以不变应万变

侯国兴

我们知道，任意多边形的外角和等于360°.在求解涉及多边形的角的问题时，若能把多边形的“内角”问题转化为“外角”问题来处理，则往往可以收到化繁为简、化难为易之效果.

一、求多边形的边数

例1已知n边形的每一个内角都等于162°，求该多边形的边数.

解：因为n边形的每一个内角都等于162°，所以该n边形的每一个外角都等于180°-162°=18°.

因为任意多边形的外角和都等于360°，所以该多边形的边数n==20.

二、求多边形的周长

例2小敏在课外活动期间制作了一个简单的机器人.小敏遥控它每前行2 m就向右转30°，该机器人需要走多少路程才能回到原地？

解：根据题意可知，该机器人所走过的路径是一个外角为30°的正n边形.

由多边形的外角和性质得30°·n=360°，解得n=12.

所以该机器人回到原地需要走的总路程为：2×12=24（m）.

三、求多边形的内角度数

例3各内角都相等的十五边形的每一个内角的度数等于.

解：因为该十五边形各内角都相等，所以它的各外角也相等.

又因为多边形的外角和等于360°，所以，该十五边形的每个外角为：=24°.

所以，该十五边形的每一个内角的度数为：180°-24°=156°.

四、求多边形的内角和

例4已知一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的内角和为.

解：因为多边形的外角和等于360°，所以，该多边形的边数为：=10.

所以该多边形的内角和为：（10-2）×180°=1 440°.

五、判断多边形中锐角的个数

例5在一个多边形中，它的内角最多可以有几个是锐角？

解：因为多边形的外角和为360°，所以多边形的外角中最多有3个钝角.

所以多边形的内角中最多有3个锐角.

六、判断多边形中小于某一指定角的个数

例6在凸多边形中，小于108°的内角最多有（ ）.

A.3个B.4个 C.5个D.6个

解：因为多边形的外角和为360°，所以多边形中大于72°的外角不能多于4个.

所以多边形中小于108°的内角最多有4个.故选B.

七、求最值

例7在一个凸多边形的内角中有且只有3个钝角，则这个多边形的边数的最大值是，最小值是.

解：因为凸多边形的内角中有且只有3个钝角，所以多边形的外角中有且只有3个锐角.

又由例5知多边形的外角中最多有3个钝角，所以该多边形最多有6个外角.

由于凸多形边的内角中“有且只有3个钝角”，所以这个多边形不能是三角形，只有四边形、五边形、六边形的内角中才能有3个钝角.

因此，满足条件的最大值是6，最小值是4.

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