APOS理论在数学概念教学中的应用——以“三角函数概念课”为例

◎陈科融 郑伯川

(西华师范大学数学与信息学院，四川 南充 637000)

1 引 言

数学概念是数学的基础，但当下学生对数学概念的学习效果不理想，主要包括两方面原因：(1)数学概念本身较抽象，学生理解有难度；(2)教师只充当知识的传授者，在教学过程中忽视学生的主体性，枯燥地向学生灌输课本上的数学概念，不注重引导学生感知构建新数学概念的必要性，导致学生知其然不知其所以然教师在这种情况下要求学生熟练运用新习得的数学概念进行解题，正确率会如何呢？为了提高解题正确率，学生只能求助于大量的习题，从众多习题中寻找数学概念的本质在双减政策以及高效学习的教育环境下，题海战术不再适用于数学教学，故教师科学地设计概念教学对学生掌握数学概念的本质至关重要那么在中学数学教学中教师该如何进行数学概念教学呢？

杜宾斯基基于建构主义提出了数学概念学习的APOS理论该理论指出了学生习得数学概念的四个阶段：操作、过程、对象、图式其中，操作阶段指学生初步感知数学对象，充分感知数学概念建立的必要性；过程阶段指学生通过外界帮助和自主探索，感受数学概念的形成过程，并抽象出数学本质；对象阶段指学生通过多样化的数学表征，概括数学概念，使其具有操作性，并可以简单运用数学概念解题；图式阶段指学生在数学思想方法的指导下，形成与其他数学概念、规则、图形之间的稳定联系，即形成综合的心理图式APOS理论能够弥补当前传统数学概念教学的不足，尊重学生的主体性，充分考虑学生的已有经验，更有利于学生理解、掌握数学概念的本质故基于此理论设计数学概念教学过程、改进数学概念教学方法是可行的

人教版高中数学教材(2019年)将三角函数的内容前置到必修一的第五章(2004版的教材中，三角函数内容位于必修四的第一章)，位于指数函数与对数函数、数学建模板块(建立函数模型解决实际问题)的后面，不仅再次使用研究函数的数学思想、方法，同时将三角函数作为一种刻画现实生活的工具，足以体现其重要性对学生来讲，三角函数是一种“新”函数(与初中的三角函数数学本质并不相同)，其自变量与因变量的特殊对应关系也是以前未遇到过的，因此，多数学生对三角函数概念的学习存在困难故此处重点通过阐述三角函数概念的详细教学过程说明APOS理论在数学概念教学中的具体应用，并且重点分析学生在教师引导下的数学概念学习过程

2 三角函数概念教学过程及其设计意图

2.1 操作阶段：复习旧知，联系实际，激发新疑

进入操作阶段，教师应引导学生动手操作，回忆相关数学概念，奠定知识基础教师可通过一系列的提问将学生已有的知识串联起来：“前几节课我们研究了任意角以及角度与弧度的互化，那如何画任意角呢？先回忆一下，再写一写、画一画，然后对照课本完善自己的答案”

随后，教师紧抓学习新概念“任意角”的原因，同时联系实际生活，步步逼问，让学生充分体会研究还没有完成，迫切地想要填补缺失的数学序列，从而准确地刻画周期性运动“还记得为什么要引进任意角的概念吗？我们研究任意角是为了刻画周期性变化现象——圆周运动，我们将该运动过程抽象成圆上任意一点的位置变化过程”“大家都喜欢看科幻小说，类似的，数学家也喜欢想象，当刻画了圆周运动这种特殊的周期性现象之后，他们就将目光转向了一般的周期性现象，例如月亮圆缺、潮汐变化、地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化，这些又该如何进行刻画呢？”

通过复习旧知和教师的提问引导，学生明确了本节课的任务——用数学语言准确刻画周期性运动，同时可隐约感知与本节课相关的一部分数学对象与方法，点、变化、函数等“数学来源于生活，是研究现实世界中空间形式、数量关系和结构特征的一门学科我们以前也研究过生活中的变化现象，例如利用指数型函数刻画数据的爆炸式增长、用对数型函数研究生物的死亡年份等，对于周期性运动这个新的变化过程，你有联想到研究它的方法吗？”

【设计意图】教师从复习旧知入手，利用问题帮助学生理清圆周运动、任意角、周期性运动之间的关系，同时联系生活实际，让学生从数学知识和实际生活需求两个方面充分感知建立一个新的数学概念的必要性，同时通过提示“变化现象”“指数型函数”等为活动阶段提供研究数学对象的方法，即利用研究函数模型的方法研究该变化现象

2.2 过程阶段：建立相关数学量之间的关系

由于学生前期已经具有研究部分基本初等函数的经验，故对函数模型的建立以及研究路径很熟悉，可以通过模仿明确可通过建立平面直角坐标系研究新的数学对象，教师再通过问题帮助学生理清大致思路即可：“如何建立新模型呢？其与‘点的圆周运动’又有何关系？”学生就可以将数学对象放到直角坐标系中点的圆周运动是一种特殊的周期运动，遵循从特殊到一般的原则，要想研究其运动，就应继续进行点的圆周运动的研究“确定研究工具——平面直角坐标系之后，你能获得哪些数学量？它们之间有什么联系呢？”

此时对于确定角的研究基本完毕，但由于角的任意性，教师可利用几何画板变化角的大小，学生会自然地关注到上述三类等量关系，并进行类比，尝试寻找规律“由于角的任意性，我现在改变角的大小，其他的条件不变，你又发现了什么数量规律呢？请用语言简要概括”学生有了之前的研究经验，可以轻易发现数学规律：角不同，对应的||,||,||不同；角相同，对应的||,||,||相同随后教师引导学生从简化运算的角度提问，讨论将绝对值符号去掉是否可行“此处取绝对值的运算过程比较麻烦，可以想办法简化吗？”学生凭借“集合”学习中的活动经验，即分类讨论的数学思想，自行证明了在四个象限内去掉绝对值符号并不影响总结出来的数学规律故可得到结论：角不同，对应的,,不同；角相同，对应的,,相同

这时总结得到的数学规律并不精致，教师还应引导学生从定性、定量两个角度深化理解三角函数的数学本质“既然我们利用了函数的研究方法，那总结的数学规律可以定义为函数吗？符合之前学过的函数定义吗？”“确定函数的三要素是什么？是否可以将其与函数概念相对应？”教师从函数的三要素出发进行引导，从定义域、对应关系、值域进行分析，加深了学生对函数本质的理解，又由于这里利用了三角形，同时又是函数模型，三角函数名称的由来也水到渠成“定义域是哪个数集？对应关系是什么？值域又是什么？”此处教师需要引导学生注意，利用角度与弧度的互化才能完成从角到实数的转化，定义域才能是数集，高中阶段的函数并不是单纯集合之间的对应关系，要与映射的概念区分开

【设计意图】教师通过联系已有的知识经验，探索新数学对象的研究路径，同时借助直角坐标系和几何画板将几何问题代数化，将隐含的数量关系显性化，同时渗透数形结合思想，简化运算技巧，最终让学生自行抽象出数学本质本阶段只是用粗略的数学语言进行数学本质的表述，这为下一阶段用准确、简洁的数学语言表述数学本质奠定了基础

2.3 对象阶段：概念精致化与巩固应用

数学概念需要用简练、准确的数学语言进行表述，故下一步是概念“精致化”，即完善数学概念(概念的准确表述与文字、符号、图形语言的互化)学生可以对比初中的锐角三角函数知识定义三角函数的概念，教师只要稍加指导即可“模仿初中锐角三角函数的定义形式，请你为找到的任意角三角函数模型下个定义，可以采用图形辅助理解”多数学生可以用数学语言进行描述，但无法一次就表述精练、准确，需要教师逐步引导、规范例如，对于正切函数，学生可能会遗漏定义域{|≠0}，通过教师提示，学生回忆起学习函数时要求分母不为零，再次深刻理解了三角函数的本质，规范了函数的书写(函数书写一定要带有定义域)

下一步，教师精选例题应用概念，深化概念本质，同时基于简化计算引入“单位圆”的概念

这里是利用例2求特殊角的三角函数值，继续强化学生的数学运算，而表格形式暗含函数的另一种表示方法，为下节三角函数性质的研究提供了知识基础

【设计意图】学生结合教师的引导，自主定义三角函数概念，实现了文字、图形、符号语言的顺利转化，加深了对三角函数本质的理解，培养了表达规范、严谨的科学精神学生通过数学运算充分感知了三角函数的本质和计算步骤，同时由例1的计算引入“单位圆定义法”，便于以后的解题和计算，在充分理解数学本质的基础上强化了数学运算能力，形成了相应的技能

2.4 图式阶段：构建思维导图，完善认知结构

数学概念错综复杂，学生只有将习得的知识点形成知识网络，辅之习题的练习、总结、归纳和数学思想方法的运用，逐步形成个性、完善的认知结构，才能真正掌握数学概念的本质三角函数是一种工具，将它与其他知识形成稳定的联系会发挥极其重要的作用(例如函数题中利用三角换元、解三角形中利用角的恒等变化等)，同时频繁使用它有助于知识提取的快速性

教师在教学过程中可以采用“思维导图”“课堂反思”的形式引导学生完善自己的认知图式“本节课你学习了哪些知识？可放在思维导图的哪部分？又运用了哪些数学思想和方法？请你写下来，然后小组交流”教师可以为学生提供适当的辅助，提供部分思维导图

由于学生对于知识的接受程度不同，故教师应怀有“同中存异”的教学理念，对所有学生既有相同的要求，即掌握三角函数的概念及三角函数值的计算方法，又有不同的对待，即学习能力强的学生能够明确三角函数与旧的知识经验间的联系与差异，知识网络清晰，同时能熟练运用之前的解题经验，而学习能力较弱的学生可能缺少个别知识节点，知识间的联系、区别模糊，需要通过多样性的习题继续完善认知网络，深化其对数学概念的理解所以，教师对课后习题的选取要具有层次性和多样性，针对学生的差异布置不同类型和难度的习题对于某些易错题、典型题，教师需要在习题课上再次讲评，多次巩固、深化数学概念本质，让所有学生都能达到基本的教学目标，并且在自己的最近发展区内取得一定的进步

【设计意图】教师通过对学生课上、课下的多重指导，让学生将三角函数放入更大的数学认知网络中，形成更加完整的数学认知图式，为后续学习三角函数的相关性质奠定知识与思想方法基础，同时提高自我监控意识和能力，自觉构建、完善认知结构

3 结 语

为了增强APOS理论中四阶段的可操作性，同时解决现有数学概念教学中的某些问题，本文以三角函数概念课为例介绍了该理论在数学概念教学中的应用.改进教学的目的之一是促进学生的高效、深度学习，并且该理论的四个阶段衔接紧密，没有清楚的划分点，故教师在实际教学过程中不能盲目使用APOS理论，机械区分四个阶段，而应从学生本位的教学理念出发，合理运用该理论指导数学概念教学，将促进学生对数学概念的深度理解落到实处