关于十五子的游戏

同学们玩过十五子的游戏吗？请看我国著名的数学家、“陈氏定理”的创立者陈景润为你揭秘.

在一张纸上，画一个正方形，并把它分成大小相同的十六个方格，再剪出十五个大小相同的正方形纸板，而这些正方形纸板面积稍小于方格的面积.在这些小纸板上写上1到15这十五个数.这样我们就可以来玩十五子游戏了.把这十五个纸板按任意的顺序放到这十六个小方格中去（如图1）.由于每个小方格只能放一个，因而，有一个小方格是空着的.游戏规定：当且仅当纸板与空格相邻时，这个纸板才能和空格相互调换位置，纸板相互之间不能调换位置.现在的问题是能不能经过有限次的移动以后，把这十五个子的顺序排为图2的样子.我们知道把这十五个纸板按任意顺序放到这十六个小方格中去的方法共有16×15×…×3×2=20 922 789 888 000种.若每一种都要来试一下能不能排成图2的样子，那得花费多少时间啊！于是，我们只能多动脑筋，去找出这个游戏的规律.

我们不难看出，任一纸板都能经过几次和空格相互对换位置后，移到这十六个小方格中的任一指定的方格中.为了叙述方便，我们将这十六个小方格标上号码，如图3所示.另外我们把十五个纸板分别称为1，2，3，…，15.首先，我们可以把1移到一号位置上，然后，能否把2移到二号位置上呢？这也是可以做到的.若2在第一列，我们可以把它移出第一列，也可以把空格移出第一列，然后第一列不动，而在第二、三、四列中，仿前述方法把2移到第二号位置上.1、2的位置确定后，我们不动它，用相同的方法还可以把3移到三号位置上去.这时如果空格不在四号位置上，要想不动1、2、3，而把4移到四号位置上去，却一定不能够做到了.因为在四号位置右边和上边都没有方格，而左边的3又不能动，故只有下边的第八号位置与它有联系了.但我们总可以使第一行不动，而把4移到第八号位置上，把空格移到第十二号位置上，如图4所示.在图4中，我们取出第三、四、七、八、十一、十二这六个方格出来而构成图5.为了方便起见，我们将这几号位置中纸板上的数字分别用甲、乙、丙来代替.然后依次把4往下移、甲往下移、3往右移，乙往上移，如图6.再把甲往左移、4往上移、丙往右移，就变成了图7.在图7中把甲往下移，乙往下移，3往左移，4往上移.此时3、4已分别在第三、四号位置上了（如图8）.

第一行排好后，不动第一行，按照安排第一行的方法，当然能够把5、6、7分别安排在第五、六、七号位置上，把8安排在八号位置上去.

再来安排第三行与第四行时，就要使用不同的办法了，我们不是先排第三行，而是先排第一列下面的两个位置，即第九和第十三号位置.这也不难做到，因为我们可以把第一列看做第一行，按照排第一行后面的两个位置的办法来安排第一列后面的两个位置.9和13都已安排好后，按上述办法，我们还能把10、14也分别安排到第十、十四号位置上，这时只剩下11、12、15这三块纸板还没有安排好.我们可以把11移到第十一号位置上，剩下的12、15可能出现下列两种情况：其一是12、15都恰好分别移到第十二号及第十五号位置上，如图9所示，这正是我们所要达到的目的；但也可能出现第二种情况，如图10所示，12排在第十五号位置上，而15排在第十二号位置上.因为图11可经过图12、13、14变成为图15，于是我们知道任给一个初始状态，经过上面的一系列移动后，可以变为图16与图17两种顺序中的一种，我们称图16为“正常排列”，而称图17为“奇异排列”.应该说，作为一种游戏，讨论到此就算完了.但如果要问“奇异排列”能不能够重新移动而变为“正常排列”？哪一种初始状态能变为“正常排列”？哪一种初始状态要变为“奇异排列”？那就不得不借助于较多的数学方法了.（未完待续）

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