“线性代数”课程思政元素挖掘的思维路径

景元萍，许 超，魏 巍

（洛阳理工学院 数学与物理教学部，河南 洛阳 471000）

引言

2020年6月，教育部印发了《高等学校课程思政建设指导纲要》，明确要求全面推进高校课程思政建设，深度挖掘高校各学科门类专业课程蕴含的思想政治教育资源。“线性代数”作为理工类本科各专业的一门公共基础必修课，是一门非常重要的大学数学课程，在培养高素质人才中越来越显示出其独特的、不可替代的重要作用。“线性代数”为构建大学生的专业知识体系奠定了基础，引导学生科学地认识世界，其课程特点决定了其必然要遵循课程思政建设的教育要求。但是由于“线性代数”课程内容抽象，不易理解，要想水乳交融地引入课程思政有一定的难度，因此目前针对“线性代数”教学内容和教学方法的思想政治教育探讨并不多。笔者结合自己在“线性代数”课程思政建设过程中的探索与实践，分析和探讨了挖掘“线性代数”课程思政元素的思维路径。

一、开展“线性代数”课程思政的必要性

（一）课程性质的重要性决定课程思政建设的必要性

课程思政建设的基础是课程。“线性代数”是学生在大学期间重要的基础课之一，因此学生非常重视。课程本身应用范围广泛，覆盖自然学科和社会学科的各个方面，在处理高维问题时，课程中的向量空间和矩阵运算部分更是这些学科的理论基础与基本工具。例如：在设计飞机时，工程师会使用三维建模和计算流体动力学，线性代数在这个过程中起到了关键作用，因为在研究飞机表面气流时需要对大型的线性方程组进行反复求解。还有虚拟场景的设计与实现，涉及线性代数中的透视变换，图像识别要用到矩阵变换、矩阵特征值等方面的知识，等等。由于线性代数与计算机的紧密结合，使得其在很多前沿领域中都会被作为基础性的工具，应用广泛。在这门课程中开展思想政治教育，激发学生的求知欲，培养学生科技报国的家国情怀和使命担当，鼓励学生努力进步是非常有必要的。

（二）广泛的受益学生群体和恰当的课程时间节点是课程思政建设的优势

课程思政建设的成效在学生。“线性代数”课程是面对全校的理工科学生，教学受众面广，“线性代数”的教学时段为大二上学期，此阶段学生年龄小，但是经过大一阶段的学习，学生已经对大学生活有所了解，对于在陌生的生活环境中如何与同学相处、在更为自由的学习环境下如何把握自己、在没有家长的情况下遇到事情如何处理等问题已逐渐形成了自己的认知。作为“网络原住民”的一代，突出个性、种类繁多的新媒体无时无刻不在影响着学生的思考和判断，所以大二上学期是一个关键时期，尤其需要教师适当地引导，因此在这个时间节点开展课程思政教育是必要且重要的。

（三）课程思政建设能够促进教师教育教学水平的提升

课程思政建设的关键在教师。在课程思政建设中，“课程”与“思政”的关系应当是“如春在花，如盐入味”而非“眼中金屑，米中掺沙”。要达到润物无声的隐性思想政治效果，就需要教师深入、系统、精准地挖掘和梳理“线性代数”课程中蕴含的课程思政内容，因此教师必须通晓课程的发展历史，厘清授课知识体系的来龙去脉；注重知识点的提炼和升华，能够讲出其背后的数学思想；关注前沿动态，注重传统知识点与前沿知识的结合。所以，课程思政建设从另外一个角度对教师的教育教学水平提出了更高的要求，能够有效促进教师教育教学水平的提升，因此开展课程思政建设是极其必要的。

二、“线性代数”课程挖掘思政元素的思维路径

（一）“线性代数”与马克思主义哲学

从马克思主义哲学切入，深入挖掘思政元素，树立学生的辩证唯物主义和科学方法论。数学是一门客观、严谨的自然科学，很多概念和方法都体现了丰富的唯物论和辩证法的哲学思想及科学方法论。例如，在学习“二次型化为标准型的过程”时，教师可以引出“对立和统一”的辩证关系。切入点：二次型化为标准型的过程中对二次型做各种变换得到的标准型从形式上来看往往有很大差异，表现出形式上的对立性；从本质上来看对二次型进行变换，将问题简单化，把不一样的形式统一成一个规范型，利于分析问题的本质，便于问题的解决。同时，标准型中正负项的个数保持一致，即正定性保持不变，从而在几何形态上表示同一种类型，体现了实质上的统一性。“线性代数”课程中还有很多概念，如方程组的有解和无解、向量组的相关与不相关、矩阵的可逆与不可逆、方阵的可对角化与不可对角化都可以认为是对立和统一的结合。由于对立所以能由此及彼，又因统一所以能互为利用，构成了线性代数层次清晰、内容丰富的知识体系。在学习“矩阵的秩”时，教师可以引出“透过现象看本质”的哲学思想。切入点：矩阵的秩为排除矩阵中冗余信息后，真正起作用的列向量的个数。计算秩的目的不在于数字本身，而在于洞察其背后的意义。在学习“向量组的极大线性无关组”时，教师可以引入“抓住主要矛盾”的哲学思想。切入点：只要找出向量组的极大线性无关组，就能够把握该向量组的核心特征。从这个意义上来讲，寻求向量组的极大线性无关组充分体现了唯物辩证法中抓住主要矛盾的哲学思想。教育学生在面对复杂的问题时，首先要抓住主要矛盾，把它作为解决一切矛盾的根本点和出发点。在学习“矩阵的分块法”时，教师可以引出“笛卡尔方法论”。切入点：矩阵太大时，不适合存储在高速计算机内存中，将矩阵分块进行矩阵运算更有效，好比将一头猪放入冰箱，不好放，但分成若干小块再放则容易得多，这与积分思想也有共通之处，这就是“笛卡尔方法论”：将研究的复杂问题，尽量分解为多个比较简单的小问题，一个一个地分开解决。在学习“n阶行列式的定义式”时，教师可以引入“不能产生思维定式”的科学方法论意义。切入点：一、二、三阶行列式均有对角线法则，四阶及以上不满足对角线法则；类似的一、二、三维空间在现实中均有对应，但四维及以上无现实对应；汉字一、二、三、四不再用堆叠的横线表示。教育学生做事情要打破思维定式，具备质疑精神和创新精神。

（二）“线性代数”与人生观、价值观

从数学知识点切入，挖掘思政元素，树立学生正确的人生观、价值观。从“线性代数”的具体知识点出发，提炼数学思想，将讲授的内容上升到哲学层面，实现与德育教育的连接，在传授知识的同时塑造价值观。例如，在讲解定理“若向量组A可以由向量组B线性表出，则R（A）≤R（B）”时，提炼其中的数学思想：定理说明，不论向量组A与B自身是线性相关还是线性无关，用秩的观点来看，向量组的本质只能以多生少。再升华进行德育教育：从秩的观点来看，向量组的本质只能以多生少，不能以少生多，自然界里也没有点石成金、化水为油的捷径，我们只能厚积薄发，注重充实自我，不断积累，储备永远要比输出多。在讲解向量空间时，可以引入关于青蛙的寓言故事，说明讨论高维空间的必要性。切入点：一只待在平面里的青蛙，待久了，就以为世界只有平面这么大，不会了解到还有立体事物的存在。在讲解极大线性无关组的概念“线性空间中拥有向量个数最多的线性无关向量组”时，指出一个向量组的极大线性无关组是其本质的部分，对许多问题的研究起着非常重要的作用。教育学生要做极大线性无关组式的人物，发挥关键的作用，并且不会被取代。

（三）“线性代数”与数学发展史

从数学发展史切入，挖掘思政元素，引出中国历史文化，树立民族自豪感、文化自信和责任感。例如，在讲解矩阵、矩阵的初等变换及线性方程组理论时，教师可以介绍数学著作《九章算术》。切入点：《九章算术》是我国古代经典的数学著作之一，成于公元一世纪左右，其中的“方程”部分针对线性方程组提出了分离系数的表示方法，体现了现在的矩阵思想，同时使用直除法求解线性方程组，这与初等变换方法本质上是一致的，是世界上最早的完整的线性方程组的解法。而西方是在行列式的概念由莱布尼茨正式提出后，在18世纪由克莱姆给出了求解完整的线性方程组的解法法则（克莱姆法则）。真正利用矩阵的思想方法求解线性方程组，是在19世纪，高斯消元法由数学家高斯命名，由拉布扎比·伊丁特改进，发表于法国，此时矩阵思想若隐若现，后来英国数学家凯莱首次正式提出矩阵的概念，并系统地对矩阵和矩阵的乘积进行了探究，在此之后矩阵才作为一种数学研究工具得以推广和完善，并由英国数学家史密斯和道奇森进一步应用于线性方程组的求解。在讲二三阶行列式的定义时，可以用《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题，引出二三阶行列式的定义。通过上述案例，在弘扬中国文化的基础上，增强学生的文化自信心和民族自豪感，同时要教育学生注意到早期中国数学的辉煌与近代中国数学的没落，激起他们的民族责任感。在导言课程中，可以向学生讲解线性代数中“代数”二字的译文来源：1859年，我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。李善兰是我国近代著名数学家，在那个战乱纷繁、时事动荡的年代，能够坚持翻译《几何原本》《代数学》《代微积拾级》等数学书籍，在传播近代科学特别是数学知识方面起到了非常重要的作用。教育学生学习李善兰先生的自律性和个人意志，以及不为外界环境左右的心性。

（四）“线性代数”与科学家的故事

从科学家故事切入，挖掘思政元素，引出国家意识，树立爱国主义情怀，歌颂自强不息的精神。介绍数学家励志的人生经历和辉煌学术成就，以榜样激励学生不断努力，培养学生追求真理、勇于探索、坚持不懈的科学精神。例如，在讲解“矩阵乘法和逆矩阵”时，我们通常会引入矩阵在信息加密中的应用（密码学），此时可以介绍我国著名密码学家、山东大学的王小云院士。切入点：王小云院士默默耕耘于密码学一线，破译世界两大顶级密码，让中国人从此扬眉吐气。上课时也可以穿插介绍无心功名、潜心研究的俄罗斯数学家佩雷尔曼；学有所成后，回国为祖国培养新一代数学人才的华罗庚；痴迷数学默默无闻半辈子，最终做出重大数学突破的华裔数学家张益唐；以及陈省身、丘成桐等华裔数学家的故事。既增加了课堂趣味，又进行了隐性思想政治教育。

（五）“线性代数”与实际案例

从实际案例的背景出发，挖掘思政元素，厚植爱国主义情怀，增强科技自信。例如，讲解计算行列式的方法时，介绍我国超级计算机的发展，树立科技自信。切入点：直接利用按行（列）展开通过计算代数余子式计算行列式的值不可行，对于一个25×25阶的行列式，其代数余子式展开需要超过25!≈1.5×10次乘法运算，若超级计算机每秒完成1万亿次乘法运算，利用这种方式需要运行50万年，可以展开介绍一下我国的“神威·太湖之光”超级计算机，速度高达每秒9.3亿亿次。在讲解矩阵乘法时，可以用地震救灾物资运输问题作为引例，厚植爱国主义情怀。切入点：制作这个例子的课件时，可以用“5·12汶川地震”或者2021年7月郑州特大暴雨洪灾等相关图片作为配图，体现中华儿女一方有难、八方支援的优良传统，这样即便我们不去特意展开，学生也会自然感受到中华儿女万众一心的精神。也可以用交通网络问题作为引例，制作课件时用中国高铁线路图作为配图，让学生通过感受中国高铁的发展，激发民族自豪感。以某课程平时成绩的计算为引例，不但有助于学生对矩阵乘法的理解，而且可以在求解过程中引导学生端正学习态度，重视过程学习。在讲解向量组的线性相关性时，可以用在新冠肺炎疫情防控期间中医药治疗时特效药材的配比问题作为引例，介绍中医药在治疗新冠肺炎中的重要作用，培养学生的爱国主义精神、创新精神、大局观等。在《特征值与特征向量》这一章，可以在布置作业时进行社会主义核心价值观的教育。切入点：给学生布置相对复杂的应用型问题作业“动力系统与斑点猫头鹰”，让学生利用本章知识回答“政府是应该出台新的伐木限制措施，以避免斑点猫头鹰的灭绝，还是继续现有的伐木措施”，并尝试从生态学的角度深入分析，思考习近平总书记的“两山理论”，并以小论文的形式完成作业。

除以上方面外，还有很多可以挖掘思政元素的方面，例如克莱默法则、线性方程组的矩阵表达形式、对称矩阵等概念和方法中都蕴含着数学的简洁美、对称美、形式美和奇异美，可以将线性代数与美学结合起来，培养学生发现、欣赏和创造美的能力。另外，教师要言芳行洁、以身作则，这是最直接的课程思政。

结语

“线性代数”的课程思政建设较其他课程来讲是相对困难的，只要基层教师能够发挥主观能动性，多读、多看、多想，深入挖掘课程内容和教学方法中的思政元素，“线性代数”的课程思政建设同样能够做好、做精，将正确的价值观、人生观植入学生心田，真正起到立德树人与价值塑造的作用，与思想政治理论课同向同行，实现协同育人的目标。