基于核心素养的初中数学“综合与实践”教学设计研究——以“泰森多边形”为例

朱曼红，莫大勇

(东北师范大学附属中学， 吉林 长春 130000)

一、问题的提出

随着教育改革的不断推进，我国基础教育从“知识本位”时代逐渐过渡到“核心素养”时代，核心素养的落实问题逐渐引起教育研究者和一线教师的重视。有学者在文献综述的基础上提出研究数学素养的4个落脚点，强调了要分析探索数学素养生成的教学策略[1]。还有学者提出“学科知识是学科核心素养形成的主载体，学科活动是学科核心素养形成的主路径”[2]。由此可见，数学核心素养的研究应当在实际教学中进行，在教学设计中探究出数学核心素养在课堂的落脚点、生长点和发展点的一般规律。因此，基于数学核心素养进行教学设计，根据具体的教学内容、教学情境落实数学核心素养是亟待解决的重要问题。

二、“综合与实践”是数学核心素养落地生根的沃土

(一)“综合与实践”是课程的重要组成部分

2001年7月，教育部在《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中首次指出将“实践与综合应用”纳入到义务教育数学课程中[3]。2011年12月，《义务教育数学课程标准(2011年版)》将“实践与综合应用”独立成一个新的板块，即“综合与实践”，并阐明其概念以及设置目的[4]。2022年4月，《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求各学科增加10%的课时进行跨学科主题学习活动[5]。新课标对综合实践课时的规定进一步提高了数学综合实践的地位，使之成为课程的重要组成部分，同时跨学科教学模式也被重视起来。但是教科书中的“综合与实践”课题数量有限，需要教师自主开发基于核心素养、符合学情和学科特点的“综合与实践”活动。

(二)基于核心素养的“综合与实践”是综合型人才培养的载体

国家推行基础教育改革，积极倡导素质教育，以期培养适应社会发展的综合型人才。“综合与实践”课程强调让学生在亲身体验学习的过程中提升知识、丰富经验，综合运用多种学科知识去完成特定的活动或解决特定的问题，有助于培养学生的核心素养，提升多元学科知识融合的能力和创新能力，使学生逐步成长为适应社会发展的综合型人才。

(三)基于核心素养的“综合与实践”教学设计与实施是提升学生核心素养的有效路径

培养全面和谐发展的人是教育者和社会共同的目标。马云鹏教授认为，数学核心素养可以理解为学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力[6]。史宁中、孔凡哲两位教授认为，数学核心素养是学生亲身自主经历和体验数学化的活动进而所积淀和升华的产物，这种产物对学生在数学上全面、和谐、可持续发展起决定作用[7]。基于核心素养的“综合与实践”教学设计与实施是提升学生核心素养的有效路径。笔者所任教的学校——东北师范大学附属中学一直倡导着生命教育，将“涵育素养，立德树人”作为教育教学的目标，教师们共同研究如何在实际课堂中落实立德树人，培养学生的核心素养，构建初中数学“综合与实践”课程的教学设计原则和策略，以期培养学生数学核心素养，为学生终身学习奠定基础，为初中数学“综合与实践”课程内容体现其应有的数学教育价值提供保证。

本研究就以笔者在本校第35届教学“百花奖”中所教授的“泰森多边形”为例，阐述基于核心素养的初中数学“综合与实践”教学设计的基本原则与策略，论证揭示数学核心素养的课堂落脚点、生长点和发展点，为一线初中数学教师提供案例参考。

三、基于数学核心素养的初中数学“综合与实践”教学设计与实施

(一)对标核心素养，解析教学内容

“泰森多边形”是在数学综合实践活动中被提炼得非常好的素材之一。“泰森多边形”是数学的一个瑰宝，以初中数学知识为基础，其应用极其广泛，能够体现数学的建模过程，在解决问题中可涉及很多学科知识，具有开发价值。本课例涉及的基础知识是八年级几何部分的线段垂直平分线，非常基础，学生也比较熟悉，运用线段垂直平分线构造的数学模型——“泰森多边形”可解决很多最优问题。为了能够提高大面积气象预报的准确度，荷兰气象学家A.H.Thiessen想对气象观测站进行有效区域划分，然后根据离散分布的气象站的降雨量计算平均降雨量。他将所有相邻气象站连成三角形，作这些三角形各边的垂直平分线，用每个气象站周围的若干条垂直平分线围成多边形。再用这个多边形内所包含的一个唯一气象站的降雨强度表示这个多边形区域内的降雨强度，并称这个多边形为“泰森多边形”。“泰森多边形”的应用原理包含了线段垂直平分线的作图方法、性质、多边形的分割等知识，“泰森多边形”的应用体现了对数学基本原理的学习方法和依据数学原理建立数学模型解决实际问题的思考，泰森多边形也体现了数学之美。

本课例的教学重点首先是实际问题数学化，其次是运用垂直平分线性质，逐步实现多点平面区域的划分，经历和体验用数学方法解决实际问题的一般思路。

(二)分解核心素养，设置教学目标

依据中学数学教学设计理论，在学生的培养目标上强调三维目标的整合，最终实现数学素养的达成和促进学生核心素养发展的目标。因此，在进行目标设计时，应注重有效结合各内容的目标，避免教学目标出现“为了综合而综合”的情形；要注重分析关于“综合运用”的具体表述，将过程与方法细化。在进行情感态度与价值观目标分析时，应从学生的学习兴趣、参与程度、体验性以及主体性上考虑。依据“综合与实践”课程内容的实践性，目标应该具有针对性和现实性。针对性要求目标的分析应该是具体的、微观的，现实性要求一定是当下的课程中发生的和形成的学生对于数学的情感。

例如本课例的教学目标设置如下：针对“划分急救站的最佳服务范围”问题，学生能多角度分析影响因素，将复杂情境进行抽离，抽象出数学问题，感悟如何从数学的角度发现问题和提出问题；学生运用线段垂直平分线性质，能解释“最佳服务范围”划分的方法，并能用数学语言进行交流和展示，感悟“重事实、讲道理”的科学精神；学生通过自主思考、合作交流，综合分析问题，逐步积累数学活动经验，体会从简单到复杂、从特殊到一般的数学研究方法，以及用数学方法解决实际问题的一般思路。

(三)基于核心素养，选择教学策略

林崇德教授指出，课程改革、教学实践和教育评价是落实核心素养的途径。显然通过课程改革的途径落实数学核心素养的任务是非常艰巨的。因此，研究试图从教学实践和教育评价方面探索基于核心素养的初中数学“综合与实践”的教学策略。本课例从学生的最近发展区设置问题，引导学生采用自主探究与合作交流相结合的方式进行学习，调动学生学习的积极性和主动性，使学生的核心素养在实际问题探究与解决的过程中得以培养。

1.创设问题情境，激发学生学习兴趣。有效培养学生的数学核心素养，就要求教师在实际教学过程中，应着重考虑具体的核心素养和具体情境的相关性[8]。以“急救站最佳服务范围的划分问题”为背景，引发学生的认知冲突，让学生意识到研究不等关系的关键在于研究等量关系，将未知的问题转化成已有的知识能够解决的问题，为“泰森多边形”的引出提供先行组织基础。

2.抓住核心知识，引导学生举一反三。本课例的综合性比较强，难度很大，学生对于不等关系的研究容易在认知上出现问题。引出在整个探究过程中始终围绕线段垂直平分线展开，将多点问题转化成两点问题，始终体现从特殊到一般的研究思路。因此，本课例在问题探究的过程中牢牢抓住数学核心概念——线段垂直平分线，体现线段垂直平分线性质的应用价值。

3.设置问题清单，引领学生深度思考。 “综合与实践”的实践性与综合性强，在教学方法和学习方式上都与基础的数学知识学习不同。问题驱动式的教学模式有助于学生学习，但问题设置不能够限制学生思维。在教学设计的过程中要选择合适的现实背景，设置既开放又有引领作用的问题串，注重在问题解决过程中综合运用数学知识，既能让学生体验运用数学知识解决实际问题的过程，积累运用数学知识的经验，又能提升学生分析、解决问题的能力。例如设置“问题清单”，让学生根据所学知识记录提出问题：“(1)根据问题背景和作图方法，我提出的问题如下……；(2)我们小组能够解决的问题……；(3)我们小组发现泰森多边形的性质……”在问题驱动下，引导学生进行元认知，深度思考，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力，真正体现“综合与实践”课程培养学生核心素养的教育效果。

4.提供多元评价，培养学生核心素养。喻平教授基于知识理解、知识迁移和知识创新3种水平建立了数学核心素养评价框架，该评价框架对基于数学核心素养的教学评价具有指导意义[9]。笔者认为“综合与实践”的教学评价要兼顾学生与教师、兼顾自评与互评、兼顾数学核心素养。笔者与同事们共同设计了“综合与实践”教学评价量表，既可以兼顾教师和学生，又可以兼顾自评与互评；既能兼顾数学核心素养，把学生数学核心素养的达成作为评价的元素，又能关注学生参与活动的态度，有助于教师诊断学生存在的问题；既重视过程评价，把学生之间的合作、学生的活动过程等作为评价的对象，又注重个性化评价，指向每一位学生，促使教师可以根据评价的结果有针对性地指导学生以便因材施教。

本课例采用“综合与实践”课程的教学评价量表，提供了多元评价方式。课上分小组进行，成果展示与交流，在各组代表作研究报告的基础上，可以根据情况选择纸笔测试、作品评分表、表现评分表、任务完成表和自我反思表等进行评价。学生与教师一起进行，全班通过质疑、辩论、评价，总结成果、分享体会、分析不足，开展自我评价、同学评价和教师评价，完成本次综合与实践活动。

(四)精设教学过程，落实核心素养

本课例遵循着综合实践的研究规律，关注知识的应用原理，为学生设计了完整的实践过程，希望学生通过学习不仅获得知识技能的积累，更能获得经验积累，尤其是对数学研究与应用的学习和体验。因此，本课例的素材选自线段垂直平分线，因为线段垂直平分线是尺规作图的重点和研究轴对称的基础，对垂直平分线作图的理解和操作步骤的掌握是后续几何学习不可或缺的能力。本课例力争通过综合实践让学生体会数学知识的应用，激发学生的创新精神，开拓学生视野，让学生在实际情境中经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题并应用于实践这一完整过程，让所学知识通过活动的形式得以延伸和应用(本课例的整体设计见图1)。

为了较好地落实本课例的预期教学，现将这节充斥着理性逻辑光华的综合实践课拆分成以下5个核心部分。

1.创设情境，激发兴趣。基于情境认知学习理论，应让知识从情境体现，在情境互动的过程中进行动态学习，激发学生的社会责任感。同时，实际问题数学化也是本节课学生学习中的难点之一，通过教师的引导使学生学会运用数学语言描述世界，能够让课堂教学富有生活特色。另外，总结出用数学知识解决实际问题的一般过程，即“发现问题——提出问题——分析问题——解决问题——实际应用”，整体上为“泰森多边形”的学习提供一条路线图。

教师在上课前可以先让学生观看“长春急救中心宣传片”，让学生变身为“长春120调度指挥中心的调度员”，思考当接到求救电话后如何快速选择急救站，并派出急救团队。通过学生讨论，要想让救护团队最快到达求救地点，学生将考虑到影响决定的最重要因素是急救站与求救者位置之间的距离。为解决问题，教师将问题引导为划分急救站的最佳服务范围，并引导学生将实际问题转化为数学问题，用数学语言描述问题。

2.分析问题，感悟新知。教师引导学生在解决复杂问题时可以从简单到复杂，化繁为简，因此要解决5个控制点的问题，可以从2个、3个、4个控制点逐一考虑；通过不会划分多个急救站的服务范围引发认知冲突，从而形成引入“泰森多边形”必要性的认识；用分类讨论的思想逐一研究每对关系，进而解决问题；通过介绍“泰森多边形”的相关科学史，让学生在学习数学知识的同时了解更多的科学文化。

教师可以引导学生将问题进行分类讨论，当平面内只有1个控制点时，不需要划分；当平面内只有2个控制点时，学生比较容易想到画2个控制点连线的垂直平分线，教师引导学生证明画法的正确性；当平面内有3个控制点时，学生小组讨论，共同寻求解决方案，教师适当引导。在师生共同完成3个控制点的控制范围划分的情况下，教师向学生介绍“泰森多边形”的概念和特性。

3.合作探究，解决问题。通过计算机演示得出控制点确定的情况下“泰森多边形”的存在且唯一性，让学生感受到“泰森多边形”定义的合理性；同时，学生在小组合作的过程中，互相交流、互相帮助，增强合作意识和沟通能力。多媒体演示使抽象的数学知识更加直观，能加深学生对“泰森多边形”的理解。

教学过程中，教师在学生初步了解“泰森多边形”的概念和特性的基础上，组织学生继续进行小组合作，在3个控制点的“泰森多边形”的基础上，先完成4个控制点的“泰森多边形”的绘制，然后再完成5个控制点的“泰森多边形”的绘制，进而共同研究解决5个急救站的服务范围划分的方案。同时，教师引导学生思考急救站的最佳服务范围的划分除考虑距离因素以外，还需要考虑哪些因素，从而进一步完善问题解决方案。最后，教师还可以介绍计算机绘制“泰森多边形”的方法，运用GeoGebra软件演示动态“泰森多边形”的生成过程，体现应用性，增强学生学习的兴趣。

4.实践应用，拓展视野。在实践应用的环节中，教师向学生介绍“泰森多边形”在建筑设计、勘探、居民分布、人脸识别等多方面的应用。例如北京国家游泳中心水立方主体外形结构就是基于“泰森多边形”设计的，各种基站的建设和覆盖区域问题也运用了“泰森多边形”。教师引导学生思考还能运用“泰森多边形”解决哪些问题，并让其选择一个感兴趣的问题进行小组讨论、交流、汇报。学生在总结、汇报的过程中，大胆想象，培养了学生的实践精神和创新能力，同时实现过程性评价和总结性评价等多元化评价方式。

5.汇报成果，反思总结。基于元认知理论，学生只有对自己整个过程参与情况进行自我反思，才能更好地获得数学活动经验。因此，教师组织学生以小组为单位，进行研究成果汇报，互评打分，引导学生从完成情况、方案合理性以及收获3个方面进行评价总结，让学生在总结反思中不断成长，逐渐形成“会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维分析世界，会用数学的语言描述世界”[10]的数学核心素养。

6.思维再现，设计板书。一节课的核心内容应该以简洁、清晰的方式呈现在黑板上，让学生通过教师的板书可以回顾整节课的内容，理解教师的设计思路和意图。因此，本课例的板书设计采用原理与应用对比、特殊与一般对比、问题提出与模型建立对比的形式，进行简化设计。

(五)提升教学水平，进行教学反思

基于问题，成于经验，达于素养，即“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”[11]。本课例以“泰森多边形”问题驱动，引导探索、实践，帮助学生不断发现问题、提出问题，进而分析问题、解决问题，将积累数学活动经验、培养学生应用意识和创新意识的核心素养贯穿整个设计之中，初步达成基于核心素养的以下两个目标。

1.基于核心素养，体现初中数学“综合与实践”的学科育人价值。本课例学生通过亲身感受以及查阅相关资料，了解了“泰森多边形”相关知识；通过尺规作图和小组分析能够发现、提出并分析问题，感悟空间观念，学会用图形语言表达事实；通过图形的理性分析，用规律推断解决问题的过程，渗透归纳和演绎的数学思想方法；通过感悟实践经验与思维经验的复合运用，积累数学活动经验，培养直观想象素养；通过对具体情境的观察、归纳、抽象和直观等方法，综合应用线段垂直平分线的作图方法、性质、多边形的分割等知识，提高应用意识，体会数学的魅力。

2.基于核心素养，体现初中数学“综合与实践”的活动育人价值。本节综合实践课，学生通过亲身感受，经历数据收集与分析过程，培养直观想象素养；通过交流、合作、辨析，发现问题，提出问题，并借助团队力量解决问题，在互相评价中提高认识，树立科学态度；通过结合现实情境渗透转化思想，学生学会透过现象看本质，加强数学应用意识和数学审美能力的培养，激发学习数学的兴趣；通过进行辩证唯物主义教育，培养学生实事求是的态度、锲而不舍的科学精神。从实际教学效果来看，学生能够真正参与到整个课堂之中，体会到了用数学解决实际问题的一般过程，拓宽了知识视野。

四、基于数学核心素养的初中数学“综合与实践”教学改进建议

初中阶段，核心素养主要表现为：抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识、创新意识。数学核心素养是具有数学特征、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力[12]。本课例是在《义务教育数学课程标准(2011年版)》的指引下研究的。《义务教育数学课程标准(2022年版)》刚刚颁布，作为新的课程标准对初中数学“综合与实践”的重视和引领能够使数学综合与实践的地位进一步提高，基于核心素养的教学设计也将被重视。通过本课例，基于核心素养的初中数学“综合与实践”教学可遵循以下原则进行教学设计，实施教学。

第一，确定核心素养导向的教学目标。教学目标指引着教学方向。教师在进行初中数学“综合与实践”教学前应以核心素养为导向，设计教学目标。核心素养的落实并非一节或两节课所能实现的，需要一个长期积累的过程。因此，基于数学核心素养的教学目标应该具体化、可操作、可实施、可评价。初中数学“综合与实践”课程应当以目标为导向，有的放矢地落实数学核心素养。

第二，设计有结构化特征的教学内容。初中数学“综合与实践”课程具有综合性和实践性的特征。教师在进行教学设计时，应当基于核心素养，设计具有结构化特征的教学内容，设计大情境、真实背景，以问题为驱动，引导学生在真实的问题背景下进行思考、发现，探索和解决问题。初中数学“综合与实践”课程应当以问题为内容，环环相扣地落实数学核心素养。

第三，实施促进学生发展的教学活动。初中数学“综合与实践”的教学以探究活动为主，教师可以按照以下几个环节进行：(1)创设情境，激发兴趣；(2)分析问题，感悟新知；(3)合作探究，解决问题；(4)实践应用，拓展视野；(5)汇报成果，反思总结。初中数学“综合与实践”课程应当以活动为背景，润物细无声地落实数学核心素养。

第四，提供教、学、评一体化的教学评价。初中数学“综合与实践”课程以活动为主，多为跨学时、跨学科的教学活动，为了更好地衡量学生的核心素养发展情况，教师应当提供教、学、评一体化的教学评价，以评促学，以评促教。初中数学“综合与实践”课程应当以评价为引领，教学相长地落实数学核心素养。

第五，促进信息技术与数学的教学融合。适时适当地运用信息技术有助于提高教学效率，扩展教学的深度和广度。初中数学“综合与实践”涉及的知识面广，教师应当引导学生合理正确运用信息技术进行综合实践，向学生提供可利用的信息技术和平台。初中数学“综合与实践”课程应当以信息技术为依托，科学合理地落实数学核心素养。

数学核心素养的培养不能仅依赖于数学中的其他3个领域，“综合与实践”[13]也是培养数学核心素养的平台，数学核心素养应综合体现在“发现与提出问题、分析与解决问题”[14]的过程中。基于核心素养的初中数学“综合与实践”教学设计与实施，恰好符合当前教育实践研究的需要，是核心素养落地的有效途径，在今后的教学中需要更多的教育工作者在实践中探索，凸显学科育人、活动育人的价值。