巧用“一线三等角”模型 突破几何压轴难题

⦿无锡市华庄中学 刘 敏

1 引出问题

2022年安徽中考试题中有这样一道试题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，则∠FDG=______°．

图1

根据题意可以发现，在直线AD上，存在三个直角，∠A=∠BEF=∠G(或者∠A=∠BEF=∠EDM)，出现这种情况，我们往往称之为“一线三直角”的数学模型，从而利用两个三角形全等或者相似即可.此题可根据“AAS”证△ABE≌△GEF，得出EG=AB，GF=AE，进而推出DG=GF.即可得出∠FDG的度数.

若将“一线三直角”模型中的直角改为其他角度，这样就形成了“一线三等角”的数学模型，在解答相关问题的过程中，很容易考虑到全等三角形或者相似三角形的判定.熟练把握“一线三等角”的相关特点，感悟其在全等或者相似三角形判定中的重要作用，便于引导学生在解答过程中快速掌握利用基本图形来描述或者分析、解决问题，从而培养学生的几何直观能力.

2 “一线三等角”在全等形问题中的应用

例1阅读下面的相关材料，并回答问题.

模型学习：如图2，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥AC于点C，DE⊥AC于点E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D；又∠ACB=∠AED=90°，可以通过推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=______，BC=______．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．

图2

图3

模型应用：如图3，△ABC为等边三角形，BD=CF，∠EDF=60°，求证BE=CD.

在“模型学习”中根据这种模型的特点，可以直接判断，由“AAS”可证△ABC≌△DAE，可得AC=DE，BC=AE；对于“模型应用”，根据条件可以发现∠B=∠C=∠EDF=60°，符合“一线三等角”的特征，故由“AAS”可证△BDE≌△CFD，从而可证明得到BE=CD.

3 “一线三等角”在相似形问题中的应用

例2如图4，D为△ABC的内心，点E在AC上，且AD⊥DE，若DE=2，AD=CE=3，试求AB的长．

图4

图5

通过审题发现，题干中有内心，还有垂直，问题的目标AB与条件AD，CE分属三条直线.因此可以考虑延长DE看是否可以构建“一线三等角”.于是延长ED交AB于点F，连接BD，如图5，将线段AB分为AF和BF两部分，分别计算.显然，根据条件很容易证明△ADE≌△ADF，利用勾股定理求得AE的长度，即为AF的长度.再根据△ADE≌△ADF，可以得到∠AFD=∠AED，故有∠BFD=∠CED.利用三角形内角和可推理计算得到∠ABD=∠CBD=∠CDE，从而可得到△BFD∽△DEC，再利用相似，列比例式求得BF.BF与AF相加即可求得AB．

4 “一线三等角”在一次函数中的应用

图6

图7

5 “一线三等角”在反比例函数中的应用

图8

图9

6 “一线三等角”在二次函数中的应用

图10

图11

再如：如图12所示，抛物线y=ax2+bx+4过A(2，0),B(4，0)两点，交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为D，连接AC,BC．点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m(m>4)．若∠ACP=45°，求m的值.

图12

图13

对于此题，我们也是很难快速确定点P的位置，为此可以利用“一线三等角”模型，过点A作AC的垂线AE，并使得AE=AC，如图13,易得点E的坐标.连接FC,交抛物线于点P，将直线EC的解析式代入抛物线求得交点坐标，即可求得除点C外的另一交点P，思路清晰，方法简单，问题迎刃而解.

7 “一线三等角”在图形变换中的应用

图14

例6等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM，PN分别于边AB，AC交于点E，F．如图14所示，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长．

根据题意，△ABC是等边三角形，∠MPN=60°，可知∠B=∠C=∠MPN，符合“一线三等角”模型.因此可以考虑使用该模型下的解题基本思路.通过证明△BPE∽△CFP，根据相似三角形对应边的比相等，再设BP=x，则CP=6-x，即可求得BP的长，进而求得PE的长．

8 “一线三等角”在动态问题中的应用

图15

图16

通过上述问题的研究，可以感受“一线三等角”模型在各个知识背景下的应用.借助构造一线三等角模型解题的基本手段，从复杂的图形中分离出基本图形，具有将问题化繁为简的效果，同时可以帮助我们在解题中快速找到解决问题的突破口.当然，希望“一线三等角”模型能起到抛砖引玉的作用，更希望学生能形成比较完善的知识储备，从而提高基本图形的敏锐观察力，以及不断提升几何直观能力和问题建模思想.Z