空间绳牵引并联机器人多目标优化设计

陈杰，孙霄龙，莫玮

（1.西安电子科技大学机电工程学院，西安710071；2.长江计算机（集团）公司，上海200001）

空间绳牵引并联机器人多目标优化设计

陈杰1,2，孙霄龙2，莫玮1

（1.西安电子科技大学机电工程学院，西安710071；2.长江计算机（集团）公司，上海200001）

以6自由度空间绳牵引并联机器人工作空间体积、最小索力和全局灵巧度为优化目标，在保证绳索张力范围的前提下建立了多目标优化的数学优化模型.采用神经网络-遗传算法求得优化的3组满意解，并采用灰色聚类法选择多目标优化时的权重系数.仿真结果表明该优化方法可以有效地实现结构的优化，为同类绳牵引并联机器人的设计提供了有益的参考.

绳牵引并联机器人；多目标结构优化；神经网络；遗传算法；灰色聚类

0引言

绳牵引并联机器人是并联机器人的一个新的分支.这种机构采用绳索替代刚性支杆来控制末端执行器的位置和姿态.与传统的刚性支杆并联机器人相比，绳牵引并联机器人在继承闭环传动优势的同时还具有质量轻，惯性小，大传动比，高机动性，工作空间大等优点［1］.因此绳牵引并联机器人是一种极具发展潜力的并联机器人形式，已广泛应用于摄像机器人、患者康复训练、环境监测、大型射电望远镜观测等方面［2-5］.

通过结构参数优化可提高绳牵引并联机器人的性能，但单目标优化只能使单个目标达到最优，而不能使多个目标同时达到最优，因此如能建立以构型参数为优化变量的多目标优化模型，则可大大提高绳牵引并联机器人的综合性能［6］.

针对绳牵引并联机器人的结构优化设计，文献［7］通过遗传算法以全局灵巧度与全面刚度指标对工作空间进行优化，其在处理双目标时采用了加权系数法，主观因素过大，不够客观.文献［8］通过遗传算法以最小全局条件数、最大工作空间利用率和最小索力2范数为目标进行优化，其在处理多目标时采用了权重系数法，虽然比较了多组权重系数，但是依然不够全面.文献［9］通过遗传算法结合理想点法进行三目标优化，但其在处理各个优化目标时对权系数进行等权处理，因此结果不够客观.文献［10］针对工作空间、运动学指标（全局刚度和灵巧度）和能量消耗这3个设计准则对四组优化指标进行了优化，但是没有涉及多目标的综合性能优化.因此如果能提出一种有效并且全面客观的多目标优化方法，则可为同类机构的优化设计提供有益的借鉴.

由于绳牵引并联机器人结构设计具有高度非线性的特点，特别是由于空间机构的限制，其优化问题相当复杂，数学表达式难以写出，因此传统优化方法往往对此问题无效.因此本文引入神经网络-遗传算法优化方法来解决此高度非线性的优化问题.通过对一种典型的空间型绳牵引并联机器人的工作空间体积、最小索力指标、全局灵巧度指标分别采用神经网络-遗传算法进行优化，得到了优化问题的满意解，然后采用灰色聚类的方法得到了多目标优化问题不同目标的权值，在此基础上建立多目标优化模型，进行了结构优化设计.

1绳牵引并联机器人结构和力学建模

图1所示为8根绳牵引的6自由度绳牵引并联机器人，建立全局坐标系｛O-XYZ｝和局部坐标系｛O′-X′Y′Z′｝，局部坐标系固定在末端执行器上.P=［x，y，z］T为末端执行器参考点O′在全局坐标系下｛O-XY Z｝的位置矢量；为第i根绳与末端执行器的铰接点在局部坐标系｛O′-X′Y′Z′｝下的位置矢量；Bi=［xB，yB，zB］为第i根绳与定平台的连接点在全局坐标系下的位置矢量；φ、θ、ψ为末端执行器分别绕着X轴、Y轴、Z轴的横滚（roll）、俯仰（pitch）和偏航（yaw）角.

定平台上下部分之间距离H=2.2 m，rP和αp（为末端执行器分布圆半径和分布角（A1与X′正向夹角）；rBT和rBB分别为定平台上、下部分分布圆半径；αBT（B1与X正向夹角）和αBB（B5与X正向夹角）分别为定平台上、下部分分布角.定平台和末端执行器铰接点都对称分布.末端执行器重量为10 kg，高度为0.1 m.最小预紧力Tmin=5 N，最大张紧力Tmax=150 N.

选取机构中的第i条闭链支路，根据矢量原理，则第i根绳长矢量Li在全局坐标系下为［11］

式中R为局部坐标系｛O′-X′Y′Z′｝到全局坐标系｛O-XYZ｝的旋转变换矩阵，于是i绳的长度为

则可得第i根绳长的单位矢量u=Li/‖Li‖，由静力学平衡方程有

式中fe，me分别为末端执行器受到的外力和外力矩.式（10）可以进一步写为矩阵形式

式中T=［t1，t2，...，t8］T为绳张力向量；W=［fe，me］T为作用在末端执行器上的力旋量（本文中只考虑重力，无其余外力和外力矩）.在机器人学理论中，工作空间是满足某种条件的位姿的集合，本文采用了力旋量可行工作空间［11］的概念，即末端执行器在某个位姿处不仅可以保持力学平衡，并且此时所有的绳拉力都在最小预紧力Tmin与最大张紧力Tmax之间.

2绳牵引并联机器人优化模型建立

2.1设计变量的选择

综合考虑各种情况，最终选取了以下6个设计变量（图1和表1所示）：rP，αp，rBT，rBB，αBT.

这样取值下限L=［0，0，0.2，0，0，0］T，取值上限U=［1，1，0.4，90，90，90］T.将绳牵引并联机器人的优化变量写成矢量形式为

2.2工作空间体积指标

工作空间的大小代表了则绳牵引并联机器人的指向和跟踪能力，工作空间体积越大则代表机器人的指向与跟踪能力越强，因此工作空间体积优化的目标是

2.3最小索力指标

如图2所示，最小索力的采样轨迹为A→B→C→D→E，由于这5个点的坐标比较均匀地分布在工作空间内，因此选取这样一条轨迹能够如实反映绳牵引并联机器人运动过程中最小索力的分布情况.令参数X确定的末端执行器沿上述采样轨迹运动，由式（4）解算出各点的最小索力，作为对最小索力进行评价的目标函数KT，显然最小索力越大越好，即

2.4全局灵巧度指标

绳牵引并联机器人的灵巧度是衡量机构灵巧性的一个量化指标.可通过全局灵巧度GDI［13］指标来衡量整个空间的灵巧度.DGI的计算式是

式中NW是位于旋量可行工作空间内离散点的数目，κ是雅克比矩阵J的条件数，κ=cond（J），显然有

式中λmax（·）和λmin（·）分别表示矩阵的最大和最小特征值.显然灵巧度函数满足不等式

于是0＜GDI≤1，当GDI=1时，机构具有最优的运动传递特性，此时具有运动各向同性.相反，当GDI趋近于0时，机构处于奇异位形［11］.显然GDI的值越大越好，以保证绳牵引机器人具有良好的灵巧度.于是灵巧度的优化目标为

2.5约束条件

约束条件为索力矢量T在最小预紧力Tmin与最大张紧力Tmax之间，即Tmin≤T≤Tmax，这个条件可进一步表现为两个约束条件

式中σmax为整个工作空间内的最大绳索张力，σmin为整个空间内的最小绳索张力.

3神经网络-遗传算法结构优化设计

3.1BP神经网络建模及训练

神经网络作为一种进化算法，其最大优点最大特点是仅仅借助样本数据，无需建立系统的数学模型，即可对系统实现由Rn空间（n为输入神经元数）到Rm空间（m为输出神经元数）的高度非线性映射.理论分析已经证明，具有一个隐含层及S型或钟形激励函数的BP神经网络可以任意逼近一切函数.故在使用BP神经网络进行目标函数映射时，可采用相对简单的BP神经网络结构.如图3所示，采用3层神经网络结构，其形式为6-6-5.输入层为6个结构设计变量；隐层神经元根据训练情况定为6个；输出层为工作空间体积V、最小索力指标KT、全局灵巧度GDI和整个工作空间内的最大绳索张力σmax和最小绳索张力σmin.

如图3所示，通过训练后的网络可实现从输入R6空间到输出R3空间的非线性映射.随机选择第k个训练样本X=［x1（k），x2（k），x3（k），x4（k），x5（k），x6（k）］T，则单隐层和输出层各个节点输出分别为［12］

式中Wih为输入层到隐层的连接权值，i=1，2，3，4，5，6；bh为隐层各神经元阈值；f（·）为传输函数（也称激活函数），本文中采用Sigmoid函数.

式中Wjo为隐层到输出层的连接权值，j=1，2，3，4，5；bo为输出层各神经元阈值.

使用神经网络可以任意逼近优化对象的输入输出关系，但如果优化搜索仍然采用传统算法（如拟牛顿法、变梯度算法、线性搜索等等），并不能完全发挥出神经网络的优势并且容易陷入局部最优解.如果通过神经网络学习算法建立起与绳索张力的全局映射关系，可为遗传算法提供所需的适应度函数值，这样就可以借助遗传算法的全局搜索能力.此外如果优化目标不能用数学表达式表述时，基于斜率，梯度的优化算法就会无能为力，这种情况就必须采用智能算法进行求解.另一方面，对于复杂的结构优化问题，遗传算法往往所需的计算量就非常巨大.而BP神经网络的快速映射能力恰恰克服了遗传算法的这一缺陷.如能将二者结合，互为补充，则可以充分发挥二者的优势［12］.

3.2遗传算法优化

采用标准遗传算法流程，包括编码，生成初始种群，生成适应度函数，选择、交叉和变异［13］.目标函数选择为式（5）、式（6）和式（11）所确定的F1（X）、F2（X）和F3（X）.优化变量X与工作空间内的最大、最小索力σmax和σmin之间的函数关系可以由BP神经网络映射得到，即

选择染色体实值编码，种群规模为40，随机生成.最大交叉概率为0.8，最大变异率为0.15，最大进化代数为100代，采取精英保存策略来保留最佳个体，算法终止准则为最大遗传代数.以工作空间体积最大F1（X）为优化目标的性能如图4所示，算法在20代后进入收敛过程.经过100代进化后，算法收敛，得到如图5所示的体积最大的工作空间.最小索力指标的优化目标F2（X）和全局灵巧度的优化目标F3（X）性能跟踪与图4类似，这里不再赘述.

分别以F1（X）、F2（X）和F3（X）为优化目标可以得到3组优化结果，如表2所示，这3组解将作为下一节多目标优化的满意解.遗传算法得到的优化结果可以作为新的训练样本加入样本集，然后循环计算，可以改善神经网络的映射精度，提高优化求解的精度.注意到上、下分布圆分布角并不相同，这是因为本文研究的8-6型空间绳牵引并联机器人结构对称，当末端执行器运动到几何对称处会发生机构奇异现象从而严重影响其性能，因此上下圆分布角错开了一个小的角度.

4基于灰色聚类分析的多目标优化设计

在进行多目标优化设计的时候一般采用的是加权系数法，给每个目标分配一个权重系数，但在权重系数的分配上一般是根据主观偏好，往往不够准确和客观.因此本节中借助于灰色聚类分析，判断出满意解的优劣次序，从而为权重系数选择提供客观依据.

4.1聚类分析流程［14］

1.建立样本矩阵

利用表2得到的3组满意解，得到样本矩阵D为

2.建立转换样本矩阵（象矩阵）

由于目标为最大化，所以转换样本矩阵d中每个元素dij可由下式得到

于是可以得到样本转化矩阵d

3.确定阈值（白化函数的转折点值）及阈值矩阵A

可以根据下式得到阈值矩阵A为

一般选择ρ1=0.8，ρ2=1.0，ρ1=1.2，于是可以得到阈值矩阵A=［0.800，0.708，0.792］.

4.确定标定聚类权系数η

由于3个优化指标的量纲和意义均布相同，因此采用定权聚类，则由定性分析有η1=0.75，η2=0.55，η3=0.25.

5.求聚类系数σj和归一化聚类矩阵σc

于是可以得到归一化后的聚类矩阵σc为

6.求W矩阵及最满意解

由于W3最大，故其为最满意解，且满意解的优劣次序为F3（X），F2（X），F1（X）.

4.2多目标优化

根据3个优化目标的优劣次序不同，可以以此为依据为每个优化目标分配权值，于是有q1=0.31，q2=0.33，q3=0.36.于是优化目标可以写为

5结论

本文的主要结论如下：

（1）采用神经网络-遗传算法结合可以有效的处理复杂的结构优化问题，特别是对于目标函数不具有数学表达式的情形.神经网络具有的快速映射能力可以有效弥补遗传算法种群评估不易，计算量大的缺点；而遗传算法又可弥补神经网络全局寻优能力的不足的缺点，将两者结合可以有效处理复杂的结构优化设计问题.

（2）算法第一次优化出的结果可以作为新的训练样本加入神经网络的训练集当中，然后进行循环优化，可以有效提高优化结果的计算精度，一般几次即可达到满意效果.

（3）采用灰色聚类可以为多目标优化的权重系数选择提供客观依据，从而避免了主观选择的随意性.

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（责任编辑李艺）

The multi-object optimization of a spatial cable-driven parallel manipulator

CHEN Jie1,2，SUN Xiao-long2，MO Wei1
（1.School of Electro-Mechanical Engineering，Xidian University，Xi'an710071，China；2.Changjiang Computer Group Corporation，Shanghai200001，China）

This paper investigates the multi-object optimization for a spatial 6-DOF（degree-of-freedom）cable-driven parallel manipulator.The optimization based on an NN（neural network）-genetic algorithm was carried out respectively with regarded to workspace volume，the minimum tension and global dexterity index，then three groups of satisfactory solutions were obtained.Furthermore，the weight coefficients for the multi-object optimization model were gained through the grey clustering method.The results show that the NN-genetic algorithm is effective for the structural optimization and can provide a useful reference for the optimal design of similar manipulators.

cable-driven parallel manipulator；multi-object structural optimization；neural network；genetic algorithm；grey clustering method

O224

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2015.01.018

1000-5641（2015）01-0142-09

2014-06

上海市高新技术产业化专项资金项目（JJ-GXCY-04-10-0540）；上海市软件和集成电路产业发展专项资金项目（RX-RJJC-03-10-3803）

陈杰，男，博士研究生，研究方向为测试计量技术、智能控制.E-mail：rdcchji@sina.com.

第二作者：孙霄龙，男，工程师，研究方向为电子工程，智能控制.E-mail：xiaolong.sun@cjcc.cn.

第三作者：莫玮，男，教授，博士生导师，研究方向为智能化仪器.E-mail：mowei2014@sina.com.