“导问式”数学概念教学的探索*——以“函数的单调性”概念教学为例

蒋智东

“导问式”课堂教学以问题为载体、以导问为手段，继承了“以问题为中心”教学的合理内核，汲取了“问题驱动”“问题引导”等教学方法中“导”的做法，注重师生共同提出问题、共同解决问题，是值得深入探索、积极实践的教学方法。

一、“导问式”课堂教学模式概述

“导问式”课堂教学中的“导”指以教师为主导，学生因知识水平和学习能力等的限制，需要教师的引导和帮助；“问”指学生是学习的主体，教师要激发学生的问题意识，让学生自觉产生问题，主动探究问题、解答问题，主动拓展并深化自己的认识。

在教学过程中，教师可引导学生积极主动地运用学习资源，自主探索、相互协作，在完成既定问题的同时发现并提出新的问题。教师将所要学习的新知识“隐藏”在一个或几个问题之中，学生对问题进行分析讨论，在教师的指导帮助下找出解决的方法，形成新的知识体系，培养学生的创新意识、创新能力以及独立思考、自主学习的习惯。

二、“导问式”课堂教学模式下的概念教学实践

“导问式”课堂教学是用问题来推动教学的。下面，笔者以苏教版高中数学必修第一册第五章第三节“函数的单调性”的概念教学为例，探讨“导问式”概念教学的基本途径和策略。

1.情境引入

师：图1是某市一天24小时内的气温变化图，气温θ是关于时间t的函数。观察这个气温变化图，说出气温在哪些时段内是逐渐升高或下降的。

（图1）

（学生自主讨论）

师：自变量变化时，函数值随之变大或变小，我们把这种现象称为“函数的单调性”。初中我们对函数的单调性就有了一定的认识，今天我们一起来建立函数单调性的严格定义。

【设计意图】本环节创设让学生感兴趣的情境，引导学生阅读、提取图中信息，启发学生思考。学生通过交流，体会到函数值随自变量的变化而变化。情境的创设是否合适是学生自觉学习的关键，关系到学生学习主动性的强弱，也关系到课堂教学的效益。

2.借助图象，直观感知

问题1：分别作出函数y=x+2，y=-x+2，y=x2，y=的图象，观察自变量变化时函数值的变化规律。

（学生画图并观察、交流）

生1：第一个函数图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大；第二个函数图象从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小。

师：自变量变化时，函数值具有这样的变化规律，我们分别称之为增函数和减函数。

生2：函数y=x2的图象在区间（-∞，0］上从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小；在区间［0，+∞）上从左到右逐渐上升，y随x的增大而增大。所以函数y=x2在区间（-∞，0］上是减函数，在区间［0，+∞）上是增函数。

生3：函数y=在区间（-∞，0］和［0，+∞）上都是减函数。

师：完全正确，函数的上升与下降要分区间说明。

问题2：请同学们根据自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数？

【设计意图】此环节的教学从学生熟悉的函数图象出发，直观感知函数的单调性，形成对函数单调性的第一阶段认识。设计例题引导学生讨论，明确函数的单调性是对函数定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质。随后引导学生类比减函数的定义，用自己的语言逐步对增函数定义进行描述，让学生对函数单调性形成直观、描述性的认识。

3.探究规律，理性认识

问题3：图2是函数y=x+(x＞0)的图象，同学们能说出函数在哪个区间为增函数，在哪个区间为减函数吗？

生4：这个函数先减后增，但好像看不出增区间和减区间分界点的数值是多少。

（图2）

问题4：怎样从解析式的角度说明f(x)=x2在区间［0，+∞）上为增函数？

师：（教师用几何画板进行演示）从函数f（x）=x2在区间［0，+∞）内的图象上任意选取两个点（分别标记为M点和N点），度量出这两个点的横纵坐标，请同学们观察并比较这两个点横纵坐标的大小关系。

生5：只要有xM＜xN，就有f（xM）＜f（xN），也就是说在区间［0，+∞）上，当自变量x从xM逐渐增大到xN时，函数值f（x）从f（xM）逐渐增大到f（xN）。

Thomas A Setwart （2003）［10］指出战略柔性较强的企业能够迅速解决生产所面临的资源使用问题。企业可以用较短的时间获取生产所需的资源，将这些资源投入到新产品的研发和生产中，或者利用现有资源生产出新产品，可以为企业节省资源从一种用途转换到另一种用途的成本。

师：为了更简洁地表达，我们可以将xM和xN改为x1和x2。请同学们思考怎样表述函数f(x)=x2在区间［0，+∞）上为增函数。

生6：对任意的两个自变量x1，x2∈［0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）。

【设计意图】上述系列问题具有层次性和递进性，教师要引导学生逐步认识。通过问题的深入，既揭示了函数单调性的本质，也让学生领悟到两个自变量的取值具有任意性，要依据两个自变量的大小来比较对应函数值的大小。事实上，这也给出了证明函数单调性的方法，为后续用定义证明函数的单调性做好铺垫。至此，把学生对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度，完成对概念的第二阶段的认识。

4.抽象思维，形成概念

问题5：这个结论也适用于研究其他函数的特征吗？请同学们给函数单调递增的性质下一个定义。

【设计意图】学生思考交流并给出定义，教师指导学生类比给函数单调递减的性质下定义。此教学环节使学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的认知过程，完成对概念的第三阶段的认识。

5.概念的辨析

问题6：对于函数单调性定义中的“任意”两字，是否可以换作“无数”？

【设计意图】这些问题是为了帮助学生加深对概念内涵的认识，进一步明确函数单调性是函数在其定义域子区间上的性质，是函数局部的性质。

6.概念的应用

问题8：物理学中的玻意耳定律p=k/V（k为常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强p将增大。试用函数的单调性证明此定律。

问题9：根据定义证明函数y=x+在区间（1，+∞）上单调递增。

【设计意图】对概念的应用也是概念理解的重要组成部分，此环节教师引导学生用数学的知识来研究物理问题，是数学知识在具体情境中的应用。问题9中的证明是对定义的回归和强化。

三、“导问式”课堂教学模式的基本特征

“导问式”课堂教学模式以问题形式展开教学，用递进式问题及其解决来建构知识，让学生自觉、主动地发现问题、提出问题、探究问题。在问题的形成与解决过程中，“导问式”课堂教学使学习变得有深度、有广度、有高度。

1.“导问式”课堂教学是有深度的教学

在合理的问题串的引导下，学生能深度学习，真正独立思考，相互启发。因此，“导问式”课堂教学是有深度的教学。一方面，问题能引发学生的思维冲突，激起思辨。上述教学中，问题3是学生对函数单调性从图形直观到定量描述的关键，具有启发性，为新概念的形成做好铺垫。另一方面，问题能将学生的思维引向深刻。问题4立足于研究具体函数的特征，引导学生从图象直观的特点入手，逐步将其转换为文字语言和数学语言。

2.“导问式”课堂教学是有广度的教学

课堂教学的广度是指课堂教学横向的容量与范围。本节课教学的广度，一方面是对函数单调性从初中到高中认识上的跨越。教师设计问题串，通过导问引导学生完成对函数单调性定义的三次认识，构建起对概念的科学表述。另一方面，函数单调性概念符号化表示进一步增强了学生对符号f（x）的认识。在上述教学过程中，教师引导学生形式化地描述函数值随自变量的变化而变化的趋势，为接下来对函数奇偶性和周期性的学习做铺垫，进一步增强和完善学生对函数结构性以及符号f（x）的认识和理解。

3.“导问式”课堂教学是有高度的教学

数学教学的最高目标是培养人，人的成长和发展是数学教学的真正落脚点。我们要站在数学核心素养培养的高度来看待教学内容和教学方式。在上述函数单调性概念教学中，通过导问，师生在合作探究的基础上用字母代替具体数字，实现了“有限”到“无限”的转化。这是数学抽象的结果。

四、“导问式”课堂教学模式的实施策略

“导问式”课堂教学需要教师关注学生的个体差异和独特的学习需求，为学生提供熟悉的问题情境，使学生能够从教师设计的问题中找到解决问题的方法，进而学会看书、学会自学，提高学习能力。

1.优化情境创设，激发问题意识

“导问式”课堂教学强调把学习设置到有意义的问题情境中。教师通过理解教材、理解学生、理解教法，在知识形成的“关键点”上，在知识的“联结点”“发展点”上，在解决问题的思想方法的“关节点”上，在学生思维的“最近发展区”内，设计出隐含数学问题并且对学生思维有适度启发的问题情境，引导学生积极联想，用数学的眼光看待问题情境，进而主动思考提出问题。

2.梯度设计问题，深化探究过程

“导问式”课堂教学主要是通过问题来进行“导”和“问”，调控学生的学习方向和内容来保证学生学习的有效性和系统性。知识要以问题的形式呈现，问题既是思维的起点，又是思维的动力，其设计要顺应“导”和“问”，根据学生的“现有水平”与“潜在发展水平”，寻找“最近发展区”，引导学生向潜在的、更高的水平发展。

3.师生合作互动，促进问题解决

“导问式”课堂教学中教师要进行有效的、富有创新性的“导”和“问”，成为学生选择、组织和加工知识的引导者和帮助者。师生之间应建构相互合作、相互促进的学习研究共同体。

4.尊重个性思维，提升质疑能力

“导问式”课堂教学中，教师要善于给学生留出发现和提出问题的机会，让学生自由想象。要善于把学生的个性化差异作为一种教学资源来开发，围绕问题解决，让学生大胆质疑，在不断产生疑问、不断解决疑问的螺旋式上升过程中培养学生的质疑能力和问题意识。

总之，作为教师要重视问题教学，在“导问式”教学模式引领下，在教学中努力培养学生的问题意识和能力，促使其逐步形成创造精神和创造能力。