基于“导问”的高中数学综合问题评价策略——以“数列”为例

殷伟康

数学综合问题是指涉及数学知识、方法和能力的综合性问题，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高等特点，凸显对数学思想方法的运用，并要求学生具有一定创新能力。实施导问式数学课堂教学实践，就是以“数学问题解决”为主线，激发学生思维，引导学生积极参与课堂探究，通过对问题的分析、引导、比较和评价，培育学生的数学核心素养。

在数学课堂教学中，教师不仅要注重终结性评价，更要重视过程性评价，采用表现性评价、发展性评价等评价方式，实施多元化的评价策略，实现以评价促学生发展。本文以人教版高中数学选择性必修第二册第四章“数列”为例，阐述基于“导问”的高中数学综合问题评价策略，发挥评价的育人功能。

一、创设问题情境，导入环节凸显情境激励功能

导入环节的课堂教学评价应紧扣本节课的教学目标和教学任务，创设有利于激发探究欲望、富有数学思考价值的问题情境，让学生明晰学习任务，产生浓厚的数学学习兴趣。以下是笔者设计的“等差数列的前n项和（一）”的课堂导入环节。

【问题情境】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数。他们研究过三角形数：1，3，6，10，15，……

【问题1】如下页图1，若这个图案有100层，你知道一共用了多少粒石子吗？生：1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）=101×50=5050。

师：高斯采用的是什么方法求和的？为什么要这么做？

生1：首尾配对，将原来求100个不同数的和转化为求50个相同数的和。

（图1）

师：高斯算法的实质就是通过配对凑成相同的数，变多步求和为一步相乘，即“将不同数的求和”化归为“相同数的求和”。

【问题2】第1层到第101层一共用了多少粒石子？

学生合作学习、讨论，形成以下思路：（1）直接首尾配对，原式=（1+101）+（2+100）+…+（50+52）+51；（2）先凑偶再配对，原式=（1+2+3+…+101+102）-102；（3）原式=0+1+2+3+…+101；（4）原式=（1+2+3+…+100）+101。

【问题3】第1层到第n层一共用了多少粒石子？

师：很好，同学们运用了分类讨论思想进行求解，将n分为偶数和奇数两类情况进行处理。这种方法体现了分类整合和转化与化归的思想。下面，请同学们思考是否一定要分类讨论呢？怎样避开分类讨论，又能达到“配对”，从而将“不同数的求和”化归为“相同数的求和”呢？

本环节设置毕达哥拉斯学派研究的问题情境，自然地提出了本节课的核心问题，让学生抽象出求和的本质是“构建相同和”。在教学过程中，教师用赞许的语言给予鼓励，激发学生进一步探究的热情。通过创设阶梯式问题，造成认知冲突，激发学生的学习兴趣和主动探究的意识，适当评价，激活了学生的数学思维，促进学生自主探究和深度学习，促使学生进一步把握数学本质和建构新知识。

二、诱发思考探究，解决问题环节凸显思维引导功能

解决问题环节的课堂教学评价应凸显思维引导功能，采用多元的评价方式，构建交流互动平台。教师要诊断、评价学生的探究结果，使学生能够及时了解自己的学习现状和方向，引导学生达成学习目标；更要引导、评价学生数学活动过程和表现，使学生关注活动结果背后的知识和数学思想方法，通过不断地提问和追问，促使学生带着问题去探究。以下是笔者设计的“等差数列的前n项和（一）”课堂教学中的解决问题环节。

【问题4】梯形面积公式是如何推导的？为什么要“倒置”形成一个全等的梯形？梯形面积公式的推导过程体现了怎样的研究策略？能否借助这样的策略研究“石子堆”问题？

（图2）

师：毕达哥拉斯学派就是利用拼平行四边形的方法求从1开始的连续自然数之和。同学们能否用数学符号来表示求解过程呢？

师：这种推导方法叫作倒序相加法。通过倒序相加，我们知道所求的和可以用首项、末项和项数来表示；数列中任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和。

生4：只要在原式上再加一个1+2+…+n，得到求2n个数的和的问题。重构分组，分成n组k+（n-k+1），其中1≤k≤n，k∈N*，即转化为n个n+1的和。

师：很好！高斯算法的目的是将问题转化为偶数个数的和，其本质是对算式分组重构。

【问题5】根据前面的探索，请同学们自主解决更一般性的问题。在公差为d的等差数列{an}中，前n项和Sn=a1+a2+…+an，如何求Sn呢？

师：很好！同学们经历了“观察—归纳—猜想”，不过这一结论是否正确，还需证明。该如何证明呢？

师：生6运用倒序相加法求和，已经学会举一反三。生7利用通项公式，用a1，d，n来表示an，将Sn的算式进行重构分组，再运用问题3的结论进行求和，已能将学到的知识灵活运用。

在评价互动中，教师以肯定的诊断性评价满足了学生的成就动机，引导学生将高斯配对求和方法与梯形面积公式的推导方法相关联，进行类比推理，使学生学习向着本节课的结果性目标和体验性目标迈进。同时，教师要以简练的数学语言做评价，引导学生从聚集项数的处理中抽象出倒序相加法，使学生从不同思维角度推导等差数列的前n项和公式。这样的教学评价使学生经历“观察—归纳—猜想—证明”的过程，凸显了思维引导的作用。

三、归纳提炼总结，反思提升环节凸显生成积淀功能

反思提升就是对问题理解及问题解决过程中所运用的知识与技能、思想与方法的体验进行有目的的反思和提升。该环节应凸显评价的生成积淀功能，通过反思评价，加深学生对新知、新方法与原有知识、方法间的关联体验，领悟新知的本质，使其掌握新方法的要领，在深度体验中积淀数学思想方法和数学核心素养。下面，是笔者在“求解数列的通项公式”教学中设计的反思提升环节。

师：本节课主要学习了求解数列的通项公式哪些方法？

生：公式法、累加法、累乘法、构造法。

师：构造法的要领是什么？

生：运用待定系数法构造等比数列。

师：理解得很透彻，那么你能说出运用待定系数法构造数列的求通项公式的常见类型吗？

通过对构造法的追问，引导学生理解构造法的本质和操作流程，促使累加法、累乘法、构造法等新方法生成于学生的亲身体验和对体验的反思中。这样的课堂评价凸显生成积淀功能。在反思中，鼓励学生博采众长，借鉴他人的成功经验，寻求更简洁的问题解决思路和思维通道，促进学生数学思维的生长。

四、拓展延伸问题，运用反馈环节凸显体验强化功能

在课堂教学的最后，教师应对问题适当拓展延伸，及时检验评价，反馈改进；学生则可以尝试运用，完善内化。该环节的课堂教学评价应凸显体验强化功能，设计拓展问题检测题，采用关联性目标的评价，加深学生的学习体验，促进学生深度学习。以下是笔者设计的“求解数列的通项公式”课堂教学中的反馈内化环节。

师：相邻两项和的类型问题前面学过吗？回想一下斐波那契数列的通项公式是如何求解的。

生2：可以用上面归纳的几种常见类型进行求解，由（1）可得，an+an+1=2·3n-1，即an+1=-an+2·3n-1，这样可以构造等比数列进行求解。

师：很好，上述两位同学的解法都是运用待定系数法构造出等比数列，生2运用了转化与化归思想。构造法是解决这类递推数列问题的通法，同学们要逐步掌握构造等比数列的操作要领。再回想一下求解斐波那契数列的通项公式的另一种方法是什么？

生3：运用特征方程进行求解。或者观察前几项式子的结构特征，猜想通项，再应用数学归纳法加以证明。

反馈内化环节重在变换条件或结论，归纳和提炼出更多具有相关性、相似性的新问题。通过适当评价，激发学生的创造性思维，拓展深化学生对新知和新方法的理解的深度与广度。根据学生的反馈活动表现，教师适时引导学生调整思维方向，通过构造法进行求解，从而进一步强化学生对“递推关系”与“构造等比数列”间的关联的认识。这样的课堂教学评价凸显体验强化功能。反馈练习是建立在反思基础上的新的思维生长点，教师要突出通性、通法的辐射、迁移的作用，强化学生对构造法求解数列的通项公式的体验。

总之，学生的数学核心素养是在潜移默化、不断浸润中形成的。基于“导问”的高中数学课堂教学，应提倡问题层次化、思维深度化，运用合理的评价策略，发挥教师评价的引导功能，让学生用心体验与感悟，发展高阶思维能力，培育数学核心素养。