基于课标与学情的教材分析——以“弧度制”为例

张丽云

(南京师范大学教师教育学院，江苏南京，210023)

弧度制是高中数学教材的重要内容，也是数学教学中比较难处理的一块内容.本文基于课标与学情对教材中弧度制的处理作些探讨.

1 “弧度制”课标要求和教材呈现

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(简称“课标”)明确指出：“了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的转化，体会引入弧度制的必要性(参见案例3)”[1]．相应地，查阅苏教版高中数学必修第一册教材[2]发现：教材的呈现顺序是弧度制的定义——弧度制与角度制的转化——弧长面积公式．在弧度制的定义呈现上，概念的引入与章引言密切相关，因此先展示引言的内容，如图1所示：

图1 苏教版高中数学必修第一册第七章章引言

引言提出了用怎样的数学模型刻画周期运动的问题，进而指出了圆周上一点的运动可以用有序数对(r,α)、(r,l)、(x,y)表示．弧度制的引入则在章引言内容基础上直接提出数学问题“r，l与α之间具有怎样的关系呢？”．接着教材介绍角度制并直接给出弧度制的定义，以“上述规定基于下面的基本事实”承上启下，说明“角α的弧度数由角α的大小唯一确定，而与其为圆心角所在的圆的大小(半径)无关．”体现弧度制定义的合理性．在弧度制与角度制的转化上，教材从360°=2πrad入手，呈现1°和1 rad如何转化，并提供两道例题让学生练习．在弧长面积公式上，主要是公式的简化．弧度制是在任意角的基础上学习度量角的新制度，为建立刻画周期现象的数学模型奠定了基础，是建立三角函数的重要工具，其重要性不言而喻．

2 教材分析

通过对教材的梳理，笔者认为，教材在弧度制的处理呈现上，最出彩的地方在于情境素材的选取．原因如下：首先，摩天轮的情境位于本章节三角函数的章引言部分，是学生熟悉的典型的周期现象，通过对圆周运动上的点位置的刻画能够将任意角、弧度制和任意角的三角函数串联起来[3]．因此在“三角函数”的起始教学(任意角、弧度制、任意角的三角函数)时可以用这个问题情境，进行单元教学设计，更有助于学生厘清知识之间的内在关联，避免知识“碎片化”，从整体上理解数学．其次，使用该情境引入，给学生提供了研究新的度量角的单位制的载体——圆．不论是角度制还是弧度制，对1°和1 rad的定义都是将角当成某个圆的圆心角．当然，没有使用该情境引入也可以较为自然地通过对学生已有的知识基础——角度制的充分回顾和总结，引出研究载体．但是相比较而言，采用摩天轮的情境更为直接，能更快速地进入主题.最后，有序数对(r,α)和(r,l)都可以表示圆周上同一个点P，使学生能初步感受圆心角与弧长之间的对应关系，为后续弧度制的探究提供感性经验．

但是根据课标，笔者认为教材有两个方面需要改进，一是缺乏有关弧度制数学文化的渗透；二是没有体现弧度制引入的必要性．首先，课标在“教材编写建议”中明确指出：“教材应当把数学文化融入到学习内容中，可以适当地介绍数学和科学研究的成果，开拓学生的数学视野，激发学生的学习兴趣与好奇心，培养学生的科学精神．”[4]弧度制概念的产生有较为悠久的历史渊源[5]，这是一个比较容易也较为合适渗透数学史的契机．但是教材在弧度制这一节没有呈现任何的数学史，只有在任意角中以浅蓝色字旁注的形式介绍了古巴比伦对角度和圆的划分．

其次，课标在案例3[6]说明了引入弧度制的必要性，意在帮助教师更好地理解课标的要求．必要性主要有3点：第一，从函数定义的要求上，弧度制的本质是用线段长度度量角的大小，统一了三角函数自变量和函数值的单位，只有这样才能进行基本初等函数的运算(四则运算、复合、求反函数等)，使函数具有更广泛的应用性；第二，从简化运算的需要上，弧度制的引入能为微积分的计算提供方便；第三，从三角函数的实用性上，三角函数能较好地描述钟摆、潮汐等周期现象，自变量除了角度外，还可能是时间或其他量．可见弧度制在数学中扮演着非常重要的角色．反观教材，按照这样的引入方式，学生可能难以明白为什么要学习弧度制？会误以为仅仅是度量角的大小的另一种单位制．但其实从学生的已有知识基础来看，不论是从函数的要求，还是简化运算的需要，亦或是三角函数的实用性上，教材也很难能在弧度制引入时就充分地体现必要性．事实上，关于弧度制引入必要性上，一直以来是比较棘手的问题．周杰和汪晓勤[7]曾分析20世纪中叶前的59种西方三角学教科书，发现多数教科书编写者都未能很好地处理引入弧度制的必要性问题．

3 教学设计分析

针对上述教材中的不足，本文将以江苏省2019年高中数学青年教师优质课大赛中14份弧度制教学设计为研究素材，分析一线教师在教学中基于学情是如何让学生体会弧度制引入的必要性及是否渗透数学史．值得注意的是，该大赛的参赛者都是各地级市的优秀青年教师代表，教学设计也是事先经过多次磨课修改后才呈现在大赛上，可以说是集体智慧的结晶．因此，该材料能够在一定程度上反映一线教师对弧度制内容的认识．

在数学史方面，共有12份教学设计向学生介绍了与弧度制相关的历史，而且都涉及到欧拉所做的贡献．表明绝大部分教师都比较认可本节课是渗透数学文化的良机．

在弧度制引入的必要性上，共9份教学设计有体现，占总教学设计的64.3%，具体体现方式见表1．表明一线教师还是较为重视弧度制引入的必要性，在备课时也不仅仅只是依据教材，而是立足课标，结合学情在教材基础上进行适当创造．从表1可以发现，教师都是从进制不一致的角度来让学生体会弧度制引入的必要性，只是不同的老师得到进制不统一的途径可能会不一样．其中，教学设计Ⅴ是由章引言情境得到弧长、半径和角度度量进制的不同来体现；而教学设计Ⅱ、Ⅲ和Ⅸ都是在复习角度制后由教师解释角度制是六十进制，会给数学研究带来不便．其他5份教学设计则是用锐角三角函数的自变量和因变量不一致来体现．

表1 教学设计中弧度制引入必要性的方式

续 表

4 建议

综合课标与教师基于学生学情的教学设计分析，针对教材中的不足提出以下两点建议：

第一、适当增加一些与弧度制相关的历史．其实在教师用书[8]中有向教师建议可向学生介绍或让学生查阅弧度制的历史和有关欧拉的资料，既然如此不妨将该“建议”换成“要求”在教材上适当呈现，也是一种意识形态的体现，更对教师教学提出了要求．

第二、在教材目前的组织逻辑和学生现有的知识基础上，对弧度制引入的必要性进行说明．通过上述教学设计的分析，本研究认为教材可以在本节的一开始对长度(弧长、半径)和角(圆心角)进制的不同会给数学研究带来非常多的不便进行说明，从而引出需要学习新的度量角的十进制单位制．