深度探究育思维 追根溯源促素养——以一道期末试题的解法与背景探究为例

廖爱国

(云和中学，浙江 云和 323600)

数学思维能力，是指人们能够用数学的观点去提出问题、分析问题和解决问题的能力，它是学生数学学习的关键.教师通过研究新教材、设计教学方法、精选课后作业及研究试题命制，从而落实学生数学思维能力的培育，促进学生六大数学核心素养的提升.在新一轮高考改革中，面对新教材(2019年人教A版普通高中《数学》)，高中数学教师面临着巨大的挑战，新教材的编写处处渗透着新课标的育人理念，值得每位教师在教学中细细体会，真正地把教材用好，避免在教学中“穿新鞋，走老路”.再则，浙江省将在2023年的高考中使用全国卷，认真研究数学高考全国卷，把握好高考命题方向至关重要！

下面笔者通过对一道浙江省丽水市高二数学期末试题的探究，分享自己对提升学生数学思维能力的一些想法.

1 探析解法，双重视角培育思维

1.1 试题呈现

图1

1)求实数m的值；

2)求证：点Q是线段MN的中点；

3)求四边形OQMR面积的最大值.

笔者有幸参加了丽水市2021学年高二数学期末试题的命制工作.本题为试卷的最后一道解答题，是解析几何中有关直线与椭圆位置关系的综合题，考查了学生转化、逻辑推理、运算求解能力.试题背景丰富，起点低,坡度缓,解法多样，能很好地区分出学生不同的数学思维水平.本题全市去零平均分为3.78分，难度系数为0.27，学生答题情况不尽如人意，充分反映了学生在知识学习中的漏洞.

1.2 解法探究

视角1韦达定理结合面积公式.

易知m=3,下面分析第2)和第3)小题.

2)证法1若直线MN的斜率不存在，则由椭圆的对称性可知点Q必为线段MN的中点.若直线MN的斜率存在(设斜率为k)，则直线MN的方程为y=kx+b，点M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0).

(1+2k2)x2+4kbx+2b2-6t=0.

(1)

因为直线MN与椭圆E2相切，所以由韦达定理得

由Δ=0，得

3t(2k2+1)=b2.

在式(1)中，令t=1，得

从而

即点Q是线段MN的中点.

3)解法1若直线MN的斜率不存在，则直线MN的方程为

若直线MN的斜率存在(设斜率为k)，则

结合3t(2k2+1)=b2，得

由上可知△MON的面积与直线MN的斜率无关，因此S△MOP=S△MON.而Q,R分别为MN,MP的中点,故

视角2椭圆仿射变换.

图2

从而

即点Q是线段MN的中点.

从而

评注本题涉及直线与椭圆相交、相切及四边形面积问题.视角1按照“设、联、消、韦、面积公式”的常规思路求解，充分体现了解析几何用坐标法解决几何问题的核心思想，求解思路清晰，但有一定的运算量，对四边形面积的合理转化也是本题的难点.视角2借助椭圆仿射变换，化“椭”为“圆”，利用圆的性质求解，降低了计算难度，但是对椭圆仿射变换的性质还是需要先证后用，两个视角给不同数学思维水平的学生都有发挥的空间.

2 试题还原，命题点滴提升能力

2.1 试题初稿

著名数学家华罗庚曾说：“命题比解题难，命题要测得出水平，测得出能力.”[1]因此，题目需如玉石般经历千雕万琢方能成就好题，本道期末试题的命制也是几经修改、精心打磨的.下面选取命题时的其中一稿与读者分享.

1)求实数m的值.

2)求△OMN面积的最大值.

3)如图3，椭圆E2的两条互相垂直的动切线l1，l2交于点P.记点P的轨迹为C，曲线C的切线l3与椭圆E1总有两个不同的交点A,B，切点为T，若|TA|·|TB|为定值，求椭圆E2的方程.

图3

2.2 解法探究

下面仅分析第3)小题.

解法1当切线l1，l2的斜率都存在时，设过点P(x0,y0)的椭圆E2的切线方程为

y-y0=k(x-x0).

(1+2k2)x2+4k(y-kx0)x+2(y0-kx0)2-6t=0，

由Δ=0，得

因此，动切线l1，l2的斜率k1,k2是此方程的两个根，故

即

故点P的轨迹C的方程为

x2+y2=9t(其中0

①当切线l3的斜率不存在时，

②当切线l3的斜率为0时,

|TA|·|TB|=6-18t.

下面只需证明当切线l3的斜率存在且不为0时，恒有|TA|·|TB|=2成立.

③当切线l3的斜率存在且不为0时,设切线l3：y=kx+b，点T(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),由相切得

即

b2=2(1+k2).

(1+2k2)x2+4kbx+2b2-6=0，

从而 |TA|·|TB|=(1+k2)|x0-x1|·|x0-x2|

|TA|·|TB|=2=|TO|2.

为此，要证明情形③中的|TA|·|TB|=2恒成立有以下解法：

=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2

得

|TA|·|TB|=|TO|2=2.

下同解法1.

评注本题是一道直线与椭圆、圆位置关系的综合问题，考查了学生的数学运算与逻辑推理素养，涉及解析几何的分类讨论、同构式等思想.3个小题层层递进，能较好地考查学生的数学思维能力.命题时，总体感觉本题计算量过大，涉及结论性的内容较多，试题结构不够漂亮，为此在后面修改时，既降低了题目的难度，又力求表述更加简洁.

3 背景溯源，高观点下促进素养

罗增儒教授说过：“数学学习中真正发生数学的地方都无一例外地充满着数学解题活动.”至此，虽然我们已经完成了对例1与例2的解法探究，但是解题活动仍然在继续.对试题背景溯源，真正明白命题者的出题背景与命制意图，才能进一步拓宽我们的视野，高观点下思考问题，进而指导我们更好地为教学服务！

试题命制的背景之一为蒙日圆，例2第3)小题中点的轨迹即为蒙日圆，它交汇了椭圆、切线、圆等重点内容，是命题者的重要素材.蒙日圆又能延伸出许多重要的性质和结论.

相似椭圆是例1与例2的另一重要背景，例1中第2)和第3)小题正是相似椭圆的两个重要性质.而相似椭圆在2015年山东省数学高考理科卷中也出现过，与相似三角形类似，若两个椭圆的长轴与短轴对应成比例，则称两个椭圆相似[2].根据定义可以得到相似椭圆有如下优美性质：

2)过椭圆C1上一点P引椭圆C2的两条切线PA,PB，分别交C1于点A,B，切点分别为M,N，则直线OP平分椭圆C2的弦MN;

以上定理1与性质1的证明不再赘述，留给读者思考.

4 基于学生数学思维能力培育的探究启示

数学是思维的学科，在《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》中明确提出：要发展学生的数学思维能力.而学生的数学思维能力并不是一朝一夕养成的，它需要数学教师在日常教学中慢慢渗透、耐心培养，通过对学生数学思维能力的培育，促进学生数学核心素养的提升.经历了前面的试题命制与探究的整个过程，笔者有以下几点启示：

1)重视三基，落实通法，夯实学生数学思维的基础性.

学生扎实掌握数学的基础知识、基本技能，领悟数学的基本思想方法是解决数学问题的核心.纵观整个探究过程，虽然问题解决不乏好的方法，但是其最根本的方法始终围绕着解析几何的本质，即用代数方法研究几何问题[3].在教学中，我们应更加重视学生对基本概念的理解和基本方法的训练，抓常规、重落实，打好培养学生数学思维的基础性.

2)勤于探究，拓宽视野，助力学生数学思维的发散性.

“教而不研则浅，研而不教则空”.作为学生数学学习的引路人，教师只有不断地学习与积累，才能成就自身更扎实的专业素养，特别是对一些好的试题，它是一个命题者甚至是整个命题团队的智慧结晶，更加值得我们学习.通过试题研究，挖掘试题的本质，看透其数学背景，我们才能在高观点的指引下，助力学生培育数学发散思维，落实数学核心素养.

3)激发兴趣，培养意志，培育学生数学思维的坚韧性.

一题一世界，数学中的难题往往都是一个个小题组成的，由浅入深，因此学生在解题时，要树立解题信心，遇到思维与运算困难，要有坚定的意志力.教师在教学中不仅需要传授知识与技巧，更要多采用启发式教学，激发学生的学习兴趣，并注重对学生数学思维品质的培养.