关于高中数学解题教学的理性思考及导问式设计

赵士元

数学解题是数学学习的重要组成部分，数学教学离不开解题教学。从新课程的观点来看，解题教学是数学教师按照一定的教学原则，使用恰当且符合学情的教学方法，以数学问题或具体的情境问题为载体组织的特定的数学学习活动。解题教学不仅是求出具体的问题答案，更是帮助学生巩固基础知识、落实基本技能、提升数学素养的有效手段。

由此可见，数学教学的首要任务是教会学生思考、探索和分析问题，从而培养学生自主学习的能力，使其养成良好的学习习惯。基于这样的认识，笔者在多年教学实践的基础上对目前解题教学中存在的问题进行分析，并就如何利用导问式的教学方法进行解题教学设计提出一些建议，希望对改进数学解题教学现状、提升教学效率有一定的帮助。

一、关于解题教学的理性思考

解题教学的目的是以问题为载体，培养和训练学生思考问题、发现问题的能力，并在此基础上提升其解决问题的能力。因此，问题的设置、提出，以及师生如何在问题解决的过程中扮演好各自的角色，都是需要教师用心设计和思考的。

教师自身在获得一个问题的解答方法之前一定是有过许多思考的，这往往是教师对一个又一个相关问题的“拷问”过程。教师在对这些相关问题的思考过程中逐步明晰问题情境，最终获得解题思路。导问式设计就是教师将这一思考过程中的问题形成一个“问题链”，帮助学生将一个陌生问题转化为熟悉问题，将一个未知问题转化为已知问题。

二、高中数学解题教学的现状

现今的中学数学课堂里将“解题教学”等同于“习题讲解”的现象比较常见，不少教师对解题教学的理解较片面，解题教学中普遍存在着一些误区，归纳起来有以下六个方面。

1.重“题”轻“问”

解题教学是数学教学不可或缺的重要组成部分，许多教师在解题教学中把解决问题作为教学的最终目标，过于重视题目本身，而对问题的生成、学生对问题的理解却很少过问，师生交流也流于形式。

2.重“静”轻“变”

在解题教学特别是试卷评讲过程中，不少教师重视“静态的教学”而忽视相关题型的整合，教学停留在“就题论题”、忽视“变式”的现象非常普遍，学生头脑中的知识零乱，难以形成清晰的知识网络，不会举一反三，导致讲过的题目一错再错，教学陷于被动。

3.重“量”轻“质”

这种现象在试卷评讲过程中尤为突出，一些教师满足于一节课中完成一份试卷的评讲，讲解重点不突出、主次不分，甚至一讲到底，这样的课堂高密度、高容量，忽视试题本身的考核功能，学生缺乏思维训练，评讲气氛沉闷，课堂效率低下。

4.重“讲”轻“学”

当前不少数学课堂过分重视教材的“神圣”地位和教师在教学中的中心地位。教师缺少对学生独立思考的关注，缺乏对学生学习活动心理过程的关注，生本意识淡薄，教育观念滞后。

5.重“巧”轻“常”

在数学解题教学中教师重视技巧而忽视通性通法的现象时而发生，对解题的常规性思维、合理的解题逻辑推理等关注不足。教师过度重视教授解题技巧直接导致了学生对数学的误解，感觉到数学只是一些“聪明人”的“玩物”，于是让不少自认为“不聪明”的普通的孩子“望数学兴叹”。

6.重“正”轻“误”

课堂教学中教师过度注重正确解法的分析，追求教学过程中的“万无一失”，却忽视了作为活动形式的课堂教学本身“充满着很多变数，其中不乏错误信息”这样一个基本事实。真实的课应该是“允许学生出错”的常态课，而不是精雕细琢的表演课。

三、有效解题教学的导问式设计

所谓“导问”，即“引导、设问”之义，是指通过对问题本身的研判，在启发学生思考的基础上，引导学生提出问题、分析问题、设计问题解决的计划，最终达到解决问题的目的。“导”和“问”是导问式解题教学的两个关键点，其核心是策略层面上的“导”，灵魂是操作层面上的“问”。利用导问式的教学方法进行解题教学的关键是解决“导什么”以及“如何导”。下面，笔者结合典型案例从审题、析题和反思三个层面，论述导问式解题教学的实施策略。

1.读题审题，在导问过程中实现数学语言间的相互转译

苏联数学教育家斯托利亚尔曾说：“数学教学也就是数学语言的教学。”作为语言学习中的数学学习离不开数学阅读，可以说数学阅读能力的高低已成为衡量数学学习能力的一个重要指标。

解题教学理所当然地承担着数学阅读的重任，波利亚在《怎样解题》中明确将数学解题分成若干个部分，其中读题审题是第一步，学生只有在读懂题、审清题的基础上才能着手思考数学问题。解题教学中的读题审题实际上就是让学生学会用生活化的语言理解数学问题以及用数学化的语言理解生活问题。

【实例】（山东省2022届高三第二次学业质量联合检测卷第22题）

等价转化问题，让学生明确“读题”的重要性，认识到一些问题的设置往往具有一定的“欺骗性”，这有助于培养学生思维的敏捷性。

2.剥茧抽丝，让学生在导问的过程中学会像数学家一样思考问题

许多教师在解题教学过程中不注意对解题思路的引导，这样学生在独立解题过程中必然会按教师的套路出牌，一旦出现新的情境学生往往会茫然不知所措。笔者认为导问式解题教学可以有效地改变这种局面。

以实例中的第（2）小题为例，教师可以请学生思考以下问题。

（1）本题的解题目标是什么？暗示着什么信息？（2）以线段PQ为直径的圆是一个动圆，是什么因素导致它在“动”？（3）M、N两个点主要受什么影响？（4）至此，你认为要解决此题需要做什么？（5）以P、Q为直径端点的圆的方程是什么样的？由此，需要做什么准备工作？

随后，教师在理清这些小问题的基础上帮助学生设计解题计划：（1）设直线MN的方程，并与椭圆方程联立成方程组消去y得方程f（x）=0；（2）设M，N的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），则x1，x2是f（x）=0两个不实根，可得x1+x2，x1·x2；（3）用x1，y1，x2，y2表示P、Q的坐标并用斜率k表示x1+x2，x1·x2和y1+y2，y1·y2；（4）用k表示出以PQ为直径的圆方程（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0并适当化简；（5）根据方程特点寻求定点。

设计这些小问题的目的是在一个较为复杂陌生的目标问题与简单熟悉的题设或条件之间建立桥梁，便于学生顺利地从题设走向目标。如果教师能在平时的解题教学中经常性地使用“导问”的方式帮助学生思考问题，那么学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力一定会得到持续提升。

3.题后回顾，让学生在导问过程中学会反思

所谓解题反思，就是解题后对解题过程中所涉及的数学概念、基本知识和基本能力进行回顾，验证结论的合理性，并对解题思路、所用知识点以及数学思想进行反思。

解题反思是解题教学活动不可缺少的过程。在平时的教学过程中，教师要积极引导学生认真反思，改进解题过程、探讨知识联系、探究解题规律。这对提高解题能力，培养学生数学兴趣，提升学生数学素养有非常积极的推动作用，也是学生学好数学的必要条件。如在按解题计划解完实例中的第（2）小题后，教师可引导学生进行如下反思。

反思一：设直线MN的方程时需要什么条件？题目条件中是否隐含着这一条件？如果没有，需要我们做什么后补性工作？

反思二：直线x=4是什么直线？这对解本题有没有什么特殊作用？今后解题时要注意什么？

反思三：在求出圆方程前为什么要先用斜率k表示三个式子？

反思四：研究动曲线过定点问题通常是怎样处理的？在得到含参动曲线方程后如果无法看出其动点时，可采用什么方法研究？

波利亚在《怎样解题》一书中明确提出“理解问题、拟定计划、实施计划、回顾检验”是解题的四个必不可少的基本步骤。对实施解题计划进行导问式反思，既是对解题过程可行性和可操作性的再次思考，更是优化解题计划、使学生的思维得到升华的必要途径。

四、结语

在解题教学过程中，教师不应满足于学生“学会”，更不要满足于学生“听懂”，而应通过对问题的分析及思维的引导，让学生从“学会”走向“会学”。

首先，在解题的第一步骤“审题”中，教师不应将“审题”狭义地理解为“读题”，而应通过“导问”的方式对问题题设和条件进行分析，让学生明确题目以及题设条件所给出的信息，这有利于培养学生良好的解题“题感”。

其次，通过导问的方式帮助学生在题设和结论之间架设通道是提升学生问题解决能力的有效途径。导问式例题教学通过对“问题链”中一个又一个小问题的分析研究，引导学生体会解题的原生态思维，从而逐步提高解题能力，帮助学生养成良好的解题习惯，教会学生真正用数学的思想思考问题。解题教学的目的不是教给学生一些灵机一动的“奇思妙想”，而是教会学生在题设和目标之间进行“步步为营”的精致设计。