与等腰三角形相关的结论

刘顿

等腰三角形是一类特殊而又十分重要的三角形，它除了我们在课本中学习到的性质外，还有许多的特殊结论，这些结论在今后的学习与运用中都可以起到重要的作用，现就等腰三角形的常见结论简单归纳如下，供大家学习时参考！

1 等腰三角形底边的中线上一点到两腰的距离相等，这里的中线也可以改成顶角的平分线或底边上的高

例1 图1

已知如图1，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，P为AD上的任一点，PE⊥AB，PF⊥AC.

求证：PE=PF.

分析 依题意，由AB=AC，D为BC中点，利用等腰三角形的“三线合一”性质得到AD为顶角的平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到DE=DF.

证明 因为AB=AC，AD为BC边上的中线，

所以AD平分∠BAC，

因为PE⊥AB，PF⊥AC，

所以PE=PF.

说明 本题主要考查等腰三角形的性质的应用，关键是掌握等腰三角形的腰相等且底边上的两个角相等，及角平分线上的点到角两边的距离相等.

2 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半

例2 图2

已知如图2，△ABC是等腰锐角三角形，AB=AC，CD是腰AB上的高.求证：∠BCD=12∠A.

分析 依题意，可通过辅助线构建直角三角形来求解.如图，过点A作底边BC的垂线AE，垂足为E，那么∠EAB和∠DCB同为∠B的余角，因此这两角相等;根据等腰三角形三线合一的特点，可得出∠EAB是顶角的一半，由此可得出所求的结论.

证明 过点A作AE⊥BC于点E，

所以∠EAB+∠B=90°，

因为CD⊥AB，

所以∠DCB+∠B=90°，

所以∠DCB=∠EAB，

因为AB=AC，AE⊥BC，

所以∠EAB=∠BAC，

所以∠DCB=12∠BAC.

说明 此题主要考查学生对等腰三角形性质的理解及运用;作出辅助线是正确解答本题的关键.另外，在本题中无需考虑等腰三角形的顶角是锐角或直角或钝角.

3 等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高;等腰三角形底边延长上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高

例3 已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E，F，CG⊥AB于G，求证：CG=DE+DF.

分析 可依题意画出符合题意的图形，连接AD，由图形结合三角形的面积公式，利用等腰三角形的性质即可求解.

证明 如图4，因为ED⊥AB，

所以S△ABD=12AB·ED;

因为DF⊥AC，

所以S△ACD=12AC·DF;

因为CG⊥AB，

所以S△ABC=12AB·CG.

又因为AB=AC，

S△ABC=S△ABD+S△ACD，

所以12AB·CG=12AB·ED+12AC·DF，

所以CG=DE+DF.

说明 “等腰三角形底边延长上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高”同样可以利用三角形的面积关系，依照本题的证明方法求解.

4 以直角三角形的直角边为腰锐角顶点为顶点在形内分别作等腰三角形，所得公共角等于45°

例4 图5

如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E在边AB上，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数.

分析 依题意可由等腰三角形的性质得出∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，再利用三角形内角和定理进一步求出∠ACD+∠BCE=135°，进而求解.

解 （1）因為AD=AC，BC=BE，

所以∠ACD=∠ADC，

∠BCE=∠BEC，

所以∠ACD=12（180°-∠A），

∠BCE=12（180°-∠B），

因为∠A+∠B=90°，

所以∠ACD+∠BCE=180°-12（∠A+∠B）

=180°-45°=135°，

所以∠DCE=∠ACD+∠BCE-∠ACB

=135°-90°=45°.

说明 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，运用数形结合、整体思想是解题的关键.

5 等腰三角形一腰上的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半

例5 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点N，交BC的延长线于点M，∠A=40°.

（1）求∠NMB的大小.

（2）如果将（1）中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小.

（3）你认为存在什么样的规律？试用一句话说明.（请同学们自己画图）

（4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律的认识是否需要加以修改？

分析 （1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ABC的度数，又由AB的垂直平分线交AC于点N，交BC的延长线于点M，即可求得答案;

（2）由在△ABC中，AB=AC，∠A=70°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ABC的度数，又由AB的垂直平分线交AC于点N，交BC的延长线于点M，即可求得答案;

（3）由在△ABC中，AB=AC，根据等腰三角形的性质，即可用∠A表示出∠ABC，又由AB的垂直平分线交AC于点N，交BC的延长线于点M，即可求得答案.

（4）由以上证明方法可得答案.

解 （1）因为在△ABC中，

AB=AC，

∠A=40°，

所以∠ABC=∠ACB=70°，

因为AB的垂直平分线交AC于点N，交BC的延长线于点M，

所以MN⊥AB，

所以∠NMB=90°-∠ABC=20°.

（2）因为在△ABC中，

AB=AC，

∠A=70°，

所以∠ABC=∠ACB=55°，

因为AB的垂直平分线交AC于点N，交BC的延长线于点M，

所以MN⊥AB，

所以∠NMB=90°-∠ABC=35°.

（3）等腰三角形一腰上的中垂线与底边延长线所成夹角度数是顶角的一半，即

∠NMB=12∠A.

理由：如图6，因为在△ABC中，AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=（180°-∠A），因为AB的垂直平分线交AC于点N，交BC的延长线于点M，

所以MN⊥AB，

所以∠NMB=90°-∠ABC=12∠A.

（4）如图7，将（1）中的∠A改为钝角，（3）中猜想的结论结论仍然成立，不需要修改.因为在△ABC中，AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=12（180°-∠A），图7因为AB的垂直平分线交直线AC于点N，交BC于点M，

所以MN⊥AB，

所以∠NMB=90°-∠ABC

=12∠A.

说明：本题考查了等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质.难度虽不大，但要注意掌握数形结合思想的应用.