HPM视角下数学现象选用原则的研究 ——以基本不等式的概念教学为例

顾卫清

(苏州市吴江盛泽中学，江苏苏州，215228)

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》提出：“精选课程内容，处理好数学学科核心素养与知识技能之间的关系，强调数学与生活以及其他学科的联系，提升学生应用数学解决实际问题的能力”，“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质.”“数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.”

这里提到“创设合适的教学情境”，是指什么？怎样的教学情境是适合的，能培养学生问题意识的形成，能启发学生思考，提升学生综合素质，提升学生的数学素养？

本文以“基本不等式的概念教学”为例，来阐述HPM视角下数学现象选用原则.

1 什么是数学现象

同一个物体或事件，用物理的眼光看就是物理现象，用化学的眼光看就是化学现象，用语文的眼光看就是语文现象，用数学的眼光看就是数学现象.教学中合适的教学情境笔者认为可以看成是现象，它是用来观察和思考的，所以数学现象须能指向数学活动.宇宙、战争、经济、娱乐乃至爱情，只要能用数学的眼光去观察它、用数学的思维去思考它，那都是数学现象.

在没有数学的地方发现数学，那个现象就是好的数学现象；在有数学的地方却不能启发问题意识、不能启动数学活动，那个现象就不是数学现象.

把客观事实呈现给学生，让他们用数学的观点进行观察和研究，这个事实就成了学生眼中的数学现象.这里的“客观事实”可以是生活中的事实，也可以是数学中的事实，也可以是为了教学需要而虚构的事实，或者说就是合适的教学情境，但其中的数学问题是隐含的而不是外显的，其中的数学结构是符合学生数学现实的.

2 “基本不等式的概念教学”教案

2.1 教材分析

本节课是《普通高中教科书·数学必修第一册》第二章2.2《基本不等式》中的内容.根据任教学生的实际情况，将《基本不等式》划分为两节课(探究基本不等式的证明，基本不等式及其应用)，这是第一节课“基本不等式的概念”.基本不等式是不等式中的重要不等式，应用它不仅可以证明不等式，同时在生活及生产实际中，基本不等式是解决函数最值问题的有力工具，体现了基本不等式探究的重要性.

2.2 学情分析

基本不等式是在学生学习了等式性质与不等式性质的基础上，对不等式性质及证明的应用.学生有一定的基础，如解一些简单的不等式，研究简单的不等式性质等问题，这次的教学建立在学生已有知识层面的基础上，进行进一步的探究和活动.

2.3 设计思路

(1) 从数学历史背景中提出相关数学问题，引起学生的活动.在活动中，学生会面临一个认知冲突，通过此冲突提升学生持久的好奇心，加强他们的活动强度和思维深度，进而体会数学本质.再通过师生互动，完成数学理论的建构.最后通过对新知识的应用，实现知识的同化，形成新的技能，建构新的认知结构.

(2) 通过活动让学生真正地成为教学过程的主体，力图让学生从不同的角度去探究基本不等式的证明，让学生体会到基本不等式不仅是一个简单的式子，而且具有丰富的几何意义，另外也从一定程度上培养数形结合的思想方法和思维方式.

(3) 在教学过程中力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法.

(4) 感受数学文化的影响并体会分类讨论和数形结合的研究方法，以便能将其迁移到其它不等式与数学知识的研究中去.

2.4 教学目标

(1) 知识与技能：掌握两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数的定理，并学会用代数法和几何法进行基本不等式的证明，以及掌握基本不等式等号成立时的条件，并初步学会运用定理解决一些简单问题.

(2) 过程与方法：通过对比，转化等方式，借助数学结合等思想，培养学生观察、试验、归纳以及分析问题、解决问题的能力.

(3) 情感态度与价值观：体会数与生活的联系，学会尝试，学会勇敢，更要学会用科学严谨的态度学习知识，并学会用发展的眼光看待问题.

2.5 重点难点

重点：多角度证明基本不等式

难点：基本不等式的条件和内涵的理解

2.6 教法学法

以学生为主体，教师为主导，引导启发学生进行自主、探究、合作的学习，通过师生、生生的互动和交流获得知识，提升能力，达成学习目标.

2.7 教学过程

2.7.1 回首与展望

●公元前5世纪古希腊哲学家修昔底德(Thucydides)通过绕岛航行一周所需时间来估算西西里岛大小.

●公元1世纪，博物学家普林尼根据周长来估算不同地区的面积.

●公元5世纪的公有制社会里，有人将周长大的土地分给他人，被视为大公无私.

问题1：你觉得他们的做法是否可靠？为什么？

设计意图：从数学历史上的实例出发，引发学生的探索新知的积极性和欲望，这样的例子贴近生活，也符合学生的认知规律，在学生的最近发展区设置问题，能最有效地让学生进入状态，达到预定的效果，也体现了数学来源于生活，又实践于生活的本质.

2.7.2 直面感知

问题2：如何从实际操作层面出发，将上述转变为“数学问题”，将“抽象推理”转化为“数学模型”？

请同学们尝试将周长为100厘米的绳子围成不同的矩形，并通过计算说明其面积是否相等？

问题3：请问通过上述两图你能得到什么样的结果？

设计意图：通过观察、建模、试验、归纳、讨论等方式活动，从一定程度上更好地激起学生探索的欲望和学习的兴趣，强化和培养学生分析问题和解决问题的能力.而此结论的得出顺理成章，也为接下来研究基本不等式的形式做下铺垫和提示，为本节课的重难点的突破打下坚实的基础.

2.7.3 现象解析

问题4：请问周长都是100的矩形，何时面积最大？

上述问题可转化为：设围成的矩形长为a，宽为b，求S=ab的最大值

解：S=ab=a(50-a)=-a2+50a=-(a-25)2+625

利用二次函数的最值即可求得当a=25时面积最大.

也就是说周长固定时，围成的正方形面积最大.

换而言之：在长方形的情形中，长和宽分别为a和b的长方形的面积不超过等周正方形的面积.

2.7.4 规范化

问题5：这里的a，b有何条件的限制？(a≥0，b≥0)

问题6：这个不等式中的等号何时才能成立？(当且仅当a=b)

设计意图：设置连续的，有层次的问题，层层递进，让学生脚踏实地，步步为营，从而得出基本不等式的形式、成立的条件，从本质上认识基本不等式的形式和内涵.

2.7.5 结构化

那谁来试试，证明基本不等式？

法1：作差法(需详细解答)

法2：分析法(书本上有，一带而过)

法3：综合法(书本上有，一带而过)

法4：几何法(学生自行看书上几何图象并理解)

设计意图：在充分认识了基本不等式的基础上，进行严格的证明和推理，强化基本不等式的条件，特别是证明方法的选用上采用多角度、多方位、多形式进行研究，让学生对基本不等式产生强烈的视觉和心理冲击，起到牢记并理解的效果.

2.7.6 应用拓展

设计意图：例1的设置主要是为了让学生熟悉和深化基本不等式的形式，并进行简单的变形运用，而从学生自编题中可能会发现一些问题，如正数、如“等号”是否能取到的问题等，使知识得到强化和提升.

例2已知x，y都是正数，求证：

设计意图：例2的设置符合本节课的要点，这里特别强调配凑的思想以及当且仅当等号成立条件的书写要求.为接下来学习基本不等式的应用做好铺垫.

2.7.7 回顾小结

回顾今天的学习，你学到了哪些？

今天这节课给你印象最深的又是什么？

设计意图：本环节中让学生进行总结并补充提炼，让学生谈谈自己的看法或想法，这样让学生自己去回顾本节课的主要内容和需要注意的重点难点，再一次将本节课的精髓快速呈现，这比教师总结要好得多.

3 为什么要提出在HPM视角下选用数学现象

常规课堂下的现象教学已形成相关的课堂范式，而课堂实施的“药引”即现象需教师提供，如何提供合适的现象，激发学生好奇心，引发学生思考，主动提出问题、困惑，触发学生体验的欲望，使知识的生成过程在学生亲身体验中将起到助推的作用.

3.1 从历史上探寻适合的数学现象

数学史能让师生感知：数学是一门不断演进、人性化的学科，而不是僵化的真理系统；能培养坚持真理、不懈探究、提出问题、追求创新的品质；能告诉师生面对挫折、失败和错误，不必灰心丧气.从数学发展的历史长河中，选取适合的数学现象能充分激发学生学习兴趣，创造学生学习动机.

3.2 从现象中探寻适合的数学现象

如果把例题的条件和任务一次性呈现出来，它就是一个题目；如果把题目进行适当的分段呈现，只呈现条件，而不呈现任务，它就是一个现象.HPM视角下，选择与学生在现实世界经历过的现象有关的实际问题，能更好地促进学生对数学的学习.

3.3 从文化中探寻适合的数学现象

知识是一个整体，数学是整个整体的一部分.每一个数学概念都是这个时代更广阔的文化运动的一部分.HPM视角下，教师融入数学史，使学生从数学的孤岛中走出来，从文化中探寻适合学生发展的路径、让学生领略数学文化的无穷魅力.

4 选用原则

4.1 好奇心原则——数学现象的选用须始于寻求激发数学学科兴趣

人天生具有好奇心，好奇心能激发人类对事物本质认识的追求.本案例中选用估算西西里岛大小的现象，容易让学生和现在估算大小的办法进行比对，同时非常好奇古时候的人类工具还不充分、知识原理还不成熟的时候是如何进行估算的，这就将学生的好奇心进行激发，激励学生探究其奥秘.

我们知道，世界现象很多，与基本不等式关联的数学现象自然也不少，本案例中提到的案例：“公元5世纪的公有制社会里，有人将周长大的土地分给他人，被视为大公无私.”如何解读，如何说明其公正性，这是与现实紧密结合在一起的，也许学生之前也有人这样认为，粗想感觉没错，周长越长，理论上讲面积不是越大吗？难道不是吗？人天生的好奇心油然而生.

4.2 自主性原则——数学现象的选用须注重于学生问题意识的培养

如何将周长越长，理论上讲面积不是越大的问题进行说明？借助同伴的讨论，需要寻找反例即可得到证明？那反例又是如何产生，如何将实际问题进行数学化？爱因斯坦说过，提出问题比解决问题更重要.目前我们能比较快捷地求哪些几何图形？答案首选是规则的图象，譬如三角形、四边形、圆形等，这是学生已有的认知，借助已有认知逐步进行量化，从而请同学们尝试将周长为100厘米的绳子围成不同的矩形，并通过计算说明其面积是否相等？学生通过列举发现面积可以不等，从而逐步清晰的解决了之前的疑问？而同学们的疑惑或者老师的追问，何时面积最大？引出本节课题.在学生提出问题的时候，情感其实已经调动起来了，认知也有了基础，学生自主的产生往往伴随着强烈的问题意识.

4.3 过程性原则——数学现象的选用须注重于学生知识生成的体验

怎样促进学生生成呢？回到问题本身！让学生直面他所要认识的世界，即为何有人将周长大的土地分给他人，被视为大公无私.这种说法正确吗？产生求知的欲望，然后自己感知到问题的存在、自己提出问题.

数学源于生活，又高于生活.从实际生活中得到的现象，如何从实际操作层面出发，将上述转变为“数学现象”，将“抽象推理”转化为“数学模型”？我们在此处由学生自主探究，将之问题转化为数学模型，具有可操作性，转发为将周长固定的绳子围成不同的矩形，并通过计算说明其面积是否相等的问题，并用具体的矩形图形将之具体化、图形化，更直观的给予表达，让学生亲身体验知识生成的过程.从这个角度看，学习归根结底还在于学习者本人，老师只能起到辅助的作用.

4.4 文化原则——数学现象的选用须注重与其他领域的有效联系

我们在解决周长固定的绳子围成不同的矩形，并通过计算说明其面积是否相等的问题过程中，是学生已有的认知层面，即二次函数的最值问题，从而问题得到解决，在此基础上引出基本不等式，使之两者紧密串联在一起，也为基本不等式的证明埋下伏笔.

数学现象比数学问题更贴近学生的生活经验，它直接立足于学生的数学现实.由此出发而进行数学化，可以把学生的思维前伸，把思维的根扎进生活的土壤.这样，一可补足“标准化”的数学问题所留下的空当，架起沟通生活与数学的桥梁，给学生带来更直接的数学体验、积累更鲜活的数学活动经验，二可提高学生的数学化和再创造能力.

通过数学史与数学教育，探寻适合新教材的新授课、复习课的数学现象，这些现象可以给学生提供数学与现实生活密切联系的例子，可以让学生体会数学的价值，从中获得良好的数学体验，从而形成正确的数学观.

坚持上述原则，提供一个适合的数学现象，能很好地生成相关知识，而且让学生经历知识的生成，这使学生掌握的知识具有鲜活的生命力.

5 结束语

致力于把数学现象呈现给学生，使学生用数学的观点进行观察和探究，教学中要不断唤起学生的好奇心、质疑、批判和探究的意识，从而达到知识的自然生成.在数学现象面前，学生可以突破“套题型、背解法”的屏障，把思想自由放飞，到外面去找到更广阔的天空.