联想拓思路 模型助求解——对2022年全国数学新高考Ⅰ卷第18题的解法探究与思考

周 宁

(福建师范大学附属福清德旺中学,福建 福清 350300)

在数学解题活动中，要能够从题目所给条件的结构联想，与已学的知识或公式之间建立联系，找到求解思路以及拓展解题思路.下面笔者通过2022年全国数学新高考Ⅰ卷第18题谈谈如何联想、构造模型，对问题进行多种解法的探析，并对问题做进一步的思考，与同仁交流.

1 试题呈现

(2022年全国数学新高考Ⅰ卷第18题)

2 解法探究

2.1 对题设条件的探究

即

cosAcosB=sinB+sinAsinB,

亦即

cosAcosB-sinAsinB=sinB,

从而

cos(A+B)=sinB.

又A，B为△ABC的内角,且

故

即

评注探究1注意到题设恒等式左右两边角的差异，对等号右边sin 2B和cos 2B都应用了二倍角公式，实现了等号左右两边角A，B倍数的一致，进一步利用两角差的余弦公式及诱导公式得出角A与B的关系式.注意到角的差异及联想到二倍角公式是探究1的关键.

即

从而

于是

即

2.2 对结论“求的最小值”的探究

评注最值问题的代数求解思路可以分为两个方向：函数模型与不等式模型.在三角形中求解最值问题，若要利用函数模型求解,则应先确定以边为变量还是以角为变量.第2)小题要求解的是与边有关的最值问题，可以考虑以边作为变量，但是题设条件的等价转化是角A和B的关系式，于是利用正弦定理将边化为角，以角为变量更为合适，并进一步利用角之间的关系式，将多元转化为一元，用函数思想或不等式方法求得最值.

图1

即

2tanAtanB=1-tan2B，

从而

整理得

图2

设BD=CD=m，AD=n，则

从而

于是

图3

即

2tanAtanB=1-tan2B，

从而

3 深入思考

所以

因此，问题就转化为与直角三角形中某个锐角平分线与边的交点与斜边中点之间的距离与斜边长度的比值有关.若固定点A，B，则问题最终就是与点C的轨迹有关，也就是解法4的方程(1),即这道高考题的背景是将直角三角形沿着某个锐角的平分线切掉直角后的那部分剩下图形进行设问(如图4).

图4 图5

同时，根据解法4我们还可以得到以下结论：

结论1如图5，已知⊙O：x2+y2=r2，其中点A(-r,0)，B(r,0)，C是⊙O上的动点，∠ABC的平分线交AC于点D，则点D的轨迹方程为

(x+r)(x-r)2-(3r-x)y2=0.

通过GeoGebra软件作图，发现动点D的轨迹呈现一个很优美的“气球”图形.

4 结语

本题作为数学高考解答题，第2)小题难度比以往大得多，突出对思维品质的考查，要求考生具有较高的思维灵活性，具有灵活应用函数、不等式思想解决复杂问题的能力，对逻辑推理、直观想象素养提出较高的要求.这些思维和能力的考查都需要学生在平时复习时，不仅要关注知识的储备，更要重视知识结构的联系，建立思想方法的系统化，这样才能在创新的试题中联想相应的知识方法，以“不变的思想”应“万变的考题”，进而实现数学能力的提升.