含参Ky Fan不等式与对偶问题解映射的Lipschitz连续性

孟旭东，蒋海英，曾慧平

(1.南昌航空大学科技学院文理学部，江西 共青城 332020；2.江西交通职业技术学院基础教学部，江西 南昌 330013)

1972年，Ky Fan介绍了一类著名的不等式，称为Ky Fan不等式，在数学领域一般简记KFI[1-2].到目前为止，Ky Fan不等式在不等式分析和优化问题研究中起着重要作用.一批学者已经讨论了各种形式Ky Fan不等式解的存在性问题[3-6].Ky Fan不等式解的稳定性是优化理论与应用研究中的热点话题.一般而言，Ky Fan不等式含参解集具有一定的品性，比如上半连续性、下半连续性、连续性、Lipschitz连续性、Hölder连续性等[7-16].

受以上文献启发，本文在赋范线性空间中研究含参Ky Fan不等式与对偶问题解映射的Lipschitz连续性.

1 预备知识

设X，Λ，M为赋范线性空间，‖·‖和d(·，·)分别表示范数和距离，K：Λ→2X{∅}为闭凸集值映射，f：X×X×M→为实值映射.

对每个(λ，μ)∈Λ×M，考虑含参Ky Fan不等式(记为PKFI)：找x0∈K(λ)，使得

f(x0，y，μ)≥0，∀y∈K(λ).

对每个(λ，μ)∈Λ×M，考虑含参对偶Ky Fan不等式(记为PDKFI)：找x0∈K(λ)，使得

f(y，x0，μ)≤0，∀y∈K(λ).

对每个(λ，μ)∈Λ×M，记(PKFI)与(PDKFI)的有效解集分别为S(λ，μ)和D(λ，μ)，即

S(λ，μ)∶={x∈K(λ)|f(x0，y，μ)≥0，∀y∈K(λ)}，

D(λ，μ)∶={x∈K(λ)|f(y，x0，μ)≤0，∀y∈K(λ)}.

本文假设对每个(λ，μ)∈Λ×M，S(λ，μ)≠∅，D(λ，μ)≠∅，讨论S(·，·)，D(·，·)在Λ×M上的Lipschitz连续性.

定义1 设X为赋范线性空间，B⊂X为非空凸子集，g：X→为实值映射.

(1) 称g在B上为强凸映射，当且仅当对任何x，y∈B及t∈(0，1)，有

g(tx+(1-t)y)≤tg(x)+(1-t)g(y)-t(1-t)‖x-y‖.

(2) 称g在B上为强凹映射，当且仅当对任何x，y∈B及t∈(0，1)，有

tg(x)+(1-t)g(y)≤g(tx+(1-t)y)-t(1-t)‖x-y‖.

定义2[15]设X为赋范线性空间，B⊂X为非空子集，g：X×X→为实值映射.

(1) 称g在B×B上为单调映射，当且仅当对任何x，y∈B，x≠y，有

g(x，y)+g(y，x)≤0.

(2) 称g在B×B上为伪单调映射，当且仅当对任何x，y∈B，x≠y，有

g(x，y)≥0⟹g(y，x)≤0.

注1 由g在B×B上单调可知g在B×B上必伪单调，但反之不然，见下面例1.

例1 设X=，B=(0，+∞)，g：X×X→定义为g(x，y)=y(y-x).对任何x，y∈B，x≠y，若g(x，y)=y(y-x)≥0，则g(y，x)=x(x-y)≤0，故g在B×B上为伪单调.但是

g(x，y)+g(y，x)=(x-y)2>0，

故g在B×B上不是单调映射.

定义3[16]设X，Λ，M为赋范线性空间，B⊂X为非空子集，

(1) 称实值映射g：X→在x0∈X处为l-Lipschitz连续，当且仅当存在l>0，及x0邻域N(x0)⊂X，使得对任何的x1，x2∈N(x0)，有

|g(x1)-g(x2)|≤l‖x1-x2‖.

(2) 称集值映射K：Λ→2X{∅}在λ0∈Λ处为h-Lipschitz连续，当且仅当存在h>0，及λ0邻域U(λ0)⊂Λ，使得对任何的λ1，λ2∈U(λ0)，有

K(λ1)⊂K(λ2)+h‖λ1-λ2‖B0，

其中B0为X中的闭单位球.

(3) 对每个μ0∈M，称实值映射f：B×B×M→在μ处关于B×B为一致k-Lipschitz连续的，当且仅当存在k>0，及μ0的邻域V(μ0)⊂M，使得对任何的μ1，μ2∈V(μ0)，及x1，x2∈B，x1≠x2，有

|f(x，y，μ1)-f(x，y，μ2)|≤k‖μ1-μ2‖.

2 Lipschitz连续性

设A，B⊂X为非空子集，定义

对每个(λ0，μ0)∈Λ×M，存在(λ0，μ0)的邻域U(λ0)×V(μ0)⊂Λ×M，满足：

(H1)K(·)在λ0处为l0-Lipschitz连续；

(H4) 对任何的μ∈V(μ0)，f(·，·，μ)在K(U(λ0))×K(U(λ0))上为伪单调映射；

(H6) 对任何的μ∈V(μ0)，f(·，·，μ)在μ处关于K(U(λ0))×K(U(λ0))为一致l3-Lipschitz连续；

(H7) 对任何的x∈K(U(λ0))及μ∈V(μ0)，f(x，x，μ)=0.

定理1 若(PKFI)满足(H1)—(H4)，(H6)及(H7)，则：

(1) 在U(λ0)×V(μ0)上，(PKFI)的解映射为单值映射；

(2) 对任何的(λ1，μ1)，(λ2，μ2)∈U(λ0)×V(μ0)，有

d(S(λ1，μ1)，S(λ2，μ2))≤L1‖λ1-λ2‖+L2‖μ1-μ2‖，

(1)

证明设(λ1，μ1)，(λ2，μ2)∈U(λ0)×V(μ0)，要证(1)式成立，分以下3步论证：

第1步任取x11∈S(λ1，μ1)，x21∈S(λ2，μ1)，则

‖x11-x21‖≤L1‖λ1-λ2‖，

(2)

不失一般性，不妨假设x11≠x21.据x11，x21为(PKFI)的解知，对任何y∈K(λ1)，z∈K(λ2)，有

min(f(x11，y，μ1)，f(x21，z，μ1))≥0.

(3)

由条件(H1)知，对l0>0，存在x1∈K(λ1)，x2∈K(λ2)，使得

max(‖x11-x2‖，‖x21-x1‖)≤l0‖λ1-λ2‖.

(4)

在(3)式中，令z=x2，有

f(x21，x2，μ1)≥0.

(5)

据条件(H4)得

-f(x2，x21，μ1)≥0.

(6)

注意到K(λ1)为X的凸子集，则对任何的t∈(0，1)，有(1-t)x11+tx1∈K(λ1).

在(3)中，取y=(1-t)x11+tx1，得

f(x11，(1-t)x11+tx1，μ1)≥0.

(7)

再由f的强凸性并注意到f(x11，x11，μ1)=0，可知

f(x11，(1-t)x11+tx21，μ1)≤tf(x11，x21，μ1)-t(1-t)‖x11-x21‖.

(8)

由(6)—(8)式，

t(1-t)‖x11-x21‖≤
tf(x11，x21，μ1)-f(x11，(1-t)x11+tx21，μ1)≤
t(f(x11，x21，μ1)-f(x2，x21，μ1))+f(x11，(1-t)x11+tx1，μ1)-
f(x11，(1-t)x11+tx21，μ1).

由条件(H2)与(H3)中f的Lipschitz连续性及(4)式得

从而

(9)

类似地，有

(10)

结合(9)与(10)式，有

‖x21-x11‖≤L1‖λ1-λ2‖，

第2步对任何的x21∈S(λ2，μ1)，x22∈S(λ2，μ2)，有

‖x21-x22‖≤L2‖μ1-μ2‖.

(11)

其中L2=l3.

由于x21，x22为(PKFI)的解，故对任意y，z∈K(λ2)，有

min{f(x21，y，μ1)，f(x22，z，μ2)}≥0.

(12)

注意到K(λ2)为X的凸子集，则对任何的t∈(0，1)，有(1-t)x21+tx22∈K(λ2).在(12)式中，取y=(1-t)x21+tx22，则

f(x21，(1-t)x21+tx22，μ1)≥0.

(13)

据f的强凸性并注意到f(x21，x21，μ1)=0，结合(13)式，有

t(1-t)‖x21-x22‖≤tf(x21，x22，μ1)-f(x21，(1-t)x21+tx22，μ1)≤tf(x21，x22，μ1).

(14)

再由(14)式知

(1-t)‖x21-x22‖≤f(x21，x22，μ1).

(15)

另一方面，在(12)式中，令z=(1-t)x21+tx22，类似(15)式的分析可知

t‖x21-x22‖≤f(x22，x21，μ2).

(16)

根据条件(H4)，

t‖x21-x22‖≤-f(x21，x22，μ2).

(17)

从而由(15)与(17)式得

‖x21-x22‖≤f(x21，x22，μ1)-f(x21，x22，μ2)=
|f(x21，x22，μ1)-f(x21，x22，μ2)|≤L2‖μ1-μ2‖，

其中L2=l3.

第3步对任何的x11∈S(λ1，μ1)，x22∈S(λ2，μ2)，由(2)与(11)式有

‖x11-x22‖≤‖x11-x21‖+‖x21-x22‖≤L1‖λ1-λ2‖+L2‖μ1-μ2‖，

则

d(S(λ1，μ1)，S(λ2，μ2))≤L1‖λ1-λ2‖+L2‖μ1-μ2‖.

(18)

在(18)式中，令λ1=λ2，μ1=μ2，对任意(λ1，μ1)∈U(λ0)×V(μ0)，有S(λ1，μ1)={0}.

类似地，对任意(λ2，μ2)∈U(λ0)×V(μ0)，有S(λ2，μ2)={0}.所以，在U(λ0)×V(μ0)上，(PKFI)的解映射为单值映射且(1)式成立.

综上，结论得证.

定理2 若(PDKFI)满足(H1)—(H2)，(H4)—(H7)，则：

(1) 在U(λ0)×V(μ0)上，(PDKFI)的解映射为单值映射；

(2) 对任何的(λ1，μ1)，(λ2，μ2)∈U(λ0)×V(μ0)，有

d(D(λ1，μ1)，D(λ2，μ2))≤K1‖λ1-λ2‖+K2‖μ1-μ2‖，

(19)

证明设(λ1，μ1)，(λ2，μ2)∈U(λ0)×V(μ0)，要证(19)式成立，分以下3步论证.

第1步任取x11∈D(λ1，μ1)，x21∈D(λ2，μ1)，则

‖x11-x21‖≤K1‖λ1-λ2‖，

(20)

max{f(y，x11，μ1)，f(z，x21，μ1)}≤0.

(21)

由条件(H1)，对l0>0，存在x1∈K(λ1)，x2∈K(λ2)，使得

max(‖x11-x2‖，‖x21-x1‖)≤l0‖λ1-λ2‖.

(22)

在(21)式中，令z=x2，有

f(x2，x21，μ1)≤0.

(23)

据条件(H4)得，

f(x21，x2，μ1)≥0.

(24)

注意到K(λ1)为X的凸子集，则对任何的t∈(0，1)，有

(1-t)x11+tx1∈K(λ1).

在(21)式中，取y=(1-t)x11+tx1，得

f((1-t)x11+tx1，x11，μ1)≤0.

(25)

再由f的强凹性并注意到f(x11，x11，μ1)=0，

f((1-t)x11+tx21，x11，μ1)≥tf(x21，x11，μ1)+t(1-t)‖x11-x21‖.

(26)

再由(24)—(26)式知，

t(1-t)‖x11-x21‖≤f((1-t)x11+tx21，x11，μ1)-tf(x21，x11，μ1)≤
f((1-t)x11+tx21，x11，μ1)-tf(x21，x11，μ1)≤
f((1-t)x11+tx21，x11，μ1)-f((1-t)x11+tx1，x11，μ1)+t(f(x21，x2，μ1)-f(x21，x11，μ1)).

由条件(H2)与(H3)中f的Lipschitz连续性及(22)式得

则

(27)

类似地，有

(28)

第2步对任意x21∈D(λ2，μ1)，x22∈D(λ2，μ2)，必有

‖x21-x22‖≤K2‖μ1-μ2‖，

(29)

其中K2=l3.

由x21，x22为(PDKFI)的解可知，对任意y，z∈K(λ2)，有

max(f(x21，y，μ1)，f(x22，z，μ2))≤0.

(30)

注意到K(λ2)为X的凸子集，则对任意t∈(0，1)，得(1-t)x21+tx22∈K(λ2).在(30)式中，取y=(1-t)x21+tx22，有

f(x21，(1-t)x21+tx22，μ1)≤0.

(31)

由f的强凹性，注意到f(x21，x21，μ1)=0，并结合(30)式，有

t(1-t)‖x21-x22‖≤
f(x21，(1-t)x21+tx22，μ1)-tf(x21，x22，μ1)≤-tf(x21，x22，μ1).

(32)

由(32)式知

(1-t)‖x21-x22‖≤-f(x21，x22，μ1).

(33)

另一方面，在(30)式中，令z=(1-t)x21+tx22，类似(33)式的分析可知

t‖x21-x22‖≤-f(x22，x21，μ2).

(34)

再由条件(H4)，

t‖x21-x22‖≤f(x21，x22，μ2).

(35)

由(33)与(35)式有

‖x21-x22‖≤f(x21，x22，μ2)-f(x21，x22，μ1)=
|f(x21，x22，μ2)-f(x21，x22，μ1)|≤K2‖μ1-μ2‖，

其中K2=l3.

第3步对任何的x11∈D(λ1，μ1)，x22∈D(λ2，μ2)，由(20)与(29)式有

‖x11-x22‖≤‖x11-x21‖+‖x21-x22‖≤K1‖λ1-λ2‖+K2‖μ1-μ2‖，

从而

d(D(λ1，μ1)，D(λ2，μ2))≤K1‖λ1-λ2‖+K2‖μ1-μ2‖.

(36)

在(36)式中，令λ1=λ2，μ1=μ2，对任何的(λ1，μ1)∈U(λ0)×V(μ0)，有D(λ1，μ1)={0}.

类似地，对任何的(λ2，μ2)∈U(λ0)×V(μ0)，有D(λ2，μ2)={0}.所以，在U(λ0)×V(μ0)上，(PDKFI)的解映射为单值映射且(19)式成立.