新工科时代应用类本科院校“线性代数”课程的体系重构

曾 诚，迟 楠，吕井明

(贵州理工学院理学院,贵州 贵阳 550003)

1 新工科时代“线性代数”的特点

大学数学相比中学数学，其最显著的特点就是它比中学数学更具抽象性和复杂性，但几何、代数、分析始终是数学最重要的三大方法。高等数学（微积分）作为分析体系的代表，体现出来的特点就是其抽象性；而线性代数作为代数体系的重要课程，其体现出来的最大特点就是繁琐和复杂性，并且也是高等院校理工科专业极其重要的必修基础课程之一。它具有开课面广、影响力大、重视程度高等特点，同时兼备较强的逻辑性、抽象性及广泛的实用性。

对于地方性理工类院校的学生而言，线性代数是一门重要的数学基础课程，对于培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和解决实际问题能力具有重要的意义[1-6]。学习过这门课程的同学普遍反映线性代数较之高等数学更抽象，内容更枯燥，概念和定理一直在不断地定义过程中，不容易理解，更不清楚学习线性代数的目的。这也导致大部分学生失去了主动学习的热情和动力，多数学生纯粹为了考试而勉强学习，学了那么多理论，考完试完全搁置不用，实在很浪费。当然，这也不能全归咎于学生，究其原因，主要有以下三个方面：第一，国内的数学教材都是纯粹偏重于计算体系，而忽略了线性代数本身的特性：线性代数既有代数的含义（运算），也有几何的含义（定标），但是目前大部分的教材对线性代数的几何直觉少有提起，只注重对行列式和矩阵等研究对象的计算和运算。第二，从教材来考虑，大多数线性代数教材均是以理论知识为主，很少列举一些与实际生活或专业相联系的例子，也就是太数学化了，缺少通过数学模型来引导学生学习。第三，从教师的角度来考虑，讲授线性代数的老师大多来自数学专业，其特点就是数学功底非常不错，但由于受工程背景、知识面及课时的限制，大多数老师也只是传授课本上的数学知识，这样不能很好地激发学生学习的主动性，从而达不到好的教学效果。

由于线性代数课程在理工类院校的主要专业（比如：机械工程、航空航天、电气工程、信息及其自动化、土木工程、数据科学和大数据、网络工程等）和主流方向（图像处理和压缩、数字水印、信号处理、统计分析、机器学习、网页排序、信息安全和密码学等）中都扮演着重要的角色，因此如何讲授好线性代数课程对培养学生科学的计算能力和提高学生分析问题和解决问题的能力都至关重要，从而也成了教育专家和高校教师关注的焦点之一。本文结合作者自己的实际教学实践，对如何改进线性代数课程的教学实践与方法、提高线性代数课程的教学效果，谈谈几点个人的体会与建议。

2 重构地方性、应用类理工科院校的“线性代数”课程体系

针对地方应用型理工类学院线性代数课程的教学现状，也就是上面提到的目前在教学过程中遇到的主要问题，即线性代数的高度抽象化和繁琐复杂特性，以及其概念定义、定理和性质偏多导致学生在学习过程中感到极度困难的特点。同时在线性代数的教学过程中，目前的教学模式会让学生们觉得线性代数是一个有点简单粗暴、不讲道理甚至有点莫名其妙的规则集合，而教师们则觉得并不是在讲授一门课程，而只是将学生抛到一个看似有些被强制的世界中，无法领略其美妙、和谐和统一。因此，综上两方面，非常有必要重构线性代数课程的内容体系，以便从根本上解决目前线性代数只注重其计算，而不考虑线性代数课程的本质特征。

另一方面，很多高校只在第一学期开设高等数学或微积分课程，不开设线性代数课程，其主要原因是考虑到大学数学相比中学数学的难度过大，同时线性代数和中学数学体系没有一个很好的接入口，只能让学生适应一段时间大学数学的学习后，再在第二学期开设线性代数课程。而实际上，线性代数和高等数学从内容的角度来说，基本上没有太多联系，而且从某些方面来说，很多工科专业对于线性代数的需求比高等数学更高，因此从本质上来说线性代数课程完全可以在第一学期开设，这样也能使后继专业课程提前开课。例如，论文作者所在的贵州理工学院，其大数据学院开设的网络安全专业和智能科学专业就根据其人才培养方案的特点，针对21级本科生，开始从第一学期就开设线性代数课程。

综上所述，根据线性代数课程的特点，以及考虑到线性代数体系的顺畅和谐，同时保证中学数学和大学数学的无缝对接，本文提出从线性方程组和向量两个角度开始来介绍线性代数课程，因为从中学数学的观点出发，学生最能接受线性方程组的形式和向量初步。基于此，计划重构线性代数课程体系，以线性方程组和向量为核心与基础，以矩阵和行列式为工具，演化线性代数课程中代数和几何的结合，结合数学模型的引入和专业背景的介入，帮助学生建立直觉，从而有助于他们理解这些抽象的概念，进一步理解线性代数课程的本质。我们重构的教学体系如下：

第一章 线性方程组和向量

本章计划分为四个小节，首先以中学讲过的二元一次线性方程组（非齐次线性方程组）为例来说明这类线性方程组的解有三种形式：无解、唯一解、无穷多解（也可用数形结合的方式），而且其求解只与左边的系数和右边的常数有关，与写成什么样的自变量无关，即由左边的系数和右边的常数合在一起的表（矩阵）在线性方程组求解过程中的重要性，同时还介绍线性方程组的初等变换（对换、倍乘、倍加）；其次介绍两类特殊的形式：阶梯形方程组（矩阵）和最简形方程组（矩阵），给出一些主要概念（主元、非零行、主元列等），并用算法的形式来描述线性方程组的化简过程，刻画线性方程组解的存在性和唯一性；再次通过在中学阶段学过的另外一个概念——向量作为对象，介绍向量的线性运算及基本性质，并给出延展形式（向量的线性组合与线性表示）；最后说明在大学阶段，线性方程组分为齐次线性方程组和非齐次线性方程组，并给出这两类线性方程组解的形式，其中非齐次方程与线性组合（线性表示）可对应，而从解的角度来分析齐次方程可引出线性相关和线性无关的概念定义。

第二章 矩阵代数

本章计划分为四个小节，重点介绍线性代数领域最重要的工具——矩阵。首先通过数学模型和第一章的实例来具体给出矩阵的定义和运算（线性运算：加法和数乘、矩阵之间的乘法、矩阵的转置等），以及一些特殊矩阵的概念和形式；其次给出分块矩阵的定义和运算，以及分块对角矩阵；再次描述矩阵的初等变换和初等矩阵，其中矩阵的初等变换来源于方程组的初等变换的平移，这样过渡也非常自然，然后介绍初等矩阵，这是初等变换能够成立的本质原因，也是重点和难点；最后一小节是说明逆矩阵的定义和意义，并给出逆矩阵的性质和初等变换的应用（求逆矩阵、矩阵方程求解等），以及分块矩阵（分块对角矩阵）的逆矩阵形式。

第三章 阶行列式

本章计划分为三个小节，主要介绍线性代数领域另一个主要的工具——行列式。首先通过行列式在其历史发展长河中的演化过程，重点分析一阶、二阶、三阶等低阶行列式，说明行列式的本质是一个数，并归纳演绎按照一行（列）展开，并通过介绍余子式和代数余子式，推广到更一般的阶行列式，并也按照一行或一列展开；第二小节主要描述行列式的性质和运算，包括行列式的初等变换（与矩阵有所不同），特殊的行列式（对角、反对角、上三角、下三角、Vanermode等），行列式的线性运算，行列式的转置，行列式为0的特殊情形、行列式的方阵等；最后针对行列式的应用，重点从伴随矩阵的定义和性质，行列式与可逆的关系，以及求逆矩阵的公式，同时还用Cramer法则来求解线性方程组等。

第四章 向量空间

本章计划分为三个小节，首先介绍向量空间的定义和一些简单的例子，重点强调封闭性的重要作用，以及向量空间的一些基本特征（加法单位元、加法逆元、乘法单位元等），随后给出子空间和有限维空间的定义，向量空间和子空间的关系，重新刻画描述线性相关性的等价定义、性质和定理等；第二小节将几对相似的概念合在一起来对比描述：基与维数（向量空间）、极大无关组与秩（向量组）、基础解系及所含向量的个数，计划先通过第一小节对有限维向量空间的描述引出空间中的一个重要特征——基，它可以张成一个向量空间，并给出基的基本定义和性质，指出它的唯一性（基中的线性无关的向量数是固定的——维数）和不唯一性（取法可以多个，不固定），然后过渡到向量组中就可以得出平行的概念——极大无关组和秩，同理针对线性方程组的所有解向量，即基础解系和它所含的向量个数；最后一小节主要介绍基变换、过渡矩阵、坐标和坐标变换等基本概念和性质。

第五章 矩阵的特征值与相似对角化

本章计划分为五个小节，这是前面几章内容的综合分析推广。首先给出向量内积的定义、计算方法、长度公式、规范正交基、正交向量组、正交矩阵等概念和性质，重点强调正交性和线性无关的联系；第二小节描述线性变换的定义、实例、性质等，并给出线性变换的矩阵，以及相似矩阵的定义和性质；第三小节介绍矩阵的特征值和特征向量的概念、性质、定理等，求解矩阵的特征值和特征向量的规则和方法，以及特征多项式与特征方程的定义和性质；第四小节掌握矩阵可相似对角化的条件与方法，以及对角化的判定条件；最后描述实对称矩阵的定义与特征，可对角化的原理，以及用正交变换将实对称矩阵对角化的具体方法。

第六章 二次型及其应用

本章计划分为四个小节，首先介绍并能够写出二次型的矩阵、合同的概念和性质；其次给出二次型的标准形和规范性的定义，以及如何使用三种方法（正交化方法、配方法、初等变换方法）来将二次型替换化简为标准形，并给出相应的变换矩阵；再次描述正定二次型和正定矩阵（还有负定、半正定、正半定、不定等概念）的定义和判别方法，包括惯性定理，顺序主子式等；最后通过实例介绍二次型在二次曲面中的应用，并判别二次曲面的形状，这也是代数和几何结合得最好的一部分。

通过重构线性代数的课程体系，可以得知从中学时代的线性方程组和向量出发是最容易让学生接受的。对于线性方程组，其求解的过程主要由方程左侧的系数和右侧的常数决定，而与自变量无关；从方程的角度来介绍增广矩阵，进而通过其求解过程来引出行初等变换这个强有力的工具，然后初等变换到两类特殊的矩阵（行阶梯形矩阵和行最简形矩阵），重点强调非零行（秩、有效方程）和主元列（主元、主变量）。对于行列式，重点强调其按照一行或一列展开来作为定义；这样就可以绕开用逆序数来定义行列式，对于用逆序数来定义的这种方式，学生普遍不太理解，而老师也非常难给学生讲懂。通过重构线性代数的框架体系，我们可以将线性代数每章的重要概念用下面的方式来描述：

总之，对于新工科时代应用类本科院校“线性代数”课程的体系重构有利于体现线性代数课程的特点，更好地体现了线性代数体系的逻辑性，同时保证中学数学和大学数学的无缝对接。重构线性代数课程体系，不但体现了该课程以线性方程组和向量为核心，以矩阵和行列式为工具，而且有效地演化了线性代数课程中代数和几何的结合，并通过数学模型帮助学生建立直觉，从而有助于学生理解这些抽象的概念，并进一步理解线性代数课程的本质。