构造方程解初中数学竞赛题

李雨

构造是一种重要的数学思维方法，它是创造力的较高表现形式，是各级各类数学竞赛的热点.在数学解题中应注意依据题目特征，类比相关知识，通过构造数学模型来促使问题的解决，从而培养思维的创造性.构造时，需跳出题外，高屋建瓴，方可遂愿.本文举例说明构造方程在求解几方面数学问题中的应用.

1 求代数式的值

例1 实数a，b，c满足a=2b+2，且ab+32c2+14=0，那么bca的值是.

解 由已知得

a+（-2b）=2，

a（-2b）=3c2+12，

所以a，-2b是方程x2-2x+3c2+12=0的两实根，

所以Δ=（-2）2-4（3c2+12）

=-43c2≥0，

所以c=0，

故bca=0.

例2 设x=33-52，那么代数式（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）=.

解 设x1=33-52，x2=-5-332，

则x1+x2=-5，

x1x2=-2.

于是x1，x2是方程x2+5x-2=0的两个实数根，

所以x2+5x=2.

所以 （x+1）（x+2）（x+3）（x+4）

=[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]

=（x2+5x+4）（x2+5x+6）

=48.

故（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）=48.

3 解方程（组）

例3 方程组（x2+3x）（x+y）=40，x2+4x+y=14的解为.

解 由x2+4x+y=14，得

（x2+3x）+（x+y）=14，

所以x2+3x和x+y是方程t2-14t+40=0的两个实数根，且解得两根为t1=4，t2=10.

所以由x2+3x=4，x+y=10

解得x=-4，y=14，x=1，y=9，

由x2+3x=10，x+y=4，

解得x=-5，y=9，x=2，y=2.

故方程组的解为

x=-5，y=9，x=-4，y=14，x=1，y=9，x=2，y=2.

3 求最值

例4 已知x，y，z为实数，且x+y+z=5，xy+yz+zx=3，试求z的最大值和最小值.

解 由x+y=5-z，

所以xy=3-z（x+y）

=3-z（5-z）

=z2-5z+3，

所以x，y是关于t的方程t2-（5-z）t+z2-5z+3=0的两个实根.

所以判别式Δ=（5-z）2-4（z2-5z+3）≥0，

即3z2-10z-13≤0，

所以（z+1）（3z-13）≤0，

解得-1≤z≤133.

故z的最大值为133，最小值为-1.

例5 若实数x，y满足x3+y3+14（x+y）=152，则x+y的最大值为.

解 由x3+y3+14（x+y）=152，可得

（x+y）（x2-xy+y2）+14（x+y）=152，

所以 （x+y）x2-xy+y2+14=152.①

令x+y=k，注意到

x2-xy+y2+14

=x-y22+34y2+14≥0，

所以x+y=k>0.

又因为x2-xy+y2+14

=（x+y）2-3xy+14，

故①式可得

k3-3xyk+14k=152，

所以xy=k3+14-1523k.

于是x，y可看作关于t的一元二次方程t2-kt+k3+14k-1523k=0的两根，

所以判别式Δ=（-k）2-4×k3+14k-1523k≥0，

化简，得k3+k-30≤0，

即（k-3）（k2+3k+10）≤0.

因为k2+3k+10=x+322+314>0，

所以k-3≤0，

所以k≤3.

又k>0，

所以0<k≤3.

故x+y的最大值为3.

4 求取值范围

例6 设△ABC的两边AC与BC之和为a，M是AB的中点，MC=MA=5，则a的取值范围是.

解 如图，设AC=x，BC=y，

则有x+y=a.

因为M是AB的中点，

且MC=MA=5，

所以△ABC是直角三角形，

且AB=10.

由勾股定理，得

x2+y2=102.

所以xy=（x+y）2-（x2+y2）2=a2-1002.

所以x，y是方程t2-at+a2-1002=0的两实根，

所以Δ=a2-2（a2-100）≥0a≤102.

又a=x+y>AB=10，

故a的取值范围是10<a≤102.

5 判断图形形状

例7 △ABC的三边a，b，c满足b+c=8，bc=a2-12a+52，试问△ABC是什么三角形（按边分类）？并证明你的结论.

解 △ABC是等腰三角形，证明如下：

因為b+c=8，

bc=a2-12a+52，

所以b，c是方程x2-8x+a2-12a+52=0的两个实数根，

所以判别式

Δ=（-8）2-4（a2-12a+52）

=64-4a2+48a-208

=-4（a2-12a+36）

=-4（a-6）2≥0，

所以（a-6）2≤0.

又因为（a-6）2≥0，

所以由“两边夹法则”得

（a-6）2=0，

即a=6.

所以b，c是方程x2-8x+16=0的两个相等实数根，

且b=c=4.

故△ABC是等腰三角形.

6 证明命题

例8 x，y，z都是实数，且x+y+z=a，x2+y2+z2=a22（a>0）.证明：x，y，z不能是负数或大于2a3的数，也不能同时相等.

证明 由x+y+z=a，得

y+z=a-x，①

两边平方，得

y2+z2+2yz=x2-2ax+a2，

所以y2+z2=x2-2ax+a2-2yz，

代入x2+y2+z2=a22，得

x2+x2-2ax+a2-2yz=a22，

即2yz=2x2-2ax+a22，

所以yz=x2-ax+a24.②

根据①②，构造关于t的一元二次方程

t2-（a-x）t+x2-ax+a24=0，

则y，z是该方程的两个实根.

由判别式Δ=（a-x）2-4x2-ax+a24≥0，

整理得3x2-2ax≤0，

所以x（3x-2a）≤0，

解得0≤x≤2a3.

同理0≤y≤2a3，

0≤z≤2a3.

所以x，y，z不能是負数或大于2a3的数.

假设x=y=z，则由x+y+z=a，得

x=y=z=a3，

所以x2=y2=z2=a29;

又由x2+y2+z2=a22，得x2=y2=z2=a26，两式矛盾，

所以x，y，z也不能同时相等.

故x，y，z不能是负数或大于2a3的数，也不能同时相等.