一种改进的水平集主动轮廓模型

吴璋，朱敏

（华东师范大学计算中心，上海200062）

一种改进的水平集主动轮廓模型

吴璋，朱敏

（华东师范大学计算中心，上海200062）

通过统计具有图像增强能力的局部区域信息，提出了一种改进的水平集主动轮廓模型.结合非负核函数和具有矫正图像误差特点的灰度集群思想，定义了一种新的符号压力函数（SPF），此函数能够很好处理灰度不均匀、对象边界不明确的问题.并且，引入惩罚项，确保水平集函数的适应性.真实图像和合成图像的实验结果表明，该模型收敛迅速，具有抗噪性，对分割目标图像敏感，能够处理弱边界的多目标图像.

一种改进的水平集主动轮廓模型；弱边界；灰度不均匀；图像分割

0引言

在图像分割中得到广泛应用的活动轮廓模型（也称为蛇模型）［1］具有阈值分割、边缘检测、区域生长等经典图像分割方法的特点.其基本思想为：通过来自轮廓自身的内部能量和图像整体特征决定的外部能量的共同作用，能量递减曲线在能量最小的原则下移动，并最后停止于目标边缘附近，从而达到图像分割的效果.活动轮廓模型可分为两类：基于边缘［2］和基于区域的模型.由Chan和Vese［3-4］提出的基于Mumford-Shan模型的无边缘活动轮廓模型（CV模型）是一种基于区域的活动轮廓模型，不但能够处理边缘模糊、目标离散状的分割问题，而且可以分割缺乏明显纹理特征的图像.虽然，CV模型只能应用于二相位图像中，无法分割灰度不均匀图像.

Zhang等人通过构造一个具有轮廓内外区域信息的符号压力函数（SPF），提出了一种新型规划水平集方法（SPF方法）［5］.该模型收敛迅速，可分割多目标图像，然而，该模型同样存在CV模型不可分割灰度不均匀图像的缺点.为此，本文通过结合由Li等人提出的一种基于水平集的新型区域模型（ICP模型）［6］，利用灰度集群思想，重新构造SPF函数，提出了一种改进的水平集主动轮廓模型，通过更多的区域均值信息来确定边界，从而达到分割灰度不均匀图像的目的；并且，在分割弱边界图像时，本文模型比ICP模型［6］分割效果更佳.

首先，针对SPF函数的特点，本文模型灵活运用核函数的控制作用，在运用灰度集群性质的同时兼顾其原有能量方程的意义，提出符合SPF函数性质、具有灰度集群性质的新型SPF函数.然后，通过引入惩罚项，确保水平集函数的适应性，从而达到水平集函数形式简单、能够矫正图像误差和分割灰度不均匀图像的效果.本文结构是：第1节，首先介绍并分析了CV模型的特点；然后对于CV模型中所存在的问题，在第2节中提出一种改进的水平集主动轮廓模型；并且，通过第3节的实验和论证，充分阐述该模型在处理噪声环境下图像、凹陷边界图像、灰度不均匀图像和弱边界图像的优越性；最后，第4节做出总结.

1背景

1.1CV模型

设Ω为图像域，并且I：Ω→ℜ为灰度级图像.闭合轮廓C将图像域Ω划分为内部和外部两个同质区域，图像I可通过分段光滑函数对图像处理而得的水平集寻找理想最优闭合轮廓获得分割.该模型能量函数是

其中：L（C）为轮廓C的长度；等号右边第二和第三项分别为内部区和外部区的灰度值及标量c1和c2的平方误差，即实际图像与“分片常数”图像之间的偏离；µ≥0，λ1,λ2≥0为各项的权重系数.只有当轮廓C位于两个同质区域边界时，式（1）得到极小值，则图像I可获得全局最优分割.

设u为根据闭合轮廓C构造的水平集函数，即｛C|u（x）=0｝.并设u为内正外负的符号距离函数，即闭合轮廓C将图像域Ω分成两个同质区域Ω1=｛u（x）＞0｝和Ω2=｛u（x）＜0｝.然后，采用变分水平集方法，先在式（1）中引入Heaviside函数H（u）=·(1+arctan).为Dirac函数，可以将式（1）改为水平集函数u的泛函，即

这样，在函数u固定的条件下，相对于c1,c2最小化式（2），可得

即c1,c2分别是输入图像I在当前曲线轮廓C的内部和外部的平均值.在c1,c2固定的条件下，相对于u最小化式（2），则可得

于是根据CV模型，通过方程式（3）、（4）的联立，求稳态解，便得到分割结果.

1.2SPF方法

Zhang等人通过构造一个具有轮廓内外区域信息的符号压力函数（SPF），提出了一种新型规划水平集方法［5］，此后简称SPF方法.文献［5］中SPF函数与水平集函数的演化方程为

其中，c1,c2与CV模型中式（3）相同.

根据文献［5］中提出的SBGRLS水平集方法，则可得到水平集函数的演化方程为

其中，气球力α可以使轮廓线膨胀或者收缩，对抗轮廓线自然收缩的趋势，其取值与具体应用相关.

该模型收敛迅速，可分割多目标图像，然而，该模型同CV模型都只运用了图像的全局区域信息，以致不能处理图像的灰度不均匀情况.

1.3ICP模型及其灰度集群性质

Li等人通过灰度集群思想（Intensity Clustering Property）［6-7］，提出了一种基于水平集的新型区域模型，简称ICP模型.

首先，设Ω为图像域，并且I：Ω→ℜ为灰度级图像.定义J为理想分割图像，包含内部和外部两个同质区域，且每个区域都有一个标量c1和c2；b为缓慢变化的误差算子；n为零均值的Gaussian噪音误差.则图像I可以表示为I=bJ+n.假定对于∀y∈Ω，定义一个以r为半径的y的邻域Oy=｛x：|x-y|≤r｝，则图像分割而得的区域Ω1,Ω2包含了每个点邻域分割而得的区域Oy∩Ωi,i=1,2.所以，对于y的邻域Oy中每一点x的误差算子b（x）都接近b（y），从而对于∀x∈Oy∩Ωi,i=1,2，b（x）J（x）≈b（y）ci.于是图像I可以改为：对于∀x∈Oy∩Ωi,i=1,2，I（x）=b（y）ci+n（x）.

因为式（7）通过以mi≈b（y）ci,i=1,2为标量获得分割，则mi≈b（y）ci,i=1,2为式（7）的关键作用因子.根据文献［7］，非负核函数K：ℜ2→［0,+∞）具有局部适应性.由非负核函数K的性质，当x远离y时，K（y-x）会剧减，甚至趋近于0，则获得公式

显然，融入灰度集群性质的εy具有局部适应性，εy计算了｛Oy∩Ω1｝和｛Oy∩Ω2｝分割邻域Oy时的能量，局部适应性函数εy越小，分割效果越好.定义图像域Ω的最优分割为Ω1,Ω2，而局部适应性函数εy是Ω中任意一点y的最小能量.基于以上分析，现可计算Ω中每一点y的εy，并且由ε=Rεydy，则可得到

该模型可分割灰度不均匀图像，但分割弱边界图像时，仍存在一定的问题，出现过分割现象.

2一种改进的水平集主动轮廓模型

把本来属于一个整体的目标分成了多个，即为过分割现象.SPF方法，通过定义SPF函数使轮廓停止在模糊边缘的区域轮廓模型，避免出现过分割现象，具有全局选择分割性.所以可通过构造SPF函数以避免ICP模型所存在的过分割问题.

而基于区域的图像分割方法的关键在于其特定的区域描述符，用以描述所分区域的不同灰度值.对于灰度有误差的图像，其灰度不均匀可能导致区域边缘的灰度交叠问题，无法通过区域描述符给出较精确的分割边界.因此，图像分割应该直接以像素的灰度为基础.但SPF方法和CV模型只运用了图像的全局区域信息，以致不能处理图像的非同质的情况.而ICP模型的灰度集群思想便是以像素的灰度为基础的图像分割，所以可将灰度集群思想融入SPF函数的构造中，以解决灰度不均匀问题.

从CV模型的角度来看，式（9）相当于式（1）等号右边的第二项和第三项，是水平集演化的主要作用力，可将其表示为平方差公式，即

而2（c1-c2）只相当于该速度项b（y）×K（y-x）（I（x）-b（y）（c1+c2）/2）的系数，不具有水平集演化的积极作用，则可只选取其速度项参与水平集演化方程的构造.所以，水平集演化的主要作用力部分可得到Hamilton-Jacobi类型偏微分方程式

b（y）×K（y-x）（I（x）-b（y）（c1+c2）/2）＜0时，根据Hamilton-Jacobi类型偏微分方程式的演化规律，轮廓沿法向演化.反之，沿逆法向演化.此外，鉴于误差算子b和非负核函数K的性质，式（11）在演化迅速的同时，还可解决灰度不均一的问题.

于是，可重新构造SPF函数为

该SPF函数分子和分母均利用了区域统计信息，具有基于区域模型的优点.鉴于c1,c2满足min（I）≤c1,c2≤max（I），所以min（I）＜b（y）（c1+c2）/2＜max（I），式（12）符合SPF函数对于I（x）轮廓内外符号相反的特点，可作为SPF函数使用，则相应的水平集函数演化方程为

在水平集函数演化过程中，为了防止水平集函数出现陡坡或平坦的表面，传统水平集方法会在迭代数次后，将水平集函数u初始化为符号距离函数，且u满足|∇u|≡1［5,8］.本模型因为SPF函数对于I（x）轮廓内外符号相反的特点，可进行该简易初始化.

根据文献［5］中给出的SBGFRLS水平集方法可知：消去式（13）中的规则项div（∇u/|∇u|）|∇u|，可以扩大水平集函数捕获到的目标边界范围，并且简化计算量.但由于为了确保水平集函数u的适应性，可通过定义惩罚项［2］取代div（∇u/|∇u|）|∇u|项，即惩罚项为

该项可表示水平集函数u和符号距离函数的偏差.根据文献［9-10］可知，用|∇u|代替δ（u）能够增大作用力范围，于是，结合式（2）可获得能量方程

其中，权重系数µ≥0，ν＞0.

此时，式（15）等号右边的第一和第四项已经运用了局部区域信息，并且比边界模型具有更广泛的目标边界捕获范围，则可去除∇spfKb（I（x））·∇u项.于是，包含了SPF函数和惩罚项的水平集函数演化方程可简化为

最后，选取Gaussian核函数为

其中：a为归一化常数，于是K（u）=1，而σ为Gaussian函数的标准差；ρ为邻域Oy的半径.注意，邻域Oy的半径ρ要根据灰度不均匀的程度选取.c1,c2和b的计算公式是

3实验结果及分析

3.1实验条件与算法步骤

所有实验的运行环境是Intel（R）Core（TM）2 Duo CPU E7400，Windows 7旗舰版2.80 GHz 4.00 GB RAM PC，MATLAB 2013 a.以下实验中，SPF方法和改进的水平集主动轮廓模型的参数均选取为µ=0.001×2552，ν=1，步长为Δt=0.1，α的取值根据具体应用选取.

3.2算法的实现

在算法的具体实现过程中，其步骤如下.

Step1：初始化图像.

其中，ρ＞0且为常数，Ω0是图像域Ω的子集，其边界为∂Ω0.

Step2：计算c1（u）和c2（u）.

Step3：计算

Step4：检验u是否收敛，若不收敛，则返回Step2.

3.3实验的结果与分析

图1是某灰度不均匀图像的分割结果.该灰度不均匀图像的背景图像灰度不均匀，并且中心目标图像还含有阴影部分，不易进行图像分割.图1（a）、图1（c）和图1（e）分别是SPF方法、ICP模型和改进的水平集主动轮廓模型的对灰度不均匀图像的初始化.图1（b）和图1（d）分别是SPF方法迭代80次和ICP模型迭代150次的分割结果.这两种情况下的分割效果均不佳，将部分背景图像当作中心目标图像.图1（f）是改进的水平集主动轮廓模型迭代50次的分割结果，耗时5.111 780 s.虽然此时中心目标图像的上方略有瑕疵，但已经能够将中心目标图像和背景图像较精确分割.由此可见，改进的水平集主动轮廓模型能够较精确分割且收敛速度快，仅对分割目标区域敏感，比SPF方法适用于分割灰度不均匀图像.

图2是细胞图像的分割结果，控制迭代次数皆为80次.该图像是通过显微镜观察而得的真实图像，大小为60×80像素，目标图像边缘部分模糊，并且含一定噪点.图2（a）、图2（c）和图2（e）分别是SPF方法、ICP模型和改进的水平集主动轮廓模型的对细胞图像的初始化.图2（b）是SPF方法的分割结果，此时分割轮廓尚不能很好地勾勒出目标图像边缘，将部分背景图像当作中心目标图像，不能达到准确分割的目的，耗时1.517 816 s.图（d）是ICP模型的分割结果，此时出现过分割现象，将部分中心目标图像当作背景图像，耗时5.470 844 s.图2（f）是改进的水平集主动轮廓模型的分割结果，此时分割轮廓紧贴两个目标图像边缘，耗时5.317543 s，比ICP模型略快.由此可见，在相同迭代次数时，改进的水平集主动轮廓模型不仅收敛速度较快，分割效果较好，在噪声环境下，能够准确分割出多个边缘模糊的分割目标.

图3是某高斯噪声合成图像的分割结果.该高斯噪声合成图像除了含有大量噪点外，中心目标图像含有一条狭长的深渠.图3（a）是SPF方法、ICP模型和改进的水平集主动轮廓模型对高斯噪声合成图像进行的相同初始化.图3（b）、图3（c）和图3（d）分别是以上三个模型迭代80、迭代100和迭代45次的分割结果.分割效果均十分明显，不仅能够有效分割较深的凹陷边界，而且能够不被噪声环境干扰.由此可见，改进的水平集主动轮廓模型仅对分割区域敏感，不会导致过分割，而且具有良好的抗噪性能.

图4是某带噪合成图像的分割结果.该带噪合成图像下方的目标图像含有两个细窄的像素尖角.图4（a）是SPF方法、ICP模型和改进的水平集主动轮廓模型对带噪合成图像进行的相同初始化.图4（b）、图4（c）和图4（d）分别是以上3个模型迭代80、迭代80和迭代50次的分割结果，分割效果均十分明显.而图4（e）、图4（f）和图4（g）分别是图4（b）、图4（c）和图4（d）中的像素尖角部分.此时尖角部分的图像背景灰度杂乱，SPF方法只运用了图像的全局区域信息，没有运用灰度集群思想，所以图4（e）中像素尖角部分没有得到分割.虽然图4（f）分割了像素尖角，但分割轮廓不如图4（g）紧贴尖角边缘，因为本文模型融入了能够使轮廓停止在模糊边缘的SPF函数.由此可见，改进的水平集主动轮廓模型比SPF方法和ICP模型分割更为精确.

表1则分别是3个模型4次分割图像的迭代次数和耗时对比.由于采用SBGFRLS水平集方法，SPF方法收敛速度最快，而本文模型因引入了惩罚项，增加了一定的计算量，仅比ICP模型略快.但SPF方法并不能分割灰度不均一图像，而ICP模型和改进的水平集主动轮廓模型可以，ICP模型在处理弱边界问题时仍有不足，而改进的水平集主动轮廓模型可以避免过分割，则可称：在处理灰度不均一及弱边界问题时，改进的水平集主动轮廓模型计算效率较好，收敛速度快.

4结论

本文将图像的灰度集群性质应用于SPF函数，提出了一种基于区域的改进水平集主动轮廓模型.相对于SPF方法，本文模型仅对分割目标区域敏感，能够对灰度不均匀图像进行分割.并且，针对ICP模型所不能较好处理弱边界分割问题，本文模型对弱边界的对象进行区域内特征提取从而达到精确分割的效果.此外，本文模型初始化简单，迭代收敛迅速.

然而，由于本文模型的能量函数基于图像的区域信息，则初始轮廓位置对分割效果有一定影响.在具体应用时，除了需要选取适合的初始轮廓，还要求选取适当的参数α.

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（责任编辑李艺）

An improved active contour model based on level set method

WU Zhang，ZHU Min
（Computing Center，East China Normal University，Shanghai200062，China）

By using the local regional information which has the ability to enhance the image，an improved active contour model based on level set method is proposed. Defining a novel SPF function with a nonnegative kernel function and local intensity clustering property，the novel model could draw upon intensity information in local regions at a controllable scale.In addition，the penalizing term which can be called distance regularization term drives the motion of the zero level set toward desired locations. Experimental results for real and synthetic images show the desirable proposed method performances and the model efficiency on intensity inhomogeneities and weak boundaries.

an improved active contour model based on level set method；weak boundary；intensity inhomogeneity；image segmentation

O948

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2015.01.020

1000-5641（2015）01-0161-11

2014-04

国家863计划曙光EB级云存储系统研制（2013AA01A211）

吴璋，女，硕士研究生，研究方向为图像处理与模式识别.E-mail：naruto wu@126.com.

朱敏，女，高级工程师，硕士生导师，研究方向为图像处理与模式识别等.

E-mail：mzhu@cc.ecnu.edu.cn.