李健
所谓“导问式”教学,指基于不同的教学目标和教学内容,以“问题和引导”为基本特征的一种教学活动形式。[1]其外部特征一般呈现为:教师通过设置一定的情境,引导学生发现问题,在与学生共同解读问题的过程中,围绕核心概念提出一系列问题,启发学生思考探究并解决问题,最终达到把握问题本质的目的。其内涵主旨为:通过动态思辨,帮助学生启迪思维、生成智慧。
变式教学指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化的教学方式,它主张保持问题的本质特征不变,将问题的非本质属性不断迁移,通过深化认知的一系列策略与途径,在动态教学中把握数学本质,这与“导问”的教学目标与实施手段高度契合。笔者着眼于提升高中生数学思维品质,以高三一轮复习的课堂教学为落脚点,从一道课本习题出发,薄口深切,例谈基于“导问”的变式教学策略。
在学习“直线和圆”过程中,《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《课标》)要求学生“能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆位置关系,并能解决一些简单的数学问题”。从整个解析几何单元的学业要求来看,《课标》强调了几何问题与代数问题间的转化与融合。
针对高三学生的知识储备与思维特点,笔者设计了一个围绕“直线和圆位置关系”的进阶微专题,以苏教版教材(2019年版)选择性必修一(以下简称《选必一》)第62页习题2.2第10题为研究起点展开变式教学,以期引导学生逐步深化对直线和圆位置关系的认知,“沉浸式”地感知几何与代数的深刻关系,最终把握解析几何(以下简称“解几”)的本质。
1.借“一题多变”导出问题情境
【问题1】已知圆O的方程是x2+y2=r2,求经过圆O上一点M(x0,y0)的切线方程。
生1:根据题意分析可得,所求切线与直线OM垂直。故可设所求切线方程为x0x+y0y+c=0,代入M(x0,y0)可得++c=0⇒c=-r2,则所求切线方程为x0x+y0y=r2。
师:很好!同学们学会了在抓住切线几何性质的同时,合理使用数学语言去刻画、解决“过已知圆上一点的切线问题”。那么接下来我们一起探究:“当点M(x0,y0)不在圆上时,直线x0x+y0y=r2与圆O的位置关系又该如何呢?”
【问题2】已知点M(x0,y0)在圆O:x2+y2=r2的内部(异于圆心O),判断直线l:x0x+y0y=r2与圆O的位置关系。
师:若点M在圆O外部呢?
师:很好!研究直线和圆的位置关系需要紧紧把握圆心到直线的距离d与圆半径r之间的大小关系。同时,直线l:x0x+y0y=r2似乎与圆O:x2+y2=r2有一种“神秘”的联系,接下来我们将通过一系列问题来进行探讨。
本环节中,问题1最后设置“一题多变”,利用《选必一》中第62页的习题12设置变式情境,带领学生进一步探究。通过问题2的两个“非标准化”变式,突出了直线与圆位置关系的本质属性,即“d与r之间的大小关系”。再利用其所包含的代数形式的共同特征,引导学生进行深入探讨。
2.由“一题多解”导向问题本质
【问题3】已知点M(x0,y0)在圆O:x2+y2=r2外部,你能探究出直线l:x0x+y0y=r2的几何意义吗?
(图1)
师:大家有别的方法来证明上述这个结论吗?
(限于版面,求解过程略)
师:问题1和问题3的答案均为x0x+y0y=r2,这是一种巧合吗?还是它们之间存在着一种内在联系?大家可交流探讨。
生5:可以从图形的角度动态地理解“切点弦”和“圆上一点切线”的内在联系,当点M从圆的外部向圆逐步靠近时,此时A、B两点也会沿着圆弧不断向其靠近,当点A、B、M无限接近“重合”状态时,原本作为割线的切点弦AB所在直线也会“逼近”成为一条过圆上一点M的切线了。
师:(可配合几何画板动态演示)很好!根据同学们的分析,我们可以将其简单地理解为“过圆上一点的切线就是某割线的极限状态”。在探讨的过程中,我们深刻地感受到直线与圆的问题可以用代数方法来解决,同时也可以从几何角度探索、感知其内在本质。
本环节通过问题3启发学生“一题多解”,从几何和代数两个维度来深化教学内容,凸显了“解几”本质,随后教师引导学生探究问题1与问题3的内在联系,设置变式追问,引导学生深度思考。最后利用几何画板动态展示,帮助学生从抽象和具象两个层面去理解数和形的关系,从而把握“解几”本质。
3.用“多题一解”导引问题深化
【问题4】已知点M(x0,y0)在圆O:x2+y2=r2的内部(异于圆心O:x2+y2=r2),求证:过M点的弦(除直径外)的两个端点在圆上两切线的交点轨迹为直线x0x+y0y=r2。
生6:设两切线的 交 点 为P(x',y')(见图2),由问题3可知过P点圆O的两切线的切点弦所在直线AB的方程为x'x+y'y=r2。因为点M(x0,y0)在直线AB上,所以有x'x0+y'y0=r2,又因为点P具有任意性,故点P即为所求动点,因此,用x,y分别替换x',y',得到所求轨迹方程x0x+y0y=r2,故命题得证。
(图2)
师:不难看出,该过程体现的解题思路与问题3中生5所展示的思想方法相同,都是根据解题需要将点进行“动态”与“静态”间的切换,在解决问题时再次利用了问题3的相关结论,这就是所谓的“多题一解”。接下来,我们通过一道模拟题来深化对这一知识点的掌握。
【问题5】(2022年苏州中学高三学期初检测)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=1,圆C:(x+1)2+y2=9,直线l与圆O相切,与圆C相交于A,B两点,分别以点A,B为切点作圆C的切线l1,l2。设直线l1,l2的交点为P,则OP的最小值为( )
师:结合解决问题5的经历,大家能否推导出有关切点弦的一般性结论?
生8:过圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2外一点P(m,n)作圆C的两条切线,切点为A、B,则切点弦所在直线AB的方程为(m-a)(x-a)+(n-b)(y-b)=r2。
师(追问):能推广出问题1的一般性结论吗?
生9:根据问题1和问题3的内在联系可得,过圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(m,n)的切线方程为(m-a)(x-a)+(n-b)(y-b)=r2。
师:非常好!大家在几何的层面进行了思考、类比和归纳,但要得出确凿的结论还需从代数的角度去演绎推证,请各位同学课后完善上述问题的证明过程。
设置问题4既是从思维上对问题3中生5解法的巩固,同时也引导了学生关注问题3所衍生出的各种“副产品”,让其主动接受“多题一解”这一变式教学载体。最终利用问题5引导学生通过合情推理深化理解这类问题的共性,并以演绎推理来作为教学的课后延伸,达到让学生把握这类问题本质的同时,深刻感知数学严谨性的双重目的。
从上述的教学案例中我们不难看出,以“导问”作为方法论、“变式”作为教学手段的课堂教学需要教师进行数学的结构化组织,在让知识变得系统化的同时也要关注其可操作性。这对教师的教学素养提出了较高的要求。结合本节课的教学实际,笔者对基于“导问”开展的变式教学课型总结了如下三点策略。
导问式教学讲究教学内容重难点的针对性,需要教师由浅入深、层层递进、呈梯度状设问。[2]在研究问题1至问题3的过程中,我们围绕本课例的教学重点之一——深度研究直线和圆的位置关系,构建了“变式问题串”,将一系列“导问”以“变式”的形态出现,即通过相关点的动态变化来探究相关直线与圆的位置关系。
学生能够在“变”中逐步把握住直线和圆位置关系的几何本质,并能够用代数语言去刻画其几何关系,既完成了思维由“发散”到“汇聚”的变化过程,又强化了用代数方法去解决几何问题的“解几意识”。
作为直线和圆位置关系中的一个“特别的存在”,聚焦“切点弦方程”是本节课的教学难点,同时也是思维的一个跃升点。如何做到既能贴合学生认知规律又能有效地将教学内容合理联结,本课例中,变式起到了关键作用。
通过对问题2与问题3形式上的“统一化”与内容上的“延续化”,将变式作为“联结点”嵌入导问中,在结构上采用了“过程性变式”即“数学活动的有层次推进”[3],达到了“润物细无声”的教学效果。同时,以问题3作为导问载体,使用“一题多解”的变式途径,引导学生对其解决方法进行深度探究,将三种解题思路从不同维度有效地联结在一起,从思维的层面实现了“汇聚”至“发散”的转变过程。
解析几何是“数形结合”的典范,本课例中,“一题多变”“一题多解”及“多题一解”等变式手段,本质上都是服务于“数形结合”这一思想方法,是提高学生发散思维与形象思维的有效途径。[4]
因此,将“导问”和“变式”合而为一,能帮助学生在解决问题中,同步实现思想方法的掌握和思维品质的提升,这在问题3的教学过程中得到了充分体现。同样问题4的导入既做到了对问题3结论的“即时性学以致用”,又通过研究轨迹问题渗透了“几何问题代数化”的解几思维。将问题5设置为真题,其目的在于用特例引导学生将问题3的结论一般化,即渗透“特殊到一般”数学思想方法,加以教师的追问,引导学生的思维进行了一次跃迁。
总而言之,无论是采用“导问”的渐进式授课模式,还是借助于“变式”的动态化教学手段,其最终目的都是指向学生思维能力的培养与数学素养的提升。以此为引,形成更多行之有效的教学范式,是我们在今后教学实践中不断求索的目标。