如何上好习题课——以数轴上的动点问题习题课为例

张燕清

(苏州市平江中学校，江苏苏州，215000)

习题课是在学习新课之后，教师有目的、有计划地指导学生运用已学过的知识解决一系列问题的教学活动.该课型是学生学习如何解决问题和分析问题的学习活动，就是把已经掌握的基本概念、基本的公式、法则、定理，迁移到不同的情境下组合成各类题型后，找出解决问题的方法，并探索这类问题的解题通法或内在规律.下面以一节以数轴上的动点问题习题课为例，进行说明，并提出几点建议.

1 教学分析

教材内容分析：从苏教版七年级上册的课本，我们可以看到数系刚扩充到有理数，就引出数轴的概念.数轴的重要性不言而喻.从知识层面上看，课本在讲完数轴后，利用数轴又定义了相反数、绝对值等重要概念，为后续研究有理数的运算提供了奠基作用.基于数轴的三要素，点的运动也从线段过渡到了数轴上，让数轴的应用更广泛.可见数轴是数学学习和研究的重要工具；从思想方法层面上看，数轴是数与形的结合，点在数轴上运动更是数形结合的完美体现，而数形结合思想是学生学好数学的重要思想.

教学目标：本次课是数轴的习题课，是在学生已经初步认识和理解数轴的基础上，同时也是在学完了绝对值和相反数，有理数的运算之后增设的，其目的在于进一步引导学生深化对数轴的理解，加强对数轴的应用，尤其是数轴与方程问题，行程问题的综合运用，渗透数形结合思想，建立方程的模型能力，提升数学的思维能力.

学情分析：对于刚刚升入初中的学生来说，形象思维较好，但理解能力较弱，本节内容是初学知识，学生基础不算牢固，而数轴与行程问题的综合应用，对学生的分析问题、解决问题的能力要求较高，因此对学生是一种挑战.

教学的重难点：(1) 用含有时间t的代数式表示动点的运动路程；(2) 利用数形结合的思想，判断点的运动情形，寻求等量关系，建立方程，解方程.

2 教学过程设计

数轴习题课的教学过程呈现如下：

教学环节(一) 复习引入，回顾旧知

(1) 数轴的概念，数轴的三要素.

教师要求每个学生在本子上画出一条数轴，并标出原点，正方向，单位长度.

(2) 数轴上两点间的距离怎么表示？

教师在黑板上画出一条数轴，并标出A，B两点，即引导学生得出数轴上点A，B所表示的数是a，b，则AB=|a-b| 或 |b-a|.由此总结任意两点间的距离是两点所表示的数差的绝对值.

(3) 数轴上任意两点的中点怎么表示？

(4) 数轴上的动点如何表示？

教师画出数轴，并标出数轴上点A对应的数为-2，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，设运动时间是t，则点P所表示的数是多少？若以每秒4个单位长度的速度向左运动，设运动的时间是t，则点P所表示的数是多少？

(5) 复习有关行程问题的典型的两种情形.

相遇问题(同时异地相向运动)

总路程=速度和×相遇时间；相遇时间=总路程/速度和；速度和=总路程/相遇时间

追及问题(同时同地同向运动)

追及时间=路程差/速度差；路程差=速度差×追及时间；速度差=路程差/追及时间

设计意图：数轴的基本概念、动点的表示方法以及行程问题的公式，是解决数轴上的动点问题的根本.通过“画图—思考—解答—概括”展现知识的形成过程，让学生从感性认识上升到理性认识，掌握概念的真正内涵，并能熟练运用，有意识地训练学生归纳概括能力.

教学环节(二) 典例呈现，引导剖析

如图，点A、点B是数轴上的点，点A表示的数是6，AB=10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为t(t>0)秒.

(1) 数轴上点B表示的数是，点P表示的数是(用含t的代数式表示).

(2) 点M为AP中点，点N为BP中点，当点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？如变化，说明理由；若不变，画出图形，并求出MN的长度.

(4) 动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点R从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求点Q、点R相遇时点的坐标.

(5) 动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点R从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，P、Q、R三个动点同时出发，点P追上点R后立即返回向点Q运动，遇到点Q则停止运动.那么点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？

教学示范：第一问点B为定点，点P为动点，请学生自行作答，以此巩固数轴上点的表示法.点B表示的数是-4，点P表示的数是6-6t.

第二问，数轴上的任意两点的中点如何表示？点M为AP中点，点N为BP中点，

如何表示出点M，N？又如何表示M，N，两点间的距离，即是线段MN的长度？

在教师的引导下，请学生一一做答，并得出结论，不论动点P怎样运动，线段MN的长度不变，都是5.

第三问，教师引导学生发现点P，点Q的运动是什么情形？能不能在数轴上画出来？

学生1：是相遇问题.

继续引导学生，总路程和各自的速度已知，显然时间可以求出，并让每个学生自行作答.

最后相遇时点的坐标与什么相关呢？

学生2：与点P，点Q的运动路程相关.

进一步引导学生得出答案，点的坐标是2.

第四问，教师引导学生发现点P，点Q的运动问题是追及问题，路程差和各自的速度已知，显然时间可以求出.类比第三问，求出答案，点的坐标是-9.

第五问，从两个动点的运动增加到三个动点的运动，难度加大，教师引导学生画出数轴，在数轴上分析点P、Q、R三点的运动过程，分为两步.

第一步，不考虑点Q，点P与点R的运动过程是什么情形？

学生4：追及的过程.

继续引导学生得出sP=|AB|+sR，建立方程求出时间，并求出点P此时的路程s1.

第二步，不考虑点R，此时点P与点Q是相遇的过程，那么它们的路程关系是怎样的？

学生5：sP+sQ=2s1.

设计意图：此题是一道以数轴为背景来研究点的运动情形的题，综合性强，把点的运动情形考查得全面深刻.首先复习数轴上不动点和动点的表示法，并探讨点在运动过程中，线段的长度的变化规律；点的运动过程实则是行程问题，强化学生对相遇问题和追及问题的理解，并能正确分析各个点之间的路程、时间的关系，从而根据相遇和追及问题的公式建立方程.解决问题的过程是对第一环节中所学知识点的巩固和运用，渗透对学生数形结合思想和方程思想的培养，提升学生处理综合题的分析能力与解决问题的能力.

教学环节(三) 变式训练，巩固提升

1. 如图，已知A，B分别为数轴上两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100.

(1) 求AB中点M对应的数；

(2) 有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；

(3) 若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数.

【预设答案】(1)M对应的数40；(2)C对应的数28；(3)D对应的数-260.

2. 动点A从原点出发向数轴负方向匀速运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向匀速运动，已知动点A、B运动的速度比是1∶4，(速度单位：单位长度/秒)3秒后，两动点相距15个单位长度.

(1) 求动点A、B运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；

(2) 若动点A、B从(1)中的位置按原速度同时向数轴负方向匀速运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间？

(3)A、B两动点在(2)中的位置，继续同时向数轴负方向匀速运动时，另一动点C同时从点B位置出发向点A运动，当遇到点A后，立即返向点B运动，遇到点B后立即返向点A运动，如此往返，直至点B追上点A时，点C立即停止运动，若点C一直以20单位长度/秒的速度作匀速运动，那么，点C从开始到停止运动，其运动的路程是多少单位长度？

设计意图：第一题是以电子蚂蚁为背景设计的，考查动点的相遇和追及问题，是对例题的进一步巩固深化.第二题三问与例题相比存在差别的，但仍是对行程问题结合数轴知识的活用，第一问是背向而行，较简单，第二问同向而行，由于原点恰好处在两个动点正中间，即用坐标表示出动点，得到两点坐标的和为0即可解决问题.第三问是点A、B的追及问题，点C的折返问题，在变化中寻求相等的量即是三动点的运动时间相等，由此解决问题.两道例题是对所学知识的巩固，深化与拓展，加深学生对知识的理解和运用.

3 关于习题课的几点建议

3.1 习题课需要梳理回顾相关知识点

习题课的第一教学环节是需要梳理相关概念、性质等知识，为后面的解题做铺垫.如上面数轴的习题课开课时，教师带学生把与数轴相关的一些概念、性质、点的行程问题都梳理了一遍，促进学生自主建构、 形成知识网络、完善知识体系.

3.2 习题课需要精心设计题目

一节习题课质量的高低很大程度上取决于教师对习题的选择.教师在习题的编选上要下足功夫，要选择典型的、有代表性的例题，让例题体现主要知识点的运用、体现通解通法，能起到加强双基的示范性；要选择一些关联性强的习题，可以是同一个知识点的深化与巩固，也可以是一个知识点与其他知识在不同背景下的组合运用；要精心配置习题的难易程度，既有重基础的简单题型，也有变式拓展类题型，提高型、创新型等难度较大的题型，让学生在抓基础的同时，提高分析和解决较为复杂的具有灵活性和综合性问题的能力，发展数学思维.如上面的例题，是经过改编的，除了对所复习的知识点的运用，以此巩固双基，也是对同一知识(相遇与追及问题)的不断深化应用，在难易程度上也是逐步提升，以满足各个层次的学生.

3.3 习题课教学方式要多样化

习题课教学知识密度大、题型多，如果只是依靠教师一味地讲授，会让学生感到枯燥、乏味，丧失学习的积极性.在习题课中教师始终把握以教师为主导，学生为主体的原则，组织多样化的教学方式.如采用设置问题串的形式，将一些看似复杂的综合的问题分解成较为精细的几个小问题，教师有效引导学生根据所学过的知识先解决“小问题”，再突破“大问题”.如分组讨论的方式让学生多动口、多动手、多动脑，激发学生全方位“参与”问题的解决，有效地减轻学生的“疲劳”，提高课堂教学的效率和质量.