直观助生成，想象育思维——由“圆柱与圆锥的认识”教学引发的思考

江苏省无锡市经开区东绛第二实验学校 赵秋如

“圆柱与圆锥的认识”作为小学认识图形的最后一个板块，是在二年级粗略认识圆柱基础上的一次精加工，对学生空间观念的形成起着承上启下的作用。本文以“圆柱与圆锥的认识”的教学为例，谈一谈对于小学立体几何教学的几点思考。

一、旧知到新知，搭建内容与方法的桥梁

知识从来都不是以孤立的形态出现的，正如空间立体图形的认识从来都不能与平面图形割裂一样。苏教版数学教材将小学立体图形特征的认识都设置在了六年级，从六年级上册的长方体、正方体的特征到六年级下册圆柱与圆锥的特征，无不说明立体几何特征教学始于六年级，并会对学生的空间观念产生深远的影响。因此，教师的教学设计以立体图形的三个要素，即点、线、面的运动导入，在运动时揭示三者之间的关系，通过“面动成体”引出长方体和正方体，激活旧知记忆，并在运动的过程中，更进一步补充学生对立体图形形成的认知。在明晰了整个知识结构之后，以研究方法和研究角度进行横向迁移，由此比较发现在研究圆柱与圆锥的特征时也可以从点、线、面这三个角度进行观察和思考，这样便完成了从旧知到新知的初步联动。

皮亚杰的建构主义理论认为：知识的习得，是学生主动构建知识的过程。学生不是被动的信息接收者，而是信息意义的主动建构者。可见，知识的获得不应该是简单的记忆与判断。体现在日常教学中，教师应更多扮演“传道者”的角色，为学生提供脚手架，让学生真正成为学习活动的主体。因此，教师在初步认识到圆柱与圆锥的研究可以从点、线、面的角度去思考后，引导学生通过独立思考，主动联系旧知，并在认知过程中 “顺藤摸瓜”，轻松掌握旧知与新知之间的联系。这样，点、线、面三个元素构成了本课学习的逻辑线索，学生在后续的探究活动中就能找准切入点和对应思考方向，突破重难点，搭建相应思维模型。

如此，由旧知到新知，通过新知来激活旧知，以研究方法和角度为桥梁，自然过渡，为接下来的小组合作探究圆柱与圆锥的特征奠定了基础，从而构建立体图形研究的模型，帮助学生进一步生成与提升空间观念。

二、直观到抽象，拉近现实与数学的距离

在学习本课内容之前，作为日常生活中常见的图形，学生能够结合已有的认知和生活经历，直观判断出一个物体是不是圆柱或圆锥。但这只是对整体的一个直觉认知，还没有经过任何数学加工，依然处于较粗浅的层次。因此，在教学认识特征时，教学设计要以小组为单位，教师要引导学生利用相关学具，在小组内进行自主合作探索。在探究的过程中，学生通过多感官协同，从点、线、面三个角度观察与讨论圆柱与圆锥的相关特征。

在讨论圆柱的线的特征时，对于“高”的概念能够模糊地概括为一条直直的线段，但是对于“高”是从哪里到哪里，为什么圆柱的高有无数条并没有明确的答案。关于这两个问题，在传统的空间几何教学里只是反复强调想象，这样反而会给学生的理解制造障碍。因此，在教学时，教师从生活中选取素材——挂面，形象生动地展示了圆柱的高就是上下两个底面之间的距离，想象当挂面足够细时，圆柱的高就有无数条。这样的设计有两个好处：第一，生活中的实物是数学图形的“影子”，对于小学生而言，认识图形特征需要建立在直接观察的基础上，有了基础再加以想象，想象难度就会大幅度下降，就容易理解；第二，渗透数学与生活有着密切联系的思想，拉近现实与数学的距离，让学生体会到数学来源于生活，并在生活中有着广泛的应用。这样的特征认识是扎实的，而不是机械的记忆，是经得起时间的考验的。

经历利用实物探究特征后，学生能将其抽象成图形的基本特征，并能够反过来根据特征判断生活中的实物是不是圆柱或圆锥。例如，在判断腰鼓是不是圆柱时，教师可以让学生先判断，在学生判断错误之后，出示腰鼓实物，从“不是圆柱”到“是圆柱”，在辩证思考的过程中，学生完成了对特征的深度内化。随之，教师可以将实物抽象出图形，提出是什么决定了圆柱、圆锥的高矮或粗细。在比较中学生进一步加深了对图形特征的认识。

如此安排，在现实与图形之间来回徘徊，可以让学生的认知始终处于螺旋上升的态势。在这个过程中，学生能切实感受到图形与现实生活之间的密切联系，同时也能体会到学习立体图形的价值，体悟到几何图形对人类社会的重要作用。

三、想象到创造，感悟平面与立体的联系

新课标中关于空间观念的定义是“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等”。可见几何图形的认识，特别是关于空间图形的认识，不仅要从静态去观察，更要通过动态过程来丰富认知，最后通过平面图形来创造出立体图形，进一步提升学生的空间观念。

立体图形特征的学习，观察是最基本的学习方法。为了避免学生只是机械地静态观察，教学时，教师设计了三个探究活动——滚一滚、看一看、切一切，以此提高观察的深度与趣味性。在每个活动开始之前，教师都会给予学生一定的思考时间，让学生的动手过程成为验证想象的过程。例如，在滚一滚的活动中，学生对于圆柱侧面滚动的痕迹初步的想象是一个长方形，此时学生通过动手操作发现也有可能是一个正方形，教师利用油漆滚轮来模拟圆柱侧面滚动的情况，帮助学生将想象落地留痕。经过想象—验证—结论，学生的空间推理能力得到了进一步的发展。一直以来，立体图形的横截面教学都是一个难点，原因就是没有一个很好的载体。本课设计中，教师创造性地以圆柱体与圆锥形的花泥为载体，让“切一刀”的过程不再是学生的想象，立体模型实物呈现在学生面前，实际动手操作时发现可以有三种切法：水平切，竖直切，斜着切。切面各有特点，拓宽了学生观察的视野与想象的空间，很好地补充了学生认知的缺口。

在观察的基础上，教师引导学生将立体图形转化成平面图形可以方便学生进一步内化立体图形的特征，此时，帮助学生体会如何将平面图形转化成立体图形便成了亟待解决的问题。因此，在教学设计中，在学生认识特征之后，教师可以以组块的形式，利用学生的动手实践操作过程，让学生在活动中感知面与体之间的联系。

教学中，教师可以为每个小组提供一张纸、一些大小相同的圆片、一个直角三角形、一个长方形、两根小木棒，让学生思考如何利用这些材料创造出一个圆柱或圆锥。在小组合作的过程中，学生群策群力，想出了几种方法：（1）选取一张白纸和两张大小相同的圆片，将白纸卷一卷，再搭配两个圆片得到一个圆柱；（2）选取一些大小相同的圆片，因为圆片本身就是圆柱，不过是高而短的圆柱，同时大小相同的圆片叠在一起也是圆柱；（3）选取一个长方形或三角形和一根小棒，利用旋转运动来想象出圆柱或圆锥。出乎意料的是，有少数学生通过将圆片对折得到半圆进而折成了圆锥的侧面，这反映出在经历一系列的活动之后，学生的空间想象能力已经得到了一定的提升。

在以上教学过程中，教师将活动分成了两大板块，由体到面和由面到体。教师先帮助学生建立了立体图形整体印象，引导学生自主活动去观察和创造，结合自身实际动手操作去发掘图形的特征与联系；接着，教师根据学生的想象和猜测做出推理分析并予以验证，帮助学生自动模糊二维图形与三维图形之间的界限，通过运动和想象实现平面与立体之间自如地转化。

四、知识到能力，体会空间与图形的价值

在绚丽多彩的图形王国里，我们通过运动和想象在二维平面图形与三维立体图形之间架起了一座沟通的桥梁。爱因斯坦认为，想象比知识重要，知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。在尤瓦尔·赫拉利的《人类简史》中就提到：想象是区别动物与人类一切成就的根本因素。回首人类史，无疑想象是人类文明得以不断前行的重要动力。

从长方体与正方体到圆柱与圆锥，立体图形课程的价值不应该仅仅局限在图形基本知识上，关注知识的生成无疑更为重要。在知识生成的过程中，要想实现想象能力的迁移，光靠书本内容肯定是远远不够的，所以在从书本获得最基础的知识与技能之后，教师在课标的指导下，把握尺度，设计相关的实验活动无疑是学生感受图形价值的重要路径。因此在教学中，应将知识模型化，让学生参与模型的创建与优化，在模型到建的过程中，学生通过操作实物，直观认识模型来展开想象，去认识与研究立体图形的特征。让学生借助实物表象，空间想象越过对空间模糊的认识，丰富对点、线、面基础元素及其关系的认知，补全学生对立体图形的认知。由此可见，学习立体图形，可以发展学生的空间想象能力，有利于其理解数学图形与日常生活之间的密切联系，也有利于其空间推理能力与创新意识的培养，对提升学生的基本能力素养有着重要的意义。

现代教育学家认为，学校的教育内容应涵盖以下四个板块：批判性思考、沟通、合作和创意。而在这节课中，教学设计很好地体现了这四点，小学阶段是人一生当中空间观念发展最重要的阶段，而立体图形课程是学生对现实生活的一次数学化认识，相信通过直观的观察活动，学生能在脑海中生成相关模型，承上启下，为形成初中、高中的直观想象做好铺垫。同时，在经历一系列的实践活动后，学生能更深入地体悟到空间与图形，以及与日常生活的紧密联系，可以用数学的眼光来观察世界，运用想象推理能力解决问题。