以问题串为驱动的课堂教学设计——以“方程的根与函数的零点”为例

◎荣 霜 程国忠

(西华师范大学数学与信息学院，四川 南充 637002)

数学家哈尔莫斯有一句名言：“问题是数学的心脏”为了在课堂教学中更好地调动学生的积极性，激发学生的数学学习兴趣，教师可以通过提出问题，以问题串为驱动开展教学而好的数学问题需要具有以下特征：(1)好的数学问题可以与实际生活相联系，让学生体会到“数学从生活中来，到生活中去”，并深刻地认识到数学与实际生活的密切关联；(2)数学问题要具有趣味性，让学生能够充分体会到数学学习过程中的乐趣，从而乐于学习；(3)好的数学问题应具有一定的应用价值和教育价值，从而吸引学生、感染学生；(4)好的数学问题应具有发展性、探索性，可以进一步引申、拓展和推广；(5)好的数学问题应具有一定的难度，不能让学生依靠简单的模仿就能够轻松地解决问题，要易于理解，但又具有一定的挑战性

一、问题驱动的课堂教学模式

问题驱动的课堂教学模式是以问题为驱动，借助问题开展教学，使学生在解决问题的过程中掌握基础知识和基本技能，感悟数学思想方法的一种教学模式问题驱动的教学模式可以强化学生的内部学习动机，提高学生的认知内驱动力而认知内驱动力的产生大部分来源于学生对于未知事物的好奇以及对未解决问题的求知欲，因此，教师在课堂教学中适时地提出好的数学问题能够有效激发学生的求知欲，调动学生的积极性，从而提高课堂教学效率关于什么是好的数学问题，文章开头已经进行了讨论，这里不再赘述

教师在借助问题进行课堂教学时应尤其注意问题的难度与关联度其一，对于问题的难度来说，如果教师提出过于简单的问题，学生运用已学的知识便能够轻易得出答案，他们便会产生疑惑：“我用已经学过的方法就能解决的问题，为什么还要费时、费力学习新的方法？”而难度过大的问题又会使学生产生畏惧心理，打击学生学习的积极性，对本节课要学习的新知望而却步因此，教师提出的问题难度要适中，具有一定的挑战性，使学生经过学习才能够解决其二，若教师提出的问题之间毫无关联，或者提出的问题是学生完全陌生的，学生便会感到突兀，对其内部学习动机起到负强化作用，使学生丧失学习兴趣因此，教师在设计问题时要注意从学生熟悉的事物入手，同时设计的问题之间要互相关联，做到环环相扣，层层递进，以问题串的形式呈现，强化课堂的整体性和连贯性

接下来笔者以“方程的根与函数的零点”这个课题为例进行论述说明“方程的根与函数的零点”在高中数学知识体系中有着至关重要的地位，本节内容为后续学习“二分法求方程的近似解”奠定了基础，同时，本节内容中渗透的方程与函数以及数形结合的数学思想方法是高中数学学习过程中的重要思想方法因此，笔者选取本节内容，以问题串为驱动进行了如下的教学设计

二、教学设计

(一)教学分析

本节课的内容选自人教A版高中数学必修一的第三章第一节，是“函数与方程”章节的第一课时学生在初中阶段已经学习过二次函数和一元二次方程，并初步掌握了利用函数图像研究函数性质的能力，这为本节课知识内容的学习打下了一定的基础，但还缺乏将函数与方程联系起来的思想方法本节内容既是对学生初中所学知识的承接，又为后续学习二分法做了铺垫，有着承上启下的作用

(二)教学目标

知识与技能：理解函数零点的概念，能够运用零点存在性定理解决简单的数学问题

过程与方法：初步体会方程与函数的数学思想方法，能够熟练完成方程的求根问题与函数零点问题之间的相互转化

情感、态度、价值观：在学习零点的概念以及零点存在性定理的过程中感悟方程与函数的思想方法、数形结合的思想方法以及从特殊到一般的思想方法

(三)教学重、难点

重点：函数零点的概念，零点存在性定理

难点：掌握零点存在性定理，并辨析其使用条件

(四)教学过程

(1)问题导入

问题1：下列方程分别有几个实根？你是如何判断的？你联想到了什么？

①2-3=6； ②-2-3=0； ③ln+2-6=0

【设计意图】前两个方程比较简单，从熟悉的一元一次方程和一元二次方程入手，学生能够轻松求得答案，同时，教师可以引导学生通过方程联想到与之相对应的函数对于第三个方程，学生虽然能够联想到与之对应的函数=ln+2-6，但依然无法求解，从而设下悬念，激发学生的求知欲问题1的设计既考虑到了问题难度的适宜性，从第一小题到第三小题难度依次增加，并在第三小题为学生设下了需要本节课学习的新知才能解决的问题，又考虑到了新旧知识的关联度，由熟悉的方程引入，使学生易于接受，同时设下悬念，激发学生的求知欲

(2)探求新知，得到概念

学生在解决问题1的过程中发现，问题1中的方程都能与函数联系起来，在此基础上，教师可引导学生思考方程与函数之间到底有着什么样的联系

问题2：请完成下面的表格，并观察方程的根与之相对应的函数图像间有怎样的关系

方程f(x)=0x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0方程f(x)=0的根函数y=f(x)的图像函数y=f(x)与x轴的交点坐标

【设计意图】在问题1的基础上提出问题2，帮助学生将“数”的问题与“形”的问题相结合，通过完成表格中的内容，学生能够清晰、直观地观察出一元二次方程的实数根同二次函数的图像与轴的交点坐标之间的关联，得出一元二次方程的实数根就是与之相对应的二次函数图像与轴交点的横坐标的值，并从中初步体会数形结合的思想方法问题2与问题1之间有较好的关联度，是对问题1的进一步思考探究，同时，问题2本身具有较好的发展性和探索性，让学生从特殊的方程推广到一般方程进行探究

问题3：其他方程与相对应的函数图像之间也有这样的关系吗？

【设计意图】问题3是在问题2的基础上做进一步拓展、延伸，从一元二次方程与二次函数图像间的关系推广到一般方程与相对应的函数图像间的关系，引发学生进行思考探究，使学生在探究的过程中体会从特殊到一般的数学思想方法当学生指出其他方程与相对应的函数图像同样具有这样的关系时，教师引出本节课的新知

函数零点的概念：对于函数=()，我们把使()=0的实数叫作函数=()的零点

问题4：从函数零点的概念中，你能看出哪些等价关系？

方程()=0有实数根⟺函数=()有零点⟺函数=()的图像与轴有交点

【设计意图】问题4可培养学生的概念辨析能力，让学生从函数零点的概念中找出等价关系，培养学生的归纳总结能力，深化学生对函数零点概念的理解同时，问题4通过三者的等价关系突出了函数零点的特殊地位：一方面，函数的零点等价于相对应方程的根，这是函数零点在“数”方面的意义；另一方面，函数零点等价于函数图像与轴交点的横坐标，这是函数零点在“形”方面的意义，加深了学生对数形结合思想的理解和掌握

(3)课堂练习，巩固概念

问题5：函数()=(-5)(+9)(-6)的零点是( )

A.(5,0),(-9,0),(6,0) B.5，-9，-9,-9，6

C.(0,5),(0,-9),(0,6) D.5,-9,6

【设计意图】问题5可让学生进一步认识到函数的零点并不是由坐标表示的“点”，而是一个实数，由此加深学生对函数零点概念的理解

问题6：现在我们可以解决问题1中ln+2-6=0的实数根的问题了吗？可以找到=ln+2-6的零点吗？

教师在几何画板中向学生展示函数=ln+2-6的图像，帮助学生解决问题

追问：如果不借助几何画板，我们能判断这个函数有几个零点吗？

【设计意图】在得到函数零点的概念之后，借助新知解决问题1中未解决的问题，通过作出函数=ln+2-6的图像，可以清晰看到函数图像与轴只有一个交点，由此得到问题1的答案，方程ln+2-6=0有且仅有一个实数根同时，利用追问设下新的悬念，对于不方便直接作出函数图像的问题如何判断函数零点，以此引出零点存在性定理问题6的提出加强了课堂的整体性、连贯性，既解决了问题1中未解决的问题，又为进一步探究零点存在性定理做了铺垫

(4)解决问题，再探新知

问题7：判断()=-2-4有几个零点，你可以指出它的零点的大致范围吗？

图1

【设计意图】学生在利用刚学习的函数零点的概念解决该问题时，会发现如果从“数”的角度出发，通过计算方程的根解决问题较为复杂，而从“形”的角度出发，利用函数的图像能更直观地看出结果，并从中归纳、总结出零点存在性定理

(5)巩固练习，课堂小结

问题8：现在可以不依靠函数的图像判断函数=ln+2-6的零点的大致范围了吗？如何判断？

问题9：判断以下命题是否正确，错误的话你能举出反例吗？

问题10：本节课你学到了哪些知识？体会到了哪些数学思想方法？

学生自主归纳，教师总结：本节课我们学习了一个概念、一个定理以及两种数学思想方法

【设计意图】问题10培养了学生的反思与归纳总结能力，在归纳总结的过程中加深学生对本堂课所学新知的认识与理解，以及对数形结合和从特殊到一般的数学思想方法的体会

三、教学反思与建议

(一)反思

本节课从引入到探究函数零点的概念共设计了四个问题，问题1从学生熟悉的方程入手，由易到难，由简入繁，难度层层递进，并设置了悬念，既给了学生解决问题的成功体验及信心，又留下了挑战，激发学生进行思考探究的兴趣；问题2，3是在问题1的基础上进行的进一步探究，在教师的引导下，学生进行自主探究，分享探究结果，并进行讨论，在探究的过程中初步体会数形结合以及从特殊到一般的数学思想方法，充分发挥了学生在学习过程中的主体作用；问题4通过方程的实数根、函数的零点以及函数的图像之间的等价关系的转化，加深了学生对函数零点概念的理解，进一步体会了数形结合的数学思想方法

问题5，6的提出既帮助学生巩固了刚学习的函数零点概念，又设置了新的悬念，引发学生进行新的思考，在此基础上提出问题7，在教师的引导下，学生自主探究得出零点存在性定理；问题8利用函数=ln+2-6将整个课堂串联起来，加强了整堂课的整体性；问题9，10帮助学生辨析概念，总结归纳，使整堂课更加完整

总的来说，本节课的设计以判断方程的根的问题引入，既有学生运用已有知识便能解决的问题，又有具有一定难度、无法直接计算的问题，这激发了学生的求知欲学生利用已有知识无法从“数”的角度解决问题，进而从“形”的角度进行思考，借助函数图像解决问题问题1到问题10的设置层层递进，环环相扣，教师通过不断提出新的问题的方式改变了传统课堂“满堂灌”的形式，以问题串为驱动激发了学生的求知欲，促进学生积极思考，并在解决问题的过程中使学生掌握本节课知识内容，感悟方程与函数以及数形结合的思想方法

(二)建议

现代数学教育强调教学要以学生的发展为本，提高学生的学习兴趣，强化学生学习的内部动机，而以问题串为驱动的教学模式很好地实现了这一目标，该教学模式能够在很大程度上激发学生的求知欲，促使学生积极主动地学习

教师在采用问题驱动的教学模式开展教学时需要注意以下几点：首先，要适时提出问题，做到每个问题都有价值、有意义，避免由传统课堂的“满堂灌”变成为了提问而提问的“满堂问”；其次，要设置合适的问题串将课堂串联起来，加强课堂的整体性及连贯性；最后，提出的问题难度要适宜，并在提出问题后给予学生提示或引导，帮助学生理解和解决问题