从课程标准变化谈尺规作图命题策略的转变

陈少毅

(宁德市教师进修学院，福建 宁德 352101)

尺规作图是数学文化中一颗璀璨的明珠，承载着几何直观和推理能力培养、数学操作性活动经验积累的功能，在初中几何教学中有着重要的地位.相较于过去的两版课程标准，《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《新课标》)强化了尺规作图的教学价值，提出要“通过尺规作图等直观操作的方法，理解平面图形的性质与关系”.为引导教师落实这个教学目标，具有教学指挥棒意义的各级考试应设计关注核心素养考查的试题，引领教师关注课标变化，以实现对尺规作图教学定位的转变.下面笔者结合多年的命题实践，谈谈尺规作图的命题策略.

策略1在形式性尺规作图中增加理性思考，实现命题功能转化.

一段时间以来，由于受《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《旧课标》)的影响，中考与阶段性考试中都鲜有尺规作图解答题，为了知识覆盖面的需要，很多地方会在选择题或填空题中渗透尺规作图的考查，或呈现作图痕迹让学生判断是哪一种基本作图，或以叙述作图步骤的形式传达已知条件.这样形式性呈现的尺规作图考查，一般指向于对基本作图的简单识记，并没有太多的理性价值.实际上在选填题中考查尺规作图，也可以进行逻辑推理，将思维引向深度.

例1点A，B在直线l的同侧，若要用尺规在直线l上确定一点P，使得AP+BP最短，则下列作图正确的是

( )

A. B. C. D.

(2016学年福建省宁德市初二第二学期数学期末考试第10题)

本例是一道综合性很强的选择题，它虽然没有让学生进行作图操作，但要学生通过作图痕迹判断所作的图形及其对应的性质.更重要的是，还要通过图形性质推断是否满足题干中的作图要求“AP+BP最短”，顺利完成判断不仅要会识别痕迹，还要有丰富的几何知识和较强的推理能力，能契合《新课标》的教学目标定位.

指向理性思考的形式性尺规作图的试题设计，除了让学生判断所作图形是否符合规定条件外，也可以从尺规作图原理解释的角度进行设计，让学生运用学过的几何知识阐释作图过程的合理性；还可以用作图的形式呈现图形的部分条件，让学生判断属于哪一种图形，以不同的视角重新认识图形，考查图形的判定条件.

图1

①到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；

②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

③两点之间，线段最短；

④两点确定一条直线.

其中能用来说明CD是AB的垂直平分线的是：________.

(2013学年福建省宁德市初三数学期末考试第6题)

本例以作线段的垂直平分线为背景，考查学生对作图依据的了解情况，是对《旧课标》提出的“了解作图的道理”这一教学目标的呼应.考虑到学生对标准的基本作图比较熟悉，试题设计了上下不对称的作图方法，既向学生展示了尺规作图方法的多样性，也避免了对知识的简单记忆，既考查了数学的严谨性，又考查了思维的灵活性.

策略2在程序性尺规作图之后增加证明题，对接推理能力考查.

在《新课标》未公布之前，各地的尺规作图试题基本上属于程序性作图，即按照试题要求完成基本作图或课标规定的几种作图.这些作图由于流程清晰、模式固化，对多数学生而言是驾轻就熟，缺少思维的含量.为改变尺规作图机械刻板的形象，命题者往往在尺规作图后增加图形证明或几何求值问题，将几何直观与逻辑推理相结合，以弥补作图问题中推理能力考查不足的状况.

例3如图2，已知△ABC，点P为BC上一点.

图2

1)尺规作图：作直线EF，使得点A与点P关于直线EF对称，直线EF交直线AC于点E，交直线AB于点F(保留作图痕迹，不写作法)；

2)在第1)小题的条件下，联结PE，AP，若AP平分∠BAC，证明：PE=AF.

(2019学年福建省宁德市初一第二学期数学期末考试第21题)

本例以作两点的对称轴为背景，考查学生对“作线段的垂直平分线”这个基本作图的掌握情况.在达成尺规作图的考查目标后，又加入角平分线的元素，将北师版《数学》七年级下册第五单元中两个重要的定理进行了串联，有机地整合了文字与图形、操作与推理，既有效利用了有限的试题空间，也为教师如何在日常生活中融合模块知识进行教学提供了示范.

作图后再证明试题的设计，一般是先找到一个含有垂直、中点或角平分线元素的图形，在此基础上设计好证明或计算的主体结构，然后隐去图形中上述元素的图形直观，要求学生以尺规作图的形式补全图形.为了不使尺规作图部分过于程序化，命题时还可以对基本作图进行适当的修饰，如将作一个角的角平分线表述为在某直线上找到一点，使得该点到这个角两边的距离相等，让作图增添一些推理的成分，以增加试题的新颖度.

策略3把推理性尺规作图作为考查的重点，强化理性思维培养.

推理性尺规作图，是指借助几何推理设计作图方案，作出满足给定条件的目标图形的一种尺规作图形式.有别于基本作图等程序性作图，这种作图没有明确的作图指令和作图步骤，而是要考生分析目标图形的特征，找寻到图形性质与已知条件能够用基本作图关联的结合点，从而设计出作图方案和步骤.由于推理性尺规作图既能够考查学生的动手实践能力，又能把学生的思维状态用图形直观地呈现出来，很好地体现了用直观操作探索图形性质的课标理念，因此在近几年各地的中考试题中频频现身，是考查学生推理能力和思维水平高低的一大法宝.

例4如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，正方形DECF的3个顶点D，E，F分别落在边AB，AC，BC上.

图3

1)用尺规作出正方形DECF；

2)若AC=4，BC=3，求正方形DECF的边长.

(2020年福建省宁德市数学质检试题第20题)

本例将尺规作图的考查与正方形的判定与性质有机地融合.正方形判定条件的探索与确定成为尺规作图的前提，尺规作图后的图形又为后续求值创造了直观感知.由于没有明确的作图方向，解决这类问题的通用方法是先作出目标图形的草图，通过对目标图形性质的挖掘，寻找尺规解决问题的关键点，最后从关键点出发完成其他作图.本例就是先画出满足条件的正方形草图DECF，然后结合性质逐一分析点D，E，F中哪一个点可以用基本作图确定，最后由正方形对角线CD与∠ACB的角平分线重合，得出顶点D是作图的关键点，从而确定作图方案.

设计推理性尺规作图，要从图形性质的本质上进行挖掘，把推理作为试题设计的亮点.由于尺规作图后的图形往往成为作图后续解答的条件，因此要设计出一道能自然衔接操作与推理的尺规作图实属不易.在实际命题中，我们不妨选择一些比较经典的几何图形，从中剥离出一些图形对称或线段相等的成分，设计成作图问题.当然这里的作图工具，可以是尺规，也可以是限定条件的其他工具，只要问题需要通过几何直观与逻辑推理加以解决即可.

例如，对于如图4所示的平行四边形，原题是“EG经过对角线的交点O，且DH=BF，求证：四边形EFGH是平行四边形”.本题构图的核心是利用平行四边形的中心对称性，把握了这个本质特征，我们就可以给图形附加新的条件使它成为矩形、菱形，甚至还可以思考原平行四边形在满足什么样的条件下，四边形EFGH有可能成为正方形.如果我们把刚才的推理过程中的条件用操作的形式呈现，就能设计出如例5、例6的尺规作图题.

图4 图5

例5如图5，已知矩形ABCD，E是AB上一点.利用尺规作一个特殊的平行四边形EFGH，使得点F，G，H分别在BC，CD，AD上(提示：①保留作图痕迹，不写作法；②只需作出一种情况即可).

(2018年福建省宁德市质检数学试题第21题)

例6如图6，在ABCD中，E是边AB边上一点，请用无刻度的直尺在CD边上确定点F，使得∠AFC=∠AEC.

图6

(2017学年福建省宁德市初二第二学期数学期末考试第22题)

策略4对综合性尺规作图进行创新性设计，促进核心素养形成.

与《旧课标》一样，《新课标》仍然重视学生综合运用知识分析问题、解决问题的能力，提倡能运用几何直观、逻辑推理等方法解决问题，能在问题解决的过程中进行反思，形成批判性思维和创新意识.尺规作图因其在思维与实践、直观与逻辑之间能自然衔接，在学生发散性思维与创新性思维的培养和在实践能力的形成与活动经验的积累上有着天然的优势.因此命题者可以依托尺规作图，创新性地设计一些综合性、操作性的试题，让学生运用几何图形性质，借助数学活动经验，通过直观联想、大胆假设、严密推理寻求问题的解决，以考查学生的综合运用能力，促进数学核心素养的形成.

例7我们把有一组邻边相等、一组对边平行但不相等的四边形称作“准菱形”.

1)证明“准菱形”性质：“准菱形”的一条对角线平分一个内角.

2)已知在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点D，E分别在边BC，AC上，且四边形ABDE为“准菱形”.请在给出的△ABC(如图7)中作出3种不一样的“准菱形”ABDE，并写出所作图形中DE的长(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法).

图7

(2016年福建省宁德市质检数学试题第25题)

本题将新定义问题与操作性问题结合在一起，释放出的导向意义不言而喻，即要引导教师重视数学的阅读与理解，重视综合与实践的教学与考查.第1)小题考查学生完整证明几何命题的能力，即要将文字命题转化成图形表示和几何符号命题，对学生的几何直观、概念理解和推理能力有较高的要求；第2)小题是在概念与性质理解基础上的作图与计算，由于图形的不确定性，因此问题具有一定的开放性，指向于推理能力、运算能力、应用意识、创新意识等核心素养的考查.

综合性尺规作图进行创新性试题的背景选择，不仅指向于数学内部整合，更要着眼于解决实际问题，或解决跨学科融合的问题，以考查学生学以致用的意识和综合实践能力.

例8李大爷承包了一个四边形鱼塘，鱼塘4个角的顶点A，B，C，D上各有一棵大树.由于养殖效益较好，李大爷想把原来的鱼塘扩建，扩建后的鱼塘仍然是一个四边形，但受政策影响，4棵大树要原地保留，于是只好安排在新建鱼塘的各边上，图8是原鱼塘的示意图.对于新扩建的四边形鱼塘，李大爷有3种设计方案：

图8

方案1新鱼塘是一个任意的矩形；

方案2新鱼塘是一个面积是原来两倍的平行四边形；

方案3新鱼塘是一个面积是原来两倍的菱形.

请你选择其中一种方案，用尺规作图的方法帮助李大爷在图8的基础上作出新四边形鱼塘的示意图.

特别提醒：由于3种方案的作图难度逐步加大，完成作图的得分也随着难度增加而增加，选择条件方案1,2,3作图的满分分别为6分、8分和10分，请同学们根据自己的学习情况选择适当的方案进行作图.

(2022年福建省宁德市数学模拟卷第22题)

本题脱胎于一道中考试题，但又做了实际性改造和创新性设计.问题以扩建鱼塘为背景，提出3个由易到难的作图方案供学生选择，让不同层次的学生都有发挥的可能，让他们在数学上得到不同的发展.实际情景的综合性尺规作图问题，背景的选取很重要：一方面要符合生产生活实际，另一方面要便于考生抽象成数学模型，能用学过的数学知识加以解决，实现用数学的语言表达现实问题、用数学的思维解决现实问题的课程目标.

命题无止境，一纸意难平.值此《新课标》颁布之际，把几年的尺规作图心得与大家分享，旨在引起广大初中数学命题人员的共鸣，关注《新课标》对尺规作图教学意义的新定位，在尺规作图命制中多设置一些理性思维的元素，引领一线教师重视尺规作图在探索几何图形性质上的作用，让尺规作图这朵思维之花绽放新的光彩.