数学史融入导数几何意义教学的新探索——用笛卡尔圆法突破切线的极限定义

张 豪， 张维忠

(浙江师范大学教师教育学院，浙江 金华 321004)

《普通数学课程标准(2017年版)》强调：导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴涵微积分的基本思想.不仅如此，还在“内容要求”中具体地指出了“体会极限思想”“通过函数图像直观理解导数的几何意义”的期望目标.由于导数涉及极限思想，在导数的应用受到广泛关注的趋势下，“无穷小”“极限”这些珍贵的思想宝藏容易被大部分教师“理所当然”地忽视，因此需要加强导数教学，为学生进入大学学习高等数学打下良好基础.

学生从初中掌握的圆的切线定义过渡到一般曲线的切线定义“切线是割线的极限位置”时存在与历史上切线认识论发展相似的认知障碍，具体表现为大多数学生仍持有“圆的切线”或“与曲线只有一个公共点的直线”这一表象，甚至只是根据“公共点个数”“是否位于曲线同侧”等条件来判定该直线是否为切线.究其原因在于国内现行教科书过分重视切线斜率的形式化公式，忽略了切线的历史，没有揭示出切线概念的本质，由此可见数学史在“导数几何意义”一课融入的重要性与必要性[1].

曲线切线问题是微积分的经典问题，在历史上，笛卡尔的“圆法”和费马的“虚拟等式法”首先提供了极限定义的切线的代数求法，为巴罗、莱布尼茨、洛必达等人的多元阐释奠定了坚实基础.其中，笛卡尔圆法不涉及极限的概念，给出了用代数法求切线的方法.其作为数学史上切线概念创新的传承结晶，使得切线作为“割线的极限位置”的概念首次出现在印刷品中[2].其求法不仅与初中阶段我们熟知的圆的切线相关，在高中阶段教学中起到一个很好的衔接作用，更是在本质上将切线视为割线的极限位置，能够突破任意曲线的切线极限定义，与教材上的定义相符合.笔者尝试将笛卡尔圆法融入导数的几何意义教学设计与具体教学过程，从学生熟知的圆的切线出发，通过笛卡尔圆法用代数方法确定切线位置的复杂性，与极限定义的切线求法形成鲜明对比，让学生理解切线用极限定义的合理性与简洁性.

1 教学设计要点

1.1 教学内容分析

本节内容选自人教A版普通高中《数学(选修2)》第5.1节“导数的概念及其意义”第二课时.在学习导数的几何意义之前，学生接触了平均变化率和瞬时变化率，并且由瞬时变化率得到了导数的定义，这是从“数”方面的刻画.而导数的几何意义从“形”方面进行研究，不仅再次渗透极限思想求得了切线的极限定义，更是以此完善和促进了对导数定义、“以直代曲”思想方法的深层理解.

从知识发生发展过程、数学思想方法的角度对本节内容进行深度剖析，强调需要以“形”助“数”、以“数”论“形”来理解导数的几何意义，将曲线的切线上升到一个新的思维层面，同时还需注意渗透极限思想、以直代曲思想教学[3].笛卡尔圆法就从“数”“形”这两个方面很好地突破了导数的几何意义，其具体做法如下：

如图1，CP是曲线y=f(x)在点P处的法线，过点C(v,0)作半径为r=CP的圆，此时点P的横坐标为方程[f(x)]2+(v-x)2=r2的重根.当y=f(x)是多项式型函数时，相当于方程[f(x)]2+(v-x)2=r2以点P的横坐标x为重根，具有重根x=c的多项式的形式必须是(x-c)2∑cixi.笛卡尔把其有重根的条件写成

图1

[f(x)]2+(v-x)2-r2=(x-c)2∑cixi，

1.2 学情分析

本节课的授课对象为高二学生.在知识层面，学生在初中阶段已经比较系统地学习了圆的切线、直线斜率与方程等相关知识，有了切线静态定义的认知基础；在技能层面，学生在初中阶段接触了用逐步逼近的方法探索圆面积的问题，在高中阶段经历了用单调性定性研究函数的变化趋势，积累了相关研究的经验.

本节内容从极限角度动态地定义切线，进而得出导数的几何意义，对学生来说是陌生的概念，是极大的挑战.

1.3 重难点突破

不论是定义、性质和求法，还是与曲线的位置关系，极限定义角度下的切线与圆的切线都发生了翻天覆地的变化.笛卡尔圆法提供了突破这一认知难点的有效途径，通过图像找切线与代数法求切线,从“数”与“形”的两个角度强调用极限定义切线的重要性，更能够提供迁移、类比的方法强调应将切线视为割线的极限位置，进而体现“以直代曲”的思想方法.但笛卡尔圆法融入导数的几何意义教学也面临着极大挑战.

第一，笛卡尔圆法中重根的计算量大.取y=x2时，用比较系数法求得v与c的关系要涉及4次方程的运算；若取更加复杂的多项式型函数，则计算量激增，学生可能要花费许久的时间在计算上.因此，在教学中可以取简单的二次函数y=x2为例，以介绍的方式将笛卡尔圆法讲授给学生，在探究中让学生直观感受到笛卡尔圆法计算的复杂性，从侧面突破教材中切线极限定义的合理性与简洁性.

第二，笛卡尔圆法中重根的计算方法涉及高等数学的相关知识，很难直接在课堂上传递给学生.但学生已经学习过二次函数的相关知识，对重根和比较系数法有一定的基础，因此可以采用类比的方式，从二次函数的重根入手，将笛卡尔圆法讲授给学生.

第三，笛卡尔圆法将切线视为割线的极限位置，本质上与教材定义一致.但如何让学生清晰地认识到笛卡尔圆法本质上与极限定义的等同性，进而让学生认同和欣赏到极限定义的切线美，是一大难点.可以通过笛卡尔圆法中重根产生过程的动态化展示让学生感受到两种做法在定义上的等同性，进而感悟切线美.

2 具体教学过程

2.1 温习旧知，导入新课

师：圆是一种特殊的曲线，我们在之前的学习过程中，用哪几种方式来定义圆的切线？

生1：与圆有且只有一个交点的直线.

生2：到圆心的距离等于半径的直线.

生3：过圆半径的外端点并垂直于半径的直线.

师：对的，我们可以看到圆的切线有许多表达方式，也正如数学史料记载的一样，切线概念发展经历了3个阶段：第一个阶段就是欧几里得提出的“在平面内，与圆只有一个交点的直线是圆的切线”的定义，与生1所表达的一样.阿波罗尼奥斯在此基础上提出了与生3类似的“与圆锥曲线只有一个公共点且全部在圆锥曲线之外的直线”的第二阶段切线定义.那么同学们思考一下，这些定义切线的方法对于我们已经学过的一些曲线都适用吗？以三角函数y=sinx为例试试看.

生4：不适用.

师：大家一起和老师用几何画板探索一下，已经画出了函数y=sinx在任意点P处的切线，我们一起来看看，在移动点P的过程中，过点P的切线是否满足第一和第二阶段切线的定义.如图2，切线可以与这条曲线有多个交点；如图3，切线可以“穿过”这条曲线，可以看到第一和第二阶段的定义均不太适合现有的一些曲线的切线定义.那现在就让我们一起来探索一下第三阶段的定义吧！

图2 图3

2.2 新知探索，建立联系

师：以上节课“如何定义抛物线y=x2在点P(1,1)处的切线”为例，我们能否用已知的知识(圆的切线)用几何法找到这条切线的位置？

师：其实在数学发展史上，笛卡尔已经为我们提供了这样的一种方法.我们选取x轴上一点C为圆心，过点P作圆.可以看到⊙C在从左往右移动的过程中与曲线交点数由2变为1再变为2(如图4)，当⊙C与y=x2仅仅相交于点P(如图5)时，我们就可以用几何法确定这条切线的位置.

图4 图5

师：同学们想一想，我们能求出这条切线在直角坐标系中的表达式吗？

生5：可以设圆心C的坐标为(v,0)，圆的半径为r，从Rt△CPM和Rt△CQP出发我们可以得到切线斜率

因此只需求出v的坐标即可.

师：非常好!这样我们就给出了切线斜率的表达式.我们想一想还有其他条件可以解出未知量v吗？

生6：好像没有了.

师：其实啊，在历史上笛卡尔给我们进行了详细的介绍.以y=x2为例，看一看如何用代数的方法确定在点P(x,x2)处的切线.笛卡尔指出，过点C(v,0)作半径为r=CP的圆，CP是曲线y=x2在点P处的法线，此时点P的横坐标是[f(x)]2+(v-x)2=r2的重根.同学们，对于重根我们在之前的学习中有接触吗？

生7：在之前的二次函数的学习过程中有接触类似的情况，例如(x-1)2=0就有两个相同的实数根x=1，即x=1是重根.

师：非常好！让我们来类比一下.笛卡尔告诉我们，方程[f(x)]2+(v-x)2=r2具有重根一定可以写成

[f(x)]2+(v-x)2-r2=(x-c)2∑cixi.

其中，c是指一个未知的重根.具体来看，对于y=x2，式子就可以表示成

x4+(v-x)2-r2=(x-c)2(x2+ax+b)

x4+v2-2vx+x2-r2=x4+(a-2c)x3+(b-2ac+c2)x2+(ac2-2cb)x+c2b.

利用同次幂系数相等,可得

a=2c,

1=b-2ac+c2=b-3c2，即b=3c2+1，

-2v=-2cb+ac2=-2cb+2c3

=-2c(3c2+1)+2c3

=-6c3-2c+2c3=-4c3-2c,

从而

v=2x3+x，

即

v-x=2x3.

师：同学们，经过重重计算我们得出在点P(x,x2)处的切线斜率为

从而探究题中抛物线y=x2在点P(1,1)处的切线为y=2x-1.回想一下刚刚的计算过程我们得出v-x的结果是否花费了很多时间？

生8：是的，计算很费时间.

师：而且我们求出来的这个v还与x有关，十分复杂.那我们来思考一下，有没有更好的方法可以来确定切线在坐标系中的表达式.

设计解读这一环节主要介绍笛卡尔圆法在“形”和“数”上确定切线的做法.首先，利用几何画板直观展示笛卡尔圆法在“形”上确定切线位置的容易性.其次，通过与已学的二次函数知识的类比，让学生在教师引导的探究下真切感受笛卡尔圆法的复杂计算，完成数学新史料笛卡尔圆法的融入讲解.最后，为下一环节笛卡尔圆法与教材做法两种方法在“数”与“形”的对比突破和等价论述、从而突破切线极限定义的合理性与简洁性做好了铺垫.

2.3 动态定义，突破极限

师：教材上我们是如何来定义切线的？这种切线定义与我们刚刚学习的笛卡尔圆法有没有联系？大家可以通过小组讨论，来谈谈你的想法.

生9：教材中先是通过我们之前学习的平均变化率来表示曲线y=f(x)在点P(x,f(x))处的割线PP0，然后用割线PP0无限趋近的一个确定位置来定义切线.

师：很好，其实这就是数学史上对切线概念的第三阶段定义，由笛沙格提出的把切线明确地看做是割线的极限.我们以抛物线y=x2在点P0(1,1)处的切线为y=2x-1为例，来展现一下这个动态演示过程(如图6).

图6 图7

师：我们可以看到，这条切线y=2x-1确实可以理解成一个无限趋近的确定位置.那么紧接着提出第二个问题——这与笛卡尔圆法有没有联系？

生10：从笛卡尔圆法确定这条切线的位置来看，圆在从左往右移动的过程与抛物线交点数由2变为1再变为2，其实也等同于在点P0(1,1)两侧不同的两条割线无限逼近这个确定的直线的过程.

师：讲得太好了！我们来动态地演示一下这个过程(如图7).看一看按照书本上的定义来计算这个切线斜率，是否也会像我们之前的那么复杂？

师：以上计算简单多了！从这个角度上来看，我们可以把现有的切线定义看成是一种圆的切线定义的“升级”.这样，我们不仅可以掌握圆的切线带来的“形”的直观，而且通过极限的求法我们能够更好地从“数”上来确定切线的位置.

设计解读首先设置探究让学生在动态变化中认可教材做法与笛卡尔圆法在“形”上的等同性，让学生认识到极限定义的切线其实隐含着“形”的特征，并不是抽象的，从而突破切线极限定义的简洁性.其次，极限定义下切线斜率计算的简便性能够与笛卡尔圆法形成鲜明对比，带来极大的视觉冲击，从而进一步让学生感悟切线极限定义的合理性.最后，注重总结切线极限定义与圆的切线的联系与区别，有效地突破学生的认知障碍.

2.4 以直代曲，突破定义

师：同学们再来思考一下，切线的斜率为2与上节课学习的导数的概念有何联系？

生12：函数f(x)=x2在点P0(1,1)处的导数f′(1)=2就是曲线在点P0(1,1)处切线的斜率大小.

师：非常好！这位同学将上节课我们学习过的导数的定义与“形”联系了起来.让我们来具体看看，是不是所有的函数都有这样的相等关系呢？对于任意的函数y=f(x)，在某一点处的导数与切线有什么联系？

生13：对于函数y=f(x)上一点P0(x0,f(x0))，切线斜率

函数y=f(x)在P0(x0,f(x0))处切线的斜率就是f′(x0).

师：这就是导数的几何意义！我们可以看到，越靠近点P0(x0,f(x0))，这条切线就越靠近这个函数原来的图像.这给了我们一些启示——有时我们难以直接画出函数y=f(x)的图像，但是若可以求出f′(x)，则可以用这条切线来确定在这个点附近函数的变化趋势.

3 进一步的思考

选取数学史中笛卡尔圆法融入导数的几何意义教学，旨在通过“形”上圆的切线与一般曲线的切线是割线的极限位置建立联系，与“数”上计算的困难性对比，直接突破一般曲线切线的极限定义和学生固有的切线认知障碍.

3.1 融合数学史料教学，灵活渗透数学文化

值得强调的是，学生通过数学史的学习不仅能够承担历史责任感，而且能够产生对数学敏锐的理解与鉴赏.运用数学史知识进行切线概念教学，不仅能够帮助学生理解切线定义演变的来龙去脉，突破固有的切线定义，将学生的思维从静态到动态进行发展，更是能够通过3个不同阶段切线的概念，将数学概念的扩张化、一般化通过实例具体展现，从而渗透数学文化.

3.2 精选新颖史料讲解，润色课堂别样色彩

不应局限于历史，应着眼于思考与创新.现有的数学史融入导数几何意义教学的素材还有许多的“沧海遗珠”.以笛卡尔圆法为例，其蕴涵的数学思想方法对学生来说是宝贵的核心素养培养资源，但是其涉及的高等数学知识难以真正落实和下放到高中数学教学中.教师在加强理解的基础上，可以对此精心设计，通过类比学生已有的知识，以讲授的形式带领学生进行体验，增添教学趣味，润色课堂，充分挖掘其育人价值.

3.3 巧设笛卡尔圆突破，肯定切线极限定义

学生在初中阶段接触过圆的切线的定义，但这并不适用于高中阶段一般的曲线.为了让学生感受到用“割线的极限位置”来定义切线的合理性与简洁性，笔者精心设置了笛卡尔圆法来进行突破.首先，笛卡尔圆法确定切线的过程与学生初中已经学过的圆的切线紧密相连.其次，笛卡尔圆法从“形”上鲜明地给学生带来了直观感受——切线的位置是容易确定的.通过笛卡尔圆法从代数角度确定切线斜率上的困难，很容易地引出了寻求更好定义的疑问，即现有教材定义的合理性.最后，通过笛卡尔圆法与教材方法的等价定义论述，计算切线斜率的难度对比，自然地突出了现有切线定义的简洁性，让学生对切线的极限定义方式具有一个对比的认识，突破切线的表象定义.