“数形结合思想”在小学数学分数应用题中的应用探究

☉王 雷

数形结合是指在解题过程中，在数学问题和结论之间利用图形建立起联系，便于学生理解。在学生学习过程中，数形结合方法的使用能够有效简化解题过程，让题目更加形象，帮助学生寻找正确的解题思路，高效解题。然而，在现实教学过程中，虽然数形结合思想提出由来已久，但应用却并不广泛，教师在教学过程中也经常忽略这一思想，使得数形结合这一思想的重要作用没有体现出来。尤其对于学生而言，分数的学习存在较多问题。分数知识太过抽象，而数形结合思想能够帮助学生更好地理解分数，解决分数应用题。因此，教师在教学过程中，应该重视数形结合思想的运用，帮助学生高效解答题目［1］。

一、数形转换，简化复杂问题

数形结合思想的运用最终应该是让学生在解决数学问题时能够有数形结合的意识。看到数学问题时，不要仅仅着眼于应用题中的每一个文字，着眼于从文字中寻找重点信息，更需要让学生能够有意识地将重点的信息以图形的形式表现出来，让重点信息更加清晰明了，让数量之间的关系更加显而易见，让学生在解决问题时不用到原本的题目中去寻找数量关系，只需要从自己绘制出的辅助图形中进行信息的提取即可。在学生还不具备数学结合的意识时，教师就应该让学生意识到数形结合的应用可以实现题目的由难到易、由复杂到简单的转换，让学生能够意识到数形结合思想在解题过程中的重要性，从而在以后遇到数学问题时，自觉运用数形结合理念实现题目的简化。

例如，在日常生活中经常会出现分东西的情景，数学应用题中最常见的就是分蛋糕。蛋糕作为一个整体就可以看作是单位1，在解决过程中也经常是看到以一个单位的蛋糕为原型所设计的应用题。比如，5个同学在一起分一个蛋糕，将蛋糕分成了8等份，每位同学分得一块蛋糕后，蛋糕还剩下几分之几？虽然该应用题的解题难度并不是太大，但是充分利用数形结合思想就可以让题目变得更加简单。教师可以简单地画一个圆形代替蛋糕，然后将其进行8等分，再将已经分出去的5份蛋糕涂色帮助学生记忆，最后让学生观察剩下的蛋糕占据原蛋糕的几分之几。这种数形结合的方式，不仅能够让学生在解答数学问题时更加有兴趣，更能够帮助学生主动去将具体的应用题信息进行抽象化，简化题目信息，让复杂的问题更加简单。

分数对于学生而言是更为抽象的概念，因为学生还不习惯从整体中找部分的思维，此时，教师使用数形结合方式，将抽象的分数问题转换成为多个整体组成一个大整体的问题，有助于学生进行更加细致、直观的理解。

二、线段辅助，理解数量关系

分数应用题的解答会给学生带来一定的难度。因为分数与普通整数的类型不同，普通的整数就是一个完整的个体，然而分数是将一个完整的个体再次进行细化。很多学生在理解时就会存在问题，不知道应该如何去划分，理解整体和部分的关系。线段的使用就能够帮助学生将一个整体分割开来进行思考，更加形象具体便于理解，而且操作较为简单。因此，教师在帮助学生解决分数应用题时，可以引导学生利用线段进行辅助表示，帮助学生找到不同的数量关系，寻找解题的思路。

例如，在分数应用题解中，经常可以看到题目中数量和分率之间存在不同的关系。如果能够正确找到所求的数量或者是分率与另一数量或者是分率的对应关系，就能够快速解答这一分数应用题。比如，有这样一组题目：题目一，花园里有玫瑰和牡丹两种花，玫瑰花有18朵，牡丹花有3朵，问牡丹花的数量是玫瑰花的几分之几？题目二，花园里有18朵玫瑰花，牡丹花的数量是玫瑰花的，问牡丹花有多少朵？题目三，花园里有3朵牡丹花，正好是玫瑰花数量的，那么花园里有多少朵玫瑰花？后两个题目都是由题目一进行转换的。而这两个主体即玫瑰花和牡丹花之间的关系，就可以利用线段图快速找到。学生可以首先确定单位长度，代表18朵玫瑰花，然后在下方继续做出代表3朵牡丹花的线段，两条线段进行对比就可以看出两种花的数量关系。以上题目的数量关系较为简单，在题目解答时线段的作用并不是非常明显，当题目更加复杂时，线段的作用就可以凸显出来了。如在一个题目中有两个以上的数量关系：小明去文具店买文具，他买了8只铅笔，买的钢笔的数量是铅笔的，橡皮的数量是铅笔数量的，那么小明买了几只橡皮呢，这个问题就涉及铅笔、钢笔、橡皮三个物体。在解题时利用线段，可以将三者之间的数量关系快速得到。如可以画一条长度为单位1的线段代表8支铅笔，将其4等分，其中1份代表钢笔的数量，然后在代表铅笔的那一线段中，再次将其二等分，得出购买橡皮的数量。根据线段就可以快速得出所要求出的橡皮的数量［2］。

对于抽象的分数应用题目，线段的使用能够让学生更加直观和具体地观察分数在一个整体中的呈现情况。因此，教师可以引导学生运用线段代替题目中提及的物体，使学生更加形象地辨认题目中的分数数量关系。

三、逻辑梳理，提高解题效率

在应用题解题过程中，常常会设置一些具有迷惑性的条件，这些条件的存在，主要是为了混淆学生的思路，为学生解题制造困难。数形结合的运用就可以让学生实现数形转换，快速提取题目中的有效信息，避免一些无效信息带来的干扰。通常学生在解题过程中总会认为每个条件的存在都是有其意义的，认为所有的条件都应该应用在解题过程中，某一条件没有使用就会觉得自己解题出现了错误。数形结合的运用可以让学生在解题过程中快速了解哪些是有效信息，哪些是无效信息，增强学生自信，提高学生解题效率。

例如，学生在完成某一个应用题的过程中利用线段辅助完成了题目的解答。如题：现在有一捆56米的丝带用来做装饰，小明用了，小华用了剩下的，小丽用了剩下，最后剩下几分之几的丝带？这一个问题相对复杂，因为想要得到最终的答案需要经过好几段计算。第一步计算小明使用后剩下的丝带的长度：56－56×＝48；第二步计算小华使用后剩下的丝带的长度：48－48×＝36；第三步计算最后小丽用过丝带后剩下的丝带的长度：36－36×＝30。在分步计算以后学生能够更加清晰地了解各个步骤的解题意图，也能够保证计算不会出错。有很多学生在计算时忽略了“剩下的”这一解题的关键信息，在解题时直接56×××。利用线段就可以避免这一问题的出现。第一步，画出代表56米丝带的一个单位长度的线段，然后将其进行7等分，其中一份标注“小明”；第二步，将另外6份的线段再次4等分，其中一份标注小华；第三步，将剩余的线段再次6等分，其中一份标注小丽，剩余5份标注“？”，即为所求。在学生刚刚接触应用题时，解题思路不清晰，线段就可以要求精准，但是可能会花费较多时间。在学生熟练以后，就可以利用大致的线段，表明每一部分的所占分数，快速帮助学生了解题意，解决问题，避免忽略重点信息。

解题逻辑的正确与否对于题目的解答是具有关键性影响的，使用简便且正确的逻辑能够提升学生解题的逻辑性。基于此，教师在引导学生解答时首先要教导学生学会甄别题目信息，从中整理出可用的有效信息，提升解答的流畅性。

四、思维发散，实现灵活运用

在数学应用题解题过程中，尤其是在小学阶段应该培养学生一题多解、灵活解题的思想。在学生学习的题目难度逐步提升以后，同一问题的解题思路往往是不唯一的。不同的解题方法它各有利弊，虽说有些解题方法对于学生来说较难理解，但是，它使得解题更加简单，而对有些应用题在解题过程中步骤虽然复杂，但更加便于理解，学生接受起来更加容易。在学生刚刚接触应用题时，对于应用题的解题思维路径的培养是不够成熟的，通过数形结合思想的引入，让学生在解题过程中可以通过多种形式体会到题目要点，教师在教学时会更加高效，学生在理解时也会更加轻松。而且数形结合的引入更能够帮助学生了解不一样的解题思路，提高解题效率，帮助学生寻找最适合他们的解题方式。

例如，在教学过程中，教师不仅仅应该教学生从题目中寻找数量关系，构建数形结合工具，也需要教学生反过来利用数形结合的结果，思考能够解决什么类型的问题。这种对数形结合工具翻转式的使用能够让学生从更多角度思考问题，对问题的理解也更加清晰。比如，教师为学生提供一个图形，一个被六等分的长6个单位，宽2个单位的长方形，其中有两个部分被做出标记。然后，教师让学生以此为基础，设计题目。学生通常都是根据题目绘制图形，突然要求学生设计题目，学生往往会摸不到头脑。但是，这种模式也能够帮助学生了解数形结合时图形绘制的要点，提高解题的效率。学生就可以根据图形设置如下的题目：有一块长6米，宽2米的花园，园丁将其分成6个部分，一个部分种植玫瑰，一个部分种植郁金香，剩下的种植向日葵。问种植的向日葵的面积是几分之几？学生还可以为这一图形设置不同的背景，让学生对这一类型的问题了解得更加透彻［3］。

让学生运用数形结合法，自己设置相对应的题目，有利于学生更加深刻地意识到相关题目设立的逻辑。因此，教师可以让学生基于数形结合自行思考并设置相关题目，推动学生完善自身对于数学题目的解答逻辑。

五、习题讲解，把握内在逻辑

数形结合通常是帮助学生在理解数学问题的基础上找到数学的解题策略。然而，在实际教学过程中，教师也可以让数形结合实现不一样的用途，它不仅可以帮助学生解决问题，同样可以帮助学生回顾问题。即教师在让学生解决某一问题之后，学生会采用具体的数形结合方法达到解题的目标。教师可以继续利用学生所创作出的数形结合的工具，让学生反过来思考，根据这一数形结合的过程，可以推出怎样一个题目。这样反过来的思考能够让学生对于这一题目有更加清晰的认知。或者教师可以让学生根据自己所做出的数形结合的解题思路去向其他学生讲述这一个问题的解题过程，以及具体的数形结合实现的方法，让学生能够再次明晰自己的思路。

例如，学生在解答应用题以后，有些学生并没有意识绘制图形辅助解题，有些学生绘制图形也仅仅是做样子，并没有利用图形帮助解题。教师就可以让学生以自己绘制的图形为基础，讲解自己的解题思路，以及为什么会绘制这样一个图形。比如这样的题目：一个班级有36个学生，有6个学生报名美术兴趣小组，12个学生报名书法兴趣小组，18个学生报名舞蹈兴趣小组。有学生就绘制一个饼图，然后教师让学生解释绘制理由：将饼图6等分，1份代表美术小组学生，2份代表书法兴趣小组学生，3份代表舞蹈兴趣小组学生。问题是求解书法和舞蹈兴趣小组的学生占班级学生的几分之几。学生的计算结果就是：。

教师可以让学生将自己解答某一题目的思路展示出来，加深学生对于相关知识点的记忆，并向学生展示正确合理地使用了数学结合后的效果，让学生自行对比，改善学生不当使用数形结合解答分数问题的情况。

总之，在小学阶段，学生应用题解题能力的培养至关重要，教师应该充分利用数形结合思想，帮助学生将抽象问题具体化，快速抓住题目要点，有效提取题目中的关键信息，梳理各个变量之间的关系。数学是一门抽象的学科，在后期的学习过程中也会给学生带来困难和压力。在小学阶段帮助学生寻找正确的高效的数学题目解决方法，能够有效培养学生的数学学习兴趣，支持学生在今后的学习过程中保持对数学学习的热爱，让学生今后的学习更加顺畅。