思维导图破解思维障碍 一轮复习追求深度学习——2022年全国新高考Ⅰ卷第21题的深度思考

陕西 韩红军 赵伟华

2022年高考数学全国新高考Ⅰ卷立足《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》，秉承了《中国高考评价体系》，考查数学关键能力、思维价值、核心素养的一贯设计理念，延续了以考查运算能力为主的传统，坚持在平凡问题中考查真功夫、在主干知识中考查真能力.第21题貌似平和，实则在试题设置上，注重层次性，让不同能力水平的学生都能够得到充分的展示.

1 原题回放 雾里看花

(1)求l的斜率；

2 精彩多解 初始真容

此题打破经常考椭圆和抛物线的常规，以双曲线为背景，重点考查双曲线的标准方程，以及直线与双曲线的位置关系，考查学生的数学运算能力、抽象概括能力和逻辑推理能力.此题题干简单明了，不拖泥带水，表面上看比较常规，实际上运算量和思维量较大.

由题意显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，P(x1,y1),Q(x2,y2)，

联立直线与双曲线的方程得(2k2-1)x2+4kmx+2m2+2=0，

化简得2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0，

即(k+1)(m+2k-1)=0，当m+(2k-1)=0时，直线l可化为y=kx-(2k-1)，即y-1=k(x-2)，直线l经过A点，不符合题意，舍去，故k+1=0，解得k=-1.所以直线l的斜率为-1.

同理可得

(2)法一：设直线AP的倾斜角为α，

上述第(1)问分别从设直线AP的斜率k，设直线AP的参数方程，设直线l的斜截式方程，点差法等角度进行思考求解，第(2)问分别由tan∠PAQ求得kAP，将直线AP的参数方程代入双曲线方程求得|AP|等角度出发，求得结果.具体可以由以下思维导图展示.

第(1)问思维导图：

第(2)问思维导图：

3 深度探究 触摸本质

波利亚告诉我们：没有任何一道题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做；在经过充分研究和洞察后，我们可以将任何解题方法进行改进，我们总可以深化对答案的理解.因此，我们在解题教学过程中，不能只停留在解出一道题的层面，要反思解题过程，善于抓住一闪而过的思维火花，深入挖掘解题过程中的规律性的东西，从变化中找出不变的东西，揭示规律，探寻本质.

3.1 深度探究 拓展推广

此题的第(1)问能否一般化，其中又蕴含什么规律呢？于是我们得到如下命题.

设直线PQ的方程:y=kx+m，P(x1,y1),Q(x2,y2)，联立直线与双曲线得(b2-a2k2)x2-2kma2x-a2m2-a2b2=0，

化简得2kx1x2+(m-y0-kx0)(x1+x2)-2x0(m-y0)=0，

由于上述推理过程可逆，所以我们得到如下结论.

3.2 深度探究 类比推广

如果将双曲线换成椭圆或抛物线，经过探究，类似命题也成立，于是我们得到如下结论，证明过程与上述探究过程类似，留给有兴趣的读者.

4 变式训练 揭示规律

在对上述试题第(1)问的探究中，我们得到：如果两条直线的倾斜角互补，那么这两条直线的斜率之和为0.根据此结论我们可以解答如下一系列问题.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若椭圆C的弦PA,PB所在直线交x轴于点C,D两点,且PC=PD,求证：直线AB的斜率为定值.

【评注】对于此题第(2)问，因为PC=PD，易得PA,PB两条直线的倾斜角互补，所以直线PA,PB的斜率和为0，所以可设直线PA的斜率为k，那么直线PB的斜率为-k，分别与椭圆方程联立可得xA,xB，再利用斜率公式即可得到直线AB的斜率为定值.

(1)求椭圆的方程；

【评注】如图，对于此题第(2)问，因为∠PCQ的平分线垂直于OA，易得PC,QC两条直线的倾斜角互补，所以直线PC,QC的斜率和为0，所以可设直线PC的斜率为k，那么直线QC的斜率为-k，分别与椭圆方程联立可得xP,xQ，再利用斜率公式即可得到直线PQ的斜率等于直线AB的斜率.

【变式3】如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴是短轴的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),且交椭圆于A,B两点.

(1)求椭圆的方程；

(2)求m的取值范围；

(3)求证：直线MA,MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

【评注】对于此题第(3)问，设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2，要证明直线MA,MB与x轴始终围成一个等腰三角形，只需证明k1+k2=0即可.

上述三道题看似毫无关联，但经过分析，我们发现，这三道题都用到了结论：如果两条直线的倾斜角互补，那么这两条直线的斜率之和为0.可见三道题存在着千丝万缕的联系，我们只有层层剥开迷雾，才可以领略到这三道题蕴藏的规律.

5 解后反思 启示升华