由三视图还原空间几何体
——流水线上的“切割”技术

2022-11-01 10:15侯杰文
数学之友 2022年16期
关键词:三视图外向视图

侯杰文,廖 洋

(四川省成都市盐道街中学,四川成都,610000)

由三视图还原空间几何体的过程中,如果把三个方位的空间想象,降低到单方向的空间想象上,可以大大降低空间想象的难度.这就好比是在流水线上对原材料进行“切割”加工,一道接着一道工序,直到产品成型.按照“由易到难,由里向外,重实避虚,三方检验”的原则,可以轻松应对所有三视图还原空间几何体问题.

1 方法展示

例1已知某几何体的三视图如下,请画出该几何体的直观图.

解析:(1) 加工过程,如下图所示

图1

图2

图3

图4

图5

图6

(2) 加工说明

① “由易到难”选原料:观察三个视图的轮廓线,不考虑视图内部的连线,选择正方体作为加工原材料,如图1;

② “由外向里”先外部切割:观察正视图,根据几何体坐标平面xoz的投影,可以做切割平面ABCD,如图2;将右上部分几何体切割掉,所剩几何体为三棱柱ABE-DCF,如图3;

③ “重实避虚”内部精细切割,观察侧视图,根据几何体在坐标平面yoz的投影,由于内部连线是实线(从左往右看是看得见的棱),因此在几何体左侧面作出且切割线DE;观察俯视图,根据几何体在坐标平面xoy的投影,由于内部连线是虚线(看不见的棱),因此在几何体底面作出切割线EC,即可得到切割面CDE,如图4.最后将三棱锥D-EFC切割掉,所剩几何体为四棱锥E-ABCD,如图6;

④ “三方检验”做完善:将所剩几何体做三个坐标平面的投影,满足三视图,故切割后的几何体为图6.

变式题已知某几何体的三视图如下,请画出该几何体的直观图.

解析:(1) 加工过程,如下图所示:

图7

图8

图9

图10

(2) 加工说明

① “由易到难”选原料:观察三个视图的轮廓线,不考虑视图内部的连线,为了增强几何图形的直观,选择长方体作为加工原材料,并做第一步切割,保留几何体三棱柱ABC-A1B1C1,如图7;

② “由外向里”做第二步切割:观察正视图,外围轮廓线是直角梯形,根据几何体坐标平面xoz的投影,可以做切割平面AB1D1(如图8,D1为A1C1中点),将右上部分三棱锥A-A1B1D1切割掉;

③ “由外向里,重实避虚”做第三步切割,观察侧视图,根据几何体在坐标平面yoz的投影,由于内部连线是实线(从左往右看是看得见的棱),因此在几何体左侧面恰好是切割线AB1;观察正视图,根据几何体在坐标平面xoz的投影,由于内部连线既有实线也有虚线(看不见的棱),实线的切割线恰好是BB1,作出虚线的切割线AC1,即可得到切割面AB1C1,如图9.最后将三棱锥B1-AC1D1切割掉,所剩几何体为四棱锥A-BCC1B1,如图10;

④ “三方检验”做完善:利用三视图检验四棱锥A-BCC1B1,符合题意.

例2(2022年全国甲卷第4题)如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为( ).

解析:(1) 加工过程,如下图所示:

图11

图12

图13

(2) 加工说明

① “由易到难”选原料:从三个视图中首先选择加工原材料,不难发现最简单的视图是侧视图,可以发现利用长方体(长为4,宽为2,高为2)作为加工原材料比较简单.为了增强直观感,将几何体放到空间直角坐标系中,如图11;

② “由外向里”做外部切割:根据正视图在投影面xoz的投影,作出切割平面ABCD,如图12;

③ “由外向里,重实避虚”做精细切割:根据俯视图在投影面yoz的投影,经检验无需再切割,即可得到最终切割后的几何体,如图13;

④ “三方检验”做完善.

(3) 解决问题

例3(2017全国卷2理科第4题)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( ).

A. 90π B. 63π C. 42π D. 36π

解:(1) 加工过程

图14

图15

图16

(2) 加工说明

① “由易到难”选原料:从俯视图可以发现利用圆柱作为加工原材料比较简单,如图14;

② “由外向里”做外部切割:根据侧视图视图在投影面yoz平面作出切割线,然后过切割线作切割面ABCD,如图15;

③ “三方检验”做完善:根据正视图验证所作切割面ABCD是否满足题意,同时由三视图确定几何体相关线段长度,不难发现CE=DF=4,底面圆的直径为6.

(3) 解决问题

故该组合体的体积V=V1+V2=36π+27π=63π.故选B.

2 归纳总结

三视图还原空间几何体的流水线上的“切割”步骤:

(1) “由易到难”选原料:一般从简单视图入手,选择简单空间几何体作为加工原材料.如:直棱柱、正棱锥、圆锥、球等简单几何体或简单几何体的组合体;

(2) 选择加工“机床”,增强直观感:一般将空间直角坐标系,长方体、正方体作为加工“机床”;

(3) “由外向里,重实避虚”做切割:选择较简单的视图入手,首先在投影面上确定“切割线”,然后过“切割线”作出切割面;

(4) “三方检验”做完善:检查切割后的几何体是否满足三视图.

3 方法提炼

总而言之,在处理三视图还原空间几何体的问题中,首先是利用简单几何体的模型建构空间几何体,若遇到较复杂的三视图,则可以尝试利用本文中提到的流水线加工策略.

流水线上的“切割”策略本质是:将三个方位的空间想象,分步聚焦到一个方位的空间想象,将发散式思维模式转化为线性思维模式,从而聚焦了思维能量,步步为营,直到成功还原空间几何体.这种方法与策略也体现了转化与化归的数学思想,为聚焦空间想象力、培养学生直观想象的数学核心素养提供了方法与策略.

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