通过联系构建几何复习教学的新样态

王黎强

(排岭初级中学，浙江 淳安 311700)

双减背景下，在坚持做好“压总量、控时间”的基础上，更加注重“调结构、提质量”[1]，把学生从繁重的课业负担中解放出来，关键是提升课堂效率.复习课作为一种常见课型，在数学教学中的地位不容忽视.笔者结合平时的教学实践，分享一点几何复习教学的认识.

1 注重联系，着眼整体，优化思维方式

数学是一个有机整体，它的生命力在于各部分之间的联系.为了便于学生学习，我们的学科知识不得不被分成条块，变成细小的局部[2]，因此，复习课应该从系统思维出发，着眼于知识之间的联系和建构，聚焦于揭示问题的本质和规律，用新的视角把知识重新组织起来，形成一个系统化的整体.

例如“轴对称视角下的等腰三角形复习”的部分教学设计：

引入如图1，在等腰△ABC中，AB=AC≠BC，请用尺规作出△ABC的对称轴(方法尽可能多).

图1 图2 图3

分析1)根据等腰三角形的对称轴是顶角平分线，即底边上的中线和高线所在直线，得图2和图3.

2)根据两点确定一条直线，只需再确定对称轴上的另一点便可画出，这个点可以由两条直线相交得到.如图4，在边AB,AC上取一对对称点D，E；如图5，在边AB,AC上取两对对称点D，E和G，H.两种作法本质相同，其中，图4中B，C也是对称点，且作法更简洁.

图4 图5

设计意图等腰三角形是刻画平面对称性的模型，等腰三角形的性质也是基于对称性而来.用对称的视角研究等腰三角形的问题，有助于我们更好地认识和解决问题，这也是本题的价值所在.

例1如图6，在△ABC中，AB=AC=8，D，E分别是AB，AC上的点，BE=CD.若BD=3，CE=1，求BE的长.

图6 图7

分析1)等腰△ABC是轴对称图形，一切居于对称位置的元素或三角形都是可证相等或全等的；2)所给条件比较分散，可以考虑通过轴对称转化几何元素的位置，使条件相对集中，再运用学过的知识解决问题.

解如图7所示添加辅助线BF,BG,其中BF=CD=BE，BG⊥AC于点G.在Rt△AGB中,利用勾股定理可得

在Rt△BGE中,利用勾股定理可得

设计意图在解决等腰三角形问题时，利用轴对称改变线段的位置，使两条线段由异侧变为同侧，从而解决问题.这也是等腰三角形添加辅助线的规律之一.

练习1如图8，在△ABC中，D，E分别为边AC，AB上的点，AD=AB，BE=CD，∠BED=120°.若DE=6，BC=14，求线段BD的长.

图8 图9

如图9所示添加辅助线BF,BG,其中BF=DE,BG⊥AC于点G,可得BD的长(过程略).

设计意图学生再次体验添加辅助线，积累经验，巩固利用等腰三角形的对称性转化几何元素位置的方法.

例2如图10，△ABC为等边三角形，延长BC到点D，延长BA到点E，使AE=BD，联结CE，DE.求证：CE=DE.

图10 图11

分析本题所给图形并不是完备的轴对称图形，但存在轴对称因素CE=DE.此时，可从轴对称的观点补所缺的图形(图11)，从而得证.

设计意图这是一道有一定难度的题目，通过对本题的分析，可进一步启发学生添加辅助线的基本规律：1)已知和结论之间思路受阻时才添加辅助线；2)自然原则，顺着思考方向分析时，水到渠成地添上一笔；3)添加辅助线的基本规律需要不断总结[3].

图12 图13

设计意图巩固利用轴对称的观点补形的规律.

显然，本节课抓住了等腰三角形对称这一本质属性，把等腰三角形的相关知识融合在一起，构成了一个浑然一体的系统，这不仅丰富了学生原有的认知结构，而且让学生获得了新的见解，同时简化了记忆.更重要的是运用等腰三角形的轴对称性添加辅助线，或补全对称图形，引导学生从等腰三角形的轴对称性出发构建整体图形结构，让添加辅助线这个难点顺利地转化为补全轴对称图形.对于今后学生寻找、运用、构建轴对称都有着积极的意义.

2 立足结构，着眼能力，提高解题效率

基本几何图形是简洁、有用和美丽的，在几何教学中需要去认识、积累并应用这些基本图形的几何结构，在新课的教学中要关联这些图形结构背后的代数结构，在复习教学中则要帮助学生在复杂的图形环境中探寻到这些结构和它们之间的联系，并快速找到解题的路径.

例如，某教师在教学“圆的基本性质复习——圆中的角”时，先前测，后对第3题进行了分析.在例题环节，多位学生展示了不同的解法，教师并未分析；在评估练习环节，学生独立完成，未及时反馈.

在评课环节，笔者肯定了这位教师对展示课所做的种种努力，把这些具有共同特征的问题收集在一起，但没有归纳出解决这类问题背后的基本图形的几何结构，略显遗憾.

现将部分教学设计和笔者评课展示如下：

环节1基础前测.

1.如图14，△ABC内接于⊙O，联结OA，OB，若∠ABO=25°，则∠C=

图14 图15

( )

A.55° B.60° C.65° D.70°

2.如图15，在⊙O中，OA⊥BC，∠CDA=25°，则∠AOB=______.

3.如图16，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，且OM=3，CD=4，BD=12，则⊙O的半径为______.

图16 图17

评注这3道题除了同弧所对圆周角等于它所对圆心角这一结构外，还可以归纳出如图17所示的基本结构(即多题归一)，明确这个几何图形结构将圆周角与圆心角有机地联系在一起，同时还有垂径定理的“影子”.这三者的结合使得圆周角与圆心角倍半关系顺利地转化为∠C=∠DOB.教师要将背后的逻辑关系讲清楚，让学生理清这个图形结构的背后联系.

环节2例题讲解.

例3如图18，在⊙O中，点G在⊙O上，弦AB的垂直平分线交AG的延长线于点E，EF交弦BG于点D，交⊙O于点C，F，联结OB.求证：∠E=∠OBD.

图18 图19

评注有了前面的引导，学生在找圆中相等角时就能很快发现图17的这一结构.思维的切入点高了，解决问题的路径更容易找到，解题效率明显提高.

简洁的证明如下：从结构可知∠BOF=∠AGB，再由∠GDE=∠ODB，∠BOF=∠ODB+∠DBO，∠AGB=∠E+∠GDE，从而∠E=∠OBD.

环节3评估练习.

1.如图19，已知锐角△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D，联结OA，点E在线段OA上，OE=OD.若∠ABC=40°，∠ACB=70°，则∠ODE=______°.

评注有了前面的练习，看到这样的问题，很容易想到联结OB，结构再次出现.由∠ABC=40°，∠ACB=70°，可得∠CAB=70°，进一步得∠BOD=70°，而∠AOB=2∠ACB=140°，最后求出∠DOE和∠ODE.

本节课之后，该教师又做了进一步的改进，通过前测在复习圆心角定理、圆周角定理、垂径定理的基础上归纳得出图17的结构，再通过例题分析运用这个结构解决几何证明问题，结合变式分析，学会在不同的背景中分离出这个基本结构，构建这个图形结构与之前所学的其他图形结构之间的联系，最后利用评估练习检测学生的目标达成情况.立足结构，改变原有知识的反复记忆以及练习后的无效展示，将几何知识赋予的图形结构进行有机整合，这不仅可以提升解题效率，还便于学生构建知识的相互关联.当然要让学生在头脑中建构起这样的结构，还需作业、单元练习和单元测试的配合使用.

3 立足迁移，着眼通法，提炼数学本质

复习教学中很多教师惯用一题多解的方式训练学生的解题技巧，有助于学生理解问题本质和解法的内涵，有助于加深对概念、定理、公式及相互联系的理解.但教学实践过程中，要立足通性通法，帮助学生归纳解法背后的共性，构建解法之间的联系，提炼解法所蕴涵的数学思想和方法，促使学习迁移的发生.

例如“圆的基本性质复习”的设计中，只有一道例题和一道课后作业.

例4如图20，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E，求证:DE=CE.

图20 图21

分析此题内涵丰富，指向八方，入口很宽，可以用等腰三角形的对称性证得(如图21)；用圆周角与圆心角的关系证得(如图22)；用平行弦的关系证得(图23)；用圆心角相等关系证得(图24)；用垂径定理的关系证得(图25)；利用直角三角形斜中线性质证得(图26)；还可以由圆内接四边形外角性质证得.这也给了我们证明圆中有一端点重合的两条弦长相等的思路，如图27.

图22 图23

图24 图25

图26 图27

设计意图利用一道典型的例题，运用一题多解激发学生的兴趣，活跃学生的思维，讲评过程中有方法的归纳、关键点的点拨，还有多种解法相互比较，不断抽象，挖掘本质.在一题多解的过程中培养学生思维的灵活性，在多解归一抽象出解题规律和方法的过程中，感受对数学原理和通性通法的认识.

课后练习如图28，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OD∥AC.求证:CD=BD.

图28

设计意图教师给予学生模仿和实践的机会，巩固本节课所学的方法，培养学生的迁移能力.

这样的一堂课，简单、精致而美丽，带给学生的冲击是巨大的.看似简单的一道题，却给了学生丰富的思考空间，不同层次的学生有不同的方法.教师不用一味迎合学生的解法，也不用让学生记住不同的解法，而是要让学生理解解法背后的数学本质.真正做到“眼中有学生、脑中有理念”，教师的作用是用心去观察、捕捉和点赞学生思维中的动态生成，帮助学生用精致的语言分享他们的做法.精心设计的一道与例题相似度极高的课后练习，有助于降低学生的思考难度，有助于增强学生知识的正迁移能力和对新知的掌握，达到减负增效的作用.

4 关于几何复习教学的新样态

在“双减”背景下，传统的复习方式(即通过填鸭式的灌输和课后刷题训练)弊端凸显，难以让学生有良好的学习体验，导致学生数学学科学习兴趣的丧失和畏惧心理的产生.对此，笔者结合实践，提出了几何复习课的新样态：大联系、小结构、重迁移.

4.1 大联系

复习课堂不能“只见树木，不见森林”，不能就事论事、就题论题，只看到单一的知识点而不顾及其联系.教师要注重知识之间的联系，把知识点统一在内容所内隐的数学思想和方法之中，帮助学生更好地了解知识的源头、发展和去向，更好地理解其本质，更好地提升思想和方法的驾驭能力.

4.2 小结构

几何知识是有内在联系的，几何图形之间也有内在关联.几何图形的一些小结构，比如角平分线和平行角一边的直线组合可以得出等腰三角形，图17中圆周角和圆心角结合垂径定理可以得出两角相等的规律等，这样的结论称为“一次性推理的结论”[3].在复习教学中，总结积累和熟记这样的小结构，有利于培养学生的联想能力，有利于提升学生思考问题的起点，有利于学生快速找到复杂问题的解题路径，从而提高解题效率.

4.3 重迁移

学习的目的是学会迁移，利用掌握的方法，通过联想、类比、推理等来解决相似的问题，达到举一反三的效果.提升迁移能力的关键是通过分类把无限的题目变成有限的题型；通过总结，找到解决同一类问题的通法.复习的意义不是多做题，而是立足一道题，串起一类题；立足一种方法，牵出一类通法；立足一个图形，研究一类图形.

新样态的几何复习课，从寻找联系入手，帮助学生用思想方法、通性通法、图形小结构等建构起新的联系.它将有助于知识的融会贯通，透过复杂的现象，抓住本质，把复杂的问题简单化.这样的课堂多一些，喜欢几何、爱上几何的学生也会多一点.