之和为定值考查直线与双曲线位置关系的问题，本题如果按照常规的通性通法去做，计算量确实很大，在考场上要想完整做对确实有难度，但如果能够抓住“两直线斜率之和为定值”这一条件，用“平移齐次式”去处理这个问题，可以起到事半功倍的效果，这也充分体现高考试题的选拔性.下面笔者就如何使用“平移齐次式”解决斜率之和或斜率之积为定值的问题进行简单的阐述，希望对各位同仁有所帮助.

一、“平移齐次式”的原理与步骤

“平移齐次式”的原理是将坐标原点平移到定点，这样问题就转化为一条直线与平移后的圆锥曲线的两个交点分别与坐标原点连线的斜率之和或之积的问题.需要注意的是坐标原点平移后，圆锥曲线的方程、点的坐标及直线的方程都会发生变化，但直线的斜率不会发生变化，“平移齐次式”正是利用这一点优化了解题过程，减少了计算量.

“平移齐次式”的基本步骤可以概括为一平移、二化简、三联立、四齐次、五韦达.下面以椭圆为例具体说明一下：

二化简：①式可化简为b2x2+a2y2+(2pb2x+2qa2y)+(b2p2+a2q2-a2b2)=0； ②

三联立：设平移后的直线方程为mx+ny=1，把②中的常数项(b2p2+a2q2-a2b2)乘以(mx+ny)2，一次项(2pb2x+2qa2y)乘以mx+ny;

“平移齐次式”的优点是大大减少了计算量，节约了时间，提高了准确率.缺点是mx+ny=1不能表示过原点的直线.需要注意：如果题目是过定点问题，还需要把直线方程还原到原来直角坐标系中去求定点.

二、“平移齐次式”速解高考题

下面谈一下如何利用“平移齐次式”求解2022年新高考Ⅰ卷第21题.

(1)求l的斜率；

整理得,x2-2y2+4x-4y=0， (*)

设平移后的直线PQ的方程为mx+ny=1，

则(*)式可化为x2-2y2+(4x-4y)(mx+ny)=0，

整理得，(4n+2)y2+(4m-4n)xy-(1+4m)x2=0，

两边同除以x2(x≠0)得，

又已知直线AP,AQ的斜率之和为零，

则平移后直线PQ的方程为nx+ny=1，

所以直线l的斜率为-1.

又已知直线AP,AQ的斜率之和为零，

消去y得9x2-24x-16=0，设P(x1,y1),Q(x2,y2)，

【思路点拨】第(1)问的解法是利用了“平移齐次式”，整个解题过程简洁明了，计算量也小；因为平移对△PAQ的面积没有影响，所以第(2)问是在平移后的坐标系中求△PAQ的面积.

【方法对比】本题的常规解法：一种是设出直线PA的方程，与双曲线C的方程联立利用韦达定理求出点P的坐标，再利用kAP+kAQ=0，求出点Q的坐标，然后利用斜率公式求出直线l的斜率；另一种是设出P，Q两点坐标，利用kAP+kAQ=0及韦达定理建立关于直线l斜率的方程来求解.这两种方法是考生最容易想到的方法，但是计算量比较大，考生要想在有限的时间内完全做对，有一定的困难.

【试题点评】该试题充分体现了核心素养倡导下的试题特点，即“多考点想，少考点算”，此类题目要求学生具备解决较复杂问题的综合素质，同时对学生思维的灵活性、探究性、创造性及方法的综合运用要求也比较高，这样的题目有利于高中数学教学加强培养学生的核心素养，有利于高校选拔人才，有利于为国家培养创新型人才.

三、“平移齐次式”常考常新

“平移齐次式”这一方法在以往的高考中“出镜率”还是很高的，在2020年、2018年、2017年、2015年的全国卷Ⅰ中，关于解析几何的解答题都可以用此法来解决.详细过程如下：

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点.

因为P为直线x=6上的动点，故设P(6,t)，

又因为kPA=kCA,kPB=kDB，

整理得，x2+9y2+6x=0， (*)

设平移后的直线CD的方程为mx+ny=1，

则(*)式可化为x2+9y2+6x(mx+ny)=0，

整理得，(1+6m)x2+9y2+6nxy=0，

两边同除以x2(x≠0)得，

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

【解析】(1)略;(2)要证∠OMA=∠OMB，即证kMA+kMB=0，

整理得，x2+2y2+4x+2=0， (*)

点F(1,0)平移后的坐标为(-1,0)，

故设平移后直线l的方程为-x+ny=1，

则(*)式可化为x2+2y2+4x(-x+ny)+2(-x+ny)2=0，

所以∠OMA=∠OMB.

另外，2017、2015年全国卷Ⅰ理科第20题，这两道试题也可以用“平移齐次式”来解答.有兴趣的读者可以自己尝试做一下.

四、解题心得

如果从“平移齐次式”这个角度去评价2022年新高考Ⅰ卷的第21题，那么该题也不应算是难题，关键是学生在备考中是否研究过历年高考真题.有关历年高考真题的资料到处都有，学生手里也有各种各样关于这方面的资料，但是为何看到2022年新高考Ⅰ卷的第21题就懵圈了呢？这说明学生平时只是一味地刷题，做完题后没有反思，没有对解题思路与步骤进行整理.做题只是学习的一个步骤而已，做完题后一定要反思，俗话说得好，不怕不会做，就怕会总结，做完一道题，一定要问自己，在这道题目上学到了什么数学知识、数学方法、数学思想.这道题有几种解法？哪种方法是通性通法？哪种方法是专题专法？这道题属于什么题型？这道题还能怎么变？命题人是怎样命出这道题目的？想考查学生什么？只有这样学习才能获得必需的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，培养学生的“四能”，不断提升学生数学核心素养.

五、结束语