有关多边形边数问题的思考方法

耿京娟

我们现在学多边形，主要是了解多边形的边数、内角、外角及它们的相互关系.解答这类问题用到的主要知识点是多边形的内角和公式与外角和为360°.解题方法主要是利用公式列方程.

一、多边形的内角和与边数的关系

例1如果一个多边形的边数增加1倍，新多边形的内角和是2 160°，求原来多边形的边数.

分析：本题考查多边形的内角和定理，解题的关键是边数的变化.根据多边形内角和定理及已知条件列出方程.设原来多边形的边数为n，那么边数增加1倍后的多边形边数为2n，内角和为（2n-2）×180°.

解： 设原来多边形的边数为n，由题意，得

（2n-2）×180°=2 160°.

解得n=7.故原多边形的边数是7.

例2若一个多边形的每一个内角都是钝角，则这样的多边形的边数最少是几？

分析：多边形的内角与和它相邻的一个外角为邻补角.由题设知，多边形的每一个内角都是钝角，所以其每一个外角都是锐角.多边形的外角和恒等于360°，4个锐角的和小于360°，至少5个锐角的和才可能等于360°.

解： 略.

二、多边形的外角与边数的关系

例3如果一个多边形的每一个外角都等于36°，求这个多边形的边数.

分析：若设多边形的边数为n，则这个多边形有n个外角，由题设知每个外角都等于36°，而多边形的外角和是360°，从而易求得多边形的边数.

解： 设多边形的边数为n，由题意，得方程

36°×n=360°.

解得n=10.故这个多边形的边数是10.

三、多边形的外角和、内角和与边数的关系

例4已知一个多边形的外角和等于内角和的，求这个多边形的边数.

分析：根据多边形的内角和（与边数n有关）与外角和（恒等于360°，与边数无关）的一种关系，利用已知条件列出关于n的一元一次方程，解方程可求得边数n.

解： 设多边形的边数为n，则这个多边形的内角和是（n-2）×180°.又已知多边形的外角和是360°，故（n-2）×180°=360°.解得n=8.所以这个多边形的边数是8.

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