反对角算子矩阵及其平方的单值延拓性质

反对角算子矩阵及其平方的单值延拓性质

崔苗苗，曹小红
（陕西师范大学数学与信息科学学院，西安710119）

本文主要证明了，复无限维可分Hilbert空间上的反对角算子矩阵及其平方具有单值延拓性质的摄动的等价性.

单值延拓性质；紧摄动；反对角算子矩阵

1预备知识

在本文中，H表示一个复无限维可分Hilbert空间.B（H）表示H上有界线性算子的全体，K（H）表示H上所有紧算子构成的双边理想.对T∈B（H），令N（T）和R（T）分别表示算子T的零空间和值域.称算子T为半Fredholm算子，若R（T）闭且n（T）或n（T∗）有限，其中n（T）=dimN（T），n（T∗）=dimN（T∗）且T∗表示T的共轭算子.此时T的指标记为ind（T）=n（T）-n（T∗）.Wolf谱σSF（T）定义为称ρSF（T）=CσSF（T）为算子T的半Fredholm预解集.记逼近预解集ρa（T）=｛λ∈ρSF（T）：n（T-λI）=0｝，ρSF+（T）=｛λ∈ρSF（T）：n（T-λI）＜∞｝.若T是半Fredholm算子，当-∞＜ind（T）＜+∞，则称T是Fredholm算子；当ind（T）=0时则称T是Weyl算子.算子T的升标asc（T）为满足N（Tn）=N（Tn+1）的最小的非负整数，若这样的整数不存在，则记asc（T）=∞；算子T的降标des（T）为满足R（Tn）=R（Tn+1）的最小的非负整数，同样当这样的整数不存在，则记des（T）=∞.当T为有有限升标和有限降标的Fredholm算子时，称T为Browder算子.本质谱σe（T），Weyl谱σw（T）分别定义为

2单值延拓性质的摄动

在本文中，将单值延拓性质简写为SVEP，T有单值延拓性质记作T∈（SVEP）.算子的单值延拓性质最早是N.Dunford在研究谱算子类的时候提出来的（参见文献［1-3］等），该性质在Fredholm理论和局部谱理论中都有很重要的地位.近年来，许多作者研究了单值延拓性质的摄动［4-5］.事实上很多重要的算子类的单值延拓性质受到了广大学者的关注，例如亚正规算子，可分解的算子［6-8］及加权移位算子［9］等等.与此同时，某些具有特殊性质的算子也满足单质延拓性质.例如，T满足intσp（T）=∅，或满足Bishop's（β）性质，或满足（δ）性质［7］时都满足单质延拓性质，其中σp（T）表示算子T的点谱.

三角算子矩阵的单值延拓性质的摄动在近几年得到了学者们的关注.上三角算子矩阵的单值延拓性质的摄动已经取得了较好的成果［10-11］，而下三角算子矩阵的单值延拓性质的摄动的相关研究工作至今仍未得到较大的进展.本文研究2×2反对角算子矩阵的单值延拓性质.首先有几个引理.引理2.1设则以下叙述等价.

（1）AB有单值延拓性质的摄动；

（2）BA有单值延拓性质的摄动；

（3）T2有单值延拓性质的摄动.

证明（1）⇒（2）.由AB有单值延拓性质的摄动知intσSF（AB）=∅且ρSF（AB）连通（文献［4］，定理1.3）.

1）intσSF（BA）=∅.若不然，则存在邻域Bδ（µ0）⊆σSF（BA）.由于intσSF（AB）=∅，于是存在µ1∈Bδ（µ0）使得AB-µ1I为半Fredholm算子.又由ρSF（AB）连通，则AB-µ1I为Browder算子，故存在µ2/=0且µ2∈Bδ（µ0）使得AB-µ2I可逆，因此BA-µ2I可逆，矛盾.

2）ρSF（BA）连通.断言：ρSF（BA）=ρ（BA）∪σ0（BA）.只需证ρSF（BA）⊆ρ（BA）∪σ0（BA）.设µ0∈ρSF（BA），若µ0/∈ρ（BA），则µ0∈ρSF（BA）∩σ（BA），故存在邻域Bδ（µ0）且当µ∈Bδ（µ0）时BA-µI为半Fredholm算子.由于intσSF（AB）=∅，于是存在µ1∈Bδ（µ0）使得AB-µ1I为半Fredholm算子.又由ρSF（AB）连通，则AB-µ1I为Browder算子，故存在µ2/=0且µ2∈Bδ（µ0）使得AB-µ2I可逆.我们知道ρ（AB）和ρ（BA）至多相差零点，于是BA-µ2I可逆，因此µ0∈∂σ（BA）.由BA-µ0I为半Fredholm算子知BA-µ0I有n≥d的拓扑一致降标，结合µ0∈∂σ（BA），则BA-µ0I为Browder算子（见文献［12］，推论4.9）.

因为ρSF（AB）连通，所以ρSF（AB）=ρ（AB）∪E，其中E⊆C为可数集.我们知道ρ（AB）与ρ（BA）至多相差一个点，于是由ρSF（AB）的连通性知ρSF（BA）连通.

（2）⇒（3）.由BA有单值延拓性质的摄动知intσSF（BA）=∅且ρSF（BA）连通（见文献［4］，定理1.3）.

1）intσSF（T2）=∅.若不然，则存在邻域Bδ（µ0）⊆σSF（T2）.由于intσSF（BA）=∅，于是存在µ1∈Bδ（µ0）使得BA-µ1I为半Fredholm算子.又由ρSF（BA）连通，则BA-µ1I为Browder算子，故存在µ2/=0且µ2∈Bδ（µ0）使得BA-µ2I可逆.我们知道ρ（AB）和ρ（BA）至多相差一个零点，则AB-µ2I可逆，因此T2-µ2I可逆（文献［13］，（3.9）），矛盾.

2）ρSF（T2）连通.因为BA有单值延拓性质的摄动，所以同（1）⇒（2）可证得AB有单值延拓性质的摄动，则intσSF（AB）=∅且ρSF（AB）连通（文献［4］，定理1.3）.由于AB∈（SVEP）且BA∈（SVEP），于是对任意的µ∈C，ind（AB-µI）≤0且ind（BA-µI）≤0，故ρSF（AB）= ρSF+（AB），ρSF（BA）=ρSF+（BA）（文献［5］，推论11）.又由ρSF（AB）和ρSF（BA）连通，则ρSF（AB）=ρSF+（AB）=ρ（AB）∪E1，ρSF（BA）=ρSF+（BA）=ρ（BA）∪E2，其中E1⊆C，E2⊆C均为可数集.我们知道ρ（AB）和ρ（BA）至多相差一个点，于是由ρSF（AB）和ρSF（BA）的连通性知ρSF（T2）=ρSF（AB）∩ρSF（BA）连通.

（3）⇒（1）.由于T2有单值延拓性质的摄动，于是对任意的紧算子K，intσSF（T2）= intσSF（T2+K）=∅且ρSF（T2）=ρSF（T2+K）连通（文献［4］，定理1.3）.

1）intσSF（AB）=∅.若不然，则存在Bδ（µ0）⊆σSF（AB）.由于intσSF（T2）=∅，于是存在µ1∈Bδ（µ0）使得T2-µ1I为半Fredholm算子.又由ρSF（T2）连通，则T2-µ1I为Browder算子，故存在µ2/=0且µ2∈Bδ（µ0）使得T2-µ2I可逆，因此AB-µ2I可逆（文献［13］，（3.9）），矛盾.

2）ρSF（AB）连通.若ρSF（AB）不连通，则存在ρSF（AB）的有界连通分支Ω.令Γ=∂Ω.由Γ⊆σSF（AB），则存在紧算子K1使得，其中N为正规算子且σ（N）=σSF（N）=Γ（文献［14］，引理2.10）.对正规算子N，令Φ为C［σ（N）σ0（N）］的所有有界连通分支的并，由文献［15，定理3.1］知存在紧算子使得σ（N+）=σ（N）∪Φ=，于

其中K′=为紧算子.由于intσSF（T2+K′）=∅，于是存在µ∈Ω使得T2+K′-µI为半Fredholm算子.又由ρSF（T2+K′）连通，则存在µ0/=0且µ0∈Ω使得T2+K′-µ0I可逆，故AB+K0-µ0I可逆（文献［13］，（3.9）），因此N+2-µ0I为下有界算子.因为N+2-µ0I为Weyl算子，则N+2-µ0I可逆，矛盾.

（1）若T-λI为上（下）半Fredholm算子，则AB-λ2I和BA-λ2I均为上（下）半Fredholm算子且ind（AB-λ2I）=ind（BA-λ2I）=ind（T-λI）；

（2）σSF（T）=

断言2：n（AB-λ2I）=n（T-λI）.设x1,x2,···,xn为N（AB-λ2I）的一组线性无关向量，由断言1可知为N（T-λI）中一组线性无关向量，即n（AB-λ2I）≤n（T-λI）.

断言3：R（AB-λ2I）闭.设（AB-λ2I）xn→y（n→∞），则由T-λI为上半Fredholm算子知R（T-λI）闭，因而存在易求得y=（AB-λ2.因此R（AB-λ2I）闭.

同理可证：（I）BA-λ2I为上半Fredholm算子且n（BA-λ2I）=n（T-λI），d（AB-λ2I）= d（BA-λ2I）=d（T-λI）.综上所述若T-λI为上半Fredholm算子，则AB-λ2I和BA-λ2I都为上半Fredholm算子且ind（AB-λ2I）=ind（BA-λ2I）=ind（T-λI）；（II）若T-λI为下半Fredholm算子，则AB-λ2I，BA-λ2I为下半Fredholm算子且ind（AB-λ2I）=ind（BA-λ2I）=ind（T-λI）.

结合引理2.1和引理2.2不难得出本文中的主要定理.

则有

由于S∈（SVEP），于是f≡0，从而f1≡0，因此S1∈（SVEP）.

下证：1）intσSF（T）=∅.若不然，则存在Bε（λ0）⊆σSF（T）.令Γ=∂Bε（λ0）.由Γ⊆σSF（T），则存在紧算子K1使得,其中N为正规算子且σ（N）=σSF（N）=Γ（文献［14］，引理2.10）.对正规算子N，令Φ为C［σ（N）σ0（N）］的所有有界连通分支的并，由文献［15，定理3.1］知存在紧算子K2使得σ（N+K2）=σ（N）∪Φ=Ω，于是Ω⊆σ（N+

其中K′=TK+KT+K2为紧算子.由于T2有单值延拓性质的摄动，于是由断言1可知（N+）2∈（SVEP）.又由σ（N）=Γ，则

（I）当λ0=0时，任取0/=λ∈Bε（λ0），都有-λ/∈Γ；

（II）当λ0/=0时，让ε充分小可使得0/∈Bε（λ0），则对任意的λ/=0且λ∈Bε（λ0），有-λ/∈Γ.故存在λ1∈Bε（λ0）使得-λ1/∈Γ，因而N-λ1I,N+λ1I可逆，故（N+）2-I为Weyl算子.由于（N+）2∈（SVEP），于是（N+）2-λ21I为Browder算子（文献［4］，定理15），故N+-λ1I为Browder算子，因而存在λ2∈Ω使得N+K2-λ2I可逆，矛盾.

2）ρSF（T2）连通.反证，若ρSF（T2）不连通，则存在ρSF（T2）的有界连通分支Ω.令Γ=∂Ω.由于Γ⊆σSF（T），于是存在紧算子K1使得,其中N为正规算子且σ（N）=σSF（N）=Γ（文献［14］，引理2.10）.对正规算子N，令Φ为C［σ（N）σ0（N）］的所有有界连通分支的并，由文献［15，定理3.1］知存在紧算子K2使得σ（N+K2）=σ（N）∪Φ=Ω，

其中K′=TK+KT+K2为紧算子.由于T2有单值延拓性质的摄动，于是T2+K′也有单值延拓性质的摄动，则intσSF（T2+K′）=∅且（T2+K′）连通（文献［4］，定理1.3）.任取λ0∈Ω，有λ0/∈σSF（T）.结合引理2.2知T2+K′-I为半Fredholm算子，又由（T2+K′）连通，则T2+K′-I为Browder算子，因此T+K-λ0I为Browder算子，从而asc（N+-λ0I）＜∞.因为N+K2-λ0I为Weyl算子，故N+-λ0I为Browder算子.同1）知：矛盾.

充分性.先证ρSF（T2）连通.由引理2.2知（T2）=（T）］2.设f（x）=x2，则ρSF（f（T））=（T2）=［ρSF（T）］2=f（T））.若ρSF（T2）不连通，则存在隔离子集A,B⊆C使得（T2）=A∪B，其中［A∩］∪∩B］=∅.

由ρSF（T2）=（T）］2知ρSF（T）=f-1（A∪B），其中f-1（A∪B）表示（A∪B）在映射f下的原像.由于

再证intσSF（T2）=∅.若不然，则存在Bδ（µ0）⊆σSF（T2）.设µ0=，由引理2.2知λ0∈σSF（T）.因为intσSF（T）=∅，则存在λn→λ0使得T-λnI可逆，于是T+λnI可逆且→（文献［13］，（3.10）和（4.3）），因此T2-可逆，这与µ0∈in（T2）矛盾.

（1）T有单值延拓性质的摄动时推不出A和B有单值延拓性质的摄动.例如，设

（2）A和B有单值延拓性质的摄动时推不出T有单值延拓性质的摄动.

例如，设

且令A,B∈B（ℓ2⊕ℓ2）,T∈B（ℓ2⊕ℓ2⊕ℓ2⊕ℓ2）分别定义为

其中

由上述可知：

1）σ（A1B2）=D，故σ（T2）=σSF（T2）=D.因此T2没有单值延拓性质的摄动（文献［4］，定理1.3），由定理2.1知T没有单值延拓性质的摄动.

2）σ（A1A2）=σ（B1B2）=｛0,1｝，则σ（A）=σ（B）=｛0,1,-1｝，因此A和B有单值延拓性质的摄动（文献［4］，定理1.3）.

（1）若A∈（SVEP），B为代数算子且AB=BA，则BA∈（SVEP）.

（2）若A有单值延拓性质的摄动，B为代数算子，则对任意满足BK=KB的紧算子K，BA+K∈（SVEP）.

证明（1）对任意一个开集U⊆C，设f：U→H为解析函数且满足（BA-λI）f（λ）= 0，下证f≡0.

因为B为代数算子，所以存在复数γ1,γ2,···,γk使得（B-γ1）（B-γ2）···（B-γk）=0，其中k为固定的正整数.令pj（λ）=（λ-γ1）（λ-γ2）···（λ-γj）,j=1,2,···,k.断言：pj（B）f（λ）=0,j=1,2,···,k.

由于（BA-λI）f（λ）=0，于是（B-γk）Af（λ）+（γkA-λ）f（λ）=0.又由AB=BA，则pk（B）Af（λ）+（γkA-λ）pk-1（B）f（λ）=0，故（γkA-λ）pk-1（B）f（λ）=0.因为A∈（SVEP），因此pk-1（B）f（λ）=0.依此类推可证得pj（B）f（λ）=0,j=1,2,···,k，从而p1（B）f（λ）=（B-γ1）f（λ）=0，则（B-γ1）Af（λ）=0.由于（BA-λI）f（λ）=0，于是（B-γ1）Af（λ）+（γ1A-λ）f（λ）=0，故（γ1A-λ）f（λ）=0.又由A∈（SVEP），则f≡0.

综上所述：BA∈（SVEP）.

（2）若对任意满足BK=KB的紧算子K，对任意一个开集U⊆C，设f：U→H为解析函数且满足（BA+K-λI）f（λ）=0，下证f≡0.

由于B为代数算子，于是存在复数γ1,γ2,···,γk使得（B-γ1）（B-γ2）···（B-γk）=0，其中k为固定的正整数.令pj（λ）=（λ-γ1）（λ-γ2）···（λ-γj）,j=1,2,···,k.断言：pj（B）f（λ）=0,j=1,2,···,k.

由（BA+K-λI）f（λ）=0可知（B-γk）Af（λ）+（γkA+K-λ）f（λ）=0，且由AB=BA可得pk（B）Af（λ）+（γkA+K-λ）pk-1（B）f（λ）=0，从而（γkA+K-λ）pk-1（B）f（λ）=0.因为A有单值延拓性质的摄动，所以pk-1（B）f（λ）=0.依此类推可证得pj（B）f（λ）=0,j=1,2,···,k，从而p1（B）f（λ）=（B-γ1）f（λ）=0，则（B-γ1）Af（λ）=0.由于（BA+K-λI）f（λ）=0，于是（B-γ1）Af（λ）+（γ1A+K-λ）f（λ）=0，故（γ1A+K-λ）f（λ）=0.又由A有单值延拓性质的摄动，则f≡0.

由引理2.1和定理2.1，自然提出问题：对反对角算子矩阵，在什么条件下A和B满足单值延拓性质的摄动当且仅当T满足单值延拓性质的摄动？目前对该问题，我们还没有找到答案.

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（责任编辑王善平）

Single-value extension property for anti-diagonal operator matrices and their square

CUI Miao-miao，CAO Xiao-hong
（Department of Mathematics and Information Science，Shaanxi Normal University，Xi'an710119，China）

In this paper，we mainly proved the equivalence of the perturbation of single-value extension property for anti-diagonal operator matrices and their square on an infinite dimensional separable Hilbert space.

single-value extension property；compact perturbations；anti-diagonal operator matrices

O177.2

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2015.01.011

1000-5641（2015）01-0095-08

2014-01

国家自然科学基金（11471200，11371012）；中央高校基本科研业务费专项基金（GK201301007）

崔苗苗，女，在读硕士，研究方向为算子理论.E-mail address：cuiye@snnu.edu.cn.

曹小红，女，博士，教授，研究方向为算子理论.E-mail address：xiaohongcao@snnu.edu.cn.