加强视图教学 发展空间观念——以2021年泰州市中考数学的一道“视图”选择题为例

⦿江苏省泰州市教育局教研室 钱德春

⦿江苏省泰州市第二中学附属初中 周 炼

1 问题提出

2021年泰州市学业水平考试数学试卷第2题是一道关于“视图”的选择题(以下称为“案例”)：

图1

图1所示几何体的左视图是( ).

“案例”以视图形式考查学生基本空间观念和直观想象能力.该题满分为3分，正确选项为C.实测数据显示：平均得分1.71分，难度系数只有0.57，其中40.31%的学生选择了B选项.从命题者的角度来说，安排在试卷第2题位置的试题一般不具有区分功能，但考生错误率如此之高、错误情形如此集中，出乎命题者的预料.笔者将此题让一位没有学过三视图的英语老师选择，他凭直觉选择了A选项，该选项与正确选项C的图形仅相差一条水平线.那么考生答案为何与正确答案差距如此之大呢？这引发了笔者思考：试题的命题指向何在？课程标准、教材中“视图”教学要求如何？学生为何会出现如此多的错误？反映了“视图”教学存在什么问题？如何有效应对？

2 试题指向

“案例”体现了发展空间观念、基于课程标准、源于现行教材的命题指向.

2.1 考查空间观念

学生空间观念的形成需要经历从具象到抽象、从意识到观念不断积累活动经验的过程.学生在小学就接触过“从三个方向看”，具有一定的空间基础.“主视图、左视图、俯视图”为苏科版教材七年级上册“5.1走进图形”一节的内容，是学生进入初中后的几何入门部分.“案例”提供的几何体是生活中常见的物体，没有特殊的结构、复杂的外形，但正确作答必须以一定的空间观念和视图的基本知识为前提，即要理解什么是左视图，知道如何得到左视图，了解左视图与几何体各部分间的位置与数量关系.

2.2 基于课程标准

《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《课标》) 指出：在数学课程中，应当注重发展学生的……空间观念……空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等[1].“视图”内容安排在“图形与几何”中的“图形的变化—图形的投影”板块，要求“会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体”.可以归纳为三个层次：第一层次是会画图——画几种单一几何体的三视图；第二层次是会判断——判断简单物体的三视图；第三层次是会描述——由视图描述简单几何体.“案例”属于《课标》的第二层次要求——判断简单物体的三视图.

2.3 源于现行教材

教材是《课标》的具体化，也是教师教学与学生学习的载体.“案例”从素材来源到呈现方式皆源于教材.苏科版初中数学教材七年级上册(以下简称“苏科版七上”)第5章走进图形世界——主视图、左视图、俯视图中的(第137页)“试一试”：根据图2-1所示物体的主视图、左视图、俯视图，想象这个物体的形状，你想象出的物体是图2-2，图2-3中的哪一个物体？显然，该问题属于《课标》第三层次要求：会描述——由视图描述简单几何体.图2-2是由圆柱与圆组成的几何体，图2-3是由圆柱与圆台组成的几何体.

“苏科版七上”第139页习题5.4的第1题：把如图3所示物体的主视图、左视图、俯视图的名称填在相应的括号内.该问题属于《课标》第二层次要求：会判断——判断简单物体的三视图.

图3

图4

“苏科版七上”第142页“复习巩固”第8题：画出图4所示物体的主视图、左视图、俯视图.该题属于《课标》第一层次要求：会画图——画几种单一几何体的三视图.显然，将图4上部的长方体换成图3中的几何体就成了“案例”中的几何体.

3 原因剖析

为了解学生失分的原因，笔者让答错的学生还原考试时的思维过程、认知状态和考试心理，了解部分教师对试题的看法、课标的理解、教材的把握和教学现状，对问题背后的深层次原因进行了理性分析.

3.1 学生活动经验不足，空间观念缺失

调查发现：由于“案例”只给出了该几何体一个视角偏向主视图的空间样貌，学生在想象其他视角下几何体的样貌时思维产生混乱，因而难以将陌生的几何体复原.学生选择答案B有四种情形：一是忘记圆柱的侧视图是矩形，由于没有掌握三视图的概念，当圆柱与长方体组合时，感觉选项B最接近原几何体的答案；二是认为几何体上半部分曲面特征明显，应在三视图中有所体现，故排除了C答案；三是误将几何体上半部分的半个圆柱想象成半球，把上方圆柱体的位置想象成底面朝左的摆放形式；四是认为圆柱相对于棱柱用料少，看到的视图也一定比棱柱少，若棱柱的左视图是矩形，那么在长方体的高与圆柱底面半径相等的情况下，圆柱左视图的面积一定小于矩形.

出现以上问题的根本原因是学生在视图学习时，没有经历操作、观察的探究过程，缺乏相应活动经验的积累，因而没有形成基本的空间观念，不能从本质上理解投影与视图、视图与几何体、各视图间的关系，解题时习惯于机械记忆，甚至揣摩命题者的心理.

3.2 教师对课标、教材理解和教学过程缺失

一是视图教学内容重视不够.不少教师对课标规定的内容选择性教学，认为投影与视图在试卷中占分少，无足轻重，没有从发展学生空间观念的高度理解教学内容，导致无论是新授课还是复习课，大多是“无实物”教学，或者只是用小正方体“摆放”模型机械训练.这样极易形成套路，学生难以将知识与方法在新情境、新背景下进行有效转化与迁移.

二是视图教学脱离教材内容.不少教师的教学游离于课标和教材之外，教学方向、内容偏离了课标、教材，很少从基本知识与数学思维出发设计探究活动让学生积累活动经验，而是代之以题目的强化训练.

三是视图教学忽视数学本质的揭示.由于教师自身对视图的认识与理解不到位，导致教学中“讲不清、道不明”，更难以引导学生体验物体的多元化观察视角与结论的开放性，以及感受平面图形与立体图形间对立与统一的关系，导致学生凭感觉认为“左视图”是从左边任意角度看到的图形.

4 应对策略

“视图”教学需要教师更新教学理念，以发展学生能力与提升学生素养为己任；以科学的态度研究课标、教材与学情；优化教学方式，以探究活动发展学生空间观念.

4.1 更新教学理念，以发展能力与提升素养为己任

教师要更新数学教学理念，关注课程改革方向，将发展学生能力与提升学生素养为己任，而不是只盯着试题与分数.“空间观念”是学生数学素养的重要组成部分，视图教学要以发展学生的空间观念为目标，重视基础知识、基本方法和空间观念形成与发展过程的教学，让学生在操作、探究、观察、思考的过程中，形成空间想象能力与几何直观能力，避免出现选择性教学、超前教学、以练代教以及教学围绕考试转、猜题押题、以考代讲等不良现象.

4.2 加强教学研究，以科学态度研究各种教学要素

教学要素包括教师、学生、教学内容、教学环境和教学媒体等.教师要以科学的态度加强对课程标准、教材和学生等教学要素的研究.

一是研究课程标准.虽然课程标准关于视图的内容只有52个字，但明确了视图教学“会画图、会判断、会描述”三个层次要求.教师要领悟、理解其内涵与外延，无论是三个视图的位置规定，还是“长对正、高平齐、宽相等”的特征描述，其本质是图形的位置关系和数量关系.

二是研究数学教材.研究教材安排的意图与内容含义、知识与能力目标，并以更高的站位、更广的视角审视教学内容.比如，对于教材正文中“从左面看到的图形称为左视图”这句话，要深刻理解“从左面看”的实质，即怎么看、看到什么.教材安排的“阅读”是对正文内容的有效补充，通过“阅读”可加深对“从左面看”的理解.同时，也要研究其他版本的相关教学内容，通过比较，更加准确地把握教材的编写意图，只有这样才能实施精准教学.

三是研究学情.一方面，苏科版教材将“视图”作为几何入门内容，安排在七年级上册第5章“走进图形世界”.由于“视图”内容对空间想象能力、概念理解能力具有一定的要求，对于刚进入初中的学生而言，学习时有一定的困难也属正常.另一方面，教师要思考学生在小学对视图认知基础如何，目前的空间观念、直观想象能力与数学抽象能力发展水平如何，学习时可能会有何种困难或认知障碍，等等.只有知此知彼，教学才能有的放矢、百战不殆.

4.3 优化教学方式，以探究活动发展学生空间观念

“视图”教学要通过适当的探究活动，引导学生从关注表象逐步发展为空间想象与抽象的必然阶段.同时要注重视图本质的揭示，加强研究方法的指导.

(1)设计适当的探究活动

“投影与视图”是七年级上学期的教学内容，是初中几何的起步章节.七年级学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的时期.“投影与视图”教学旨在初步发展学生对物体几何特征的观察、分析与认知的空间想象力和抽象能力，这种能力的发展应该是拾级而上、逐层递进的.如先根据实物直观抽象出三视图，积累并丰富各类几何体探究经验；再经历实物的“看”“摸”“画”到“想”“猜”“说”的过程，发展学生的抽象思维能力.再如让学生通过对实物某一角度的观察，分析点、线、面的关系进而猜想几何体；通过观察简单复合几何体进而归纳特征，并设计或制作新几何体等；最后根据视图想象描述相应的几何体.这样的教学活动不仅可以激发学生的学习兴趣，让学生经历分析与综合、比较与分类一系列思维过程，将感性经验与理性思考相结合、表象储备与想象创造相交融，逐渐脱离对实物的依赖，把握几何体的特征与相互关系，发展空间观念和思维能力.

(2)注重视图本质的揭示

“视图”的本质是几何体在投影面上留下的正投影.教学中，要以探究活动为载体揭示“视图”本质.如图5，把投影面竖直放置在几何体的右侧，且平行于几何体的侧面，平行光线沿垂直于投影面方向从左侧照射几何体在投影面上的正投影是“日”字型图形.“日”字型图形上方水平线就是几何体上部半圆柱母线在该平面上的正投影.

图5

苏科版七上在“主视图、左视图、俯视图”(第135页)中有这样一段话：“人们从不同的方向观察某个物体，可以看到不同的图形.一般地，我们把从正面看到的图形，称为主视图；从左面看到的图形称为左视图；从上面看到的图形，称为俯视图.”这里的“正面”“上面”“左面”如何理解？与生活用语的含义是否一致？有没有判断的标准与规范？事实上，教材在这一章的“阅读”部分专门就三种视图与几何体的关系给出了明确的解释：在三视图中，由主视图与俯视图可以知道物体的长，由主视图与左视图可以知道物体的高，由左视图与俯视图可以知道物体的宽，三个视图结合起来就能确定简单物体的形状和大小.画三视图时，要使主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等(如图6).这段文字明确了视图与几何体之间的位置与数量关系，是教材正文内容的有力补充、规范和深化.教学中，要引导学生结合几何体与视图关系的观察、操作、描述的具体案例去阅读、感受、领悟这段文字，从而明晰三种视图间的数量关系，并用“长对正、高平齐、宽相等”的语言描述三个视图与几何体之间以及三个视图相互之间的大小关系、位置关系，从而给出三视图规范的画法及图例.

图6

(3)加强研究方法的指导

“视图”是初中几何入门内容，与后续几何研究方法一致，离不开对图形的位置关系与数量关系的研究.教学中要“以小见大”，有意识地指导学生从“位置关系”与“数量关系”两个维度研究解决图形问题的策略与方法，为后续几何学习奠定基础.