因式分解的巧用

刘贤华

因式分解是中学数学的重要内容，是进行代数恒等变形的重要工具，利用因式分解可以解决求值或一元二次方程等常见问题，除此之外，因式分解还有一些别样的应用.下面举例说明.

1 求值

例1 已知a2+14b2=2a-b-2，则3a-12b的值为（）

（A） 4.（B） 2.（C）-2.（D）-4.

分析 应先将已知等式变形为两组完全平方式的和等于0的形式，再将相关的式子因式分解，借助非负数的性质求出a，b的值，再将a，b的值代入求值.

解 将a2+14b2=2a-b-2变形为

a2-2a+1+14b2+b+1=0，

即（a-1）2+12b-12=0.

可得a-1=0，12b-1=0，

解得a=1，b=2，

则3a-12b=3×1-12×2=2.

故选（B）.

2 整除问题

例2 对于任何整数m，试判断：多项式（4m+5）2-9是否都能被8整除，并说明理由.

分析 将这个多项式分解因式，根据结果是否为8的倍数来进行说理.

解 能被8整除.

理由：（4m+5）2-9

=（4m+5+3）（4m+5-3）

=（4m+8）（4m+2）

=8（m+2）（2m+1）.

因为m是整数，m+2和2m+1都是随着m的变化而变化的整数，

所以该多项式能被8整除.

3 比较大小

例3 设a=8582-1，b=8562+1713，c=14292-11422，則a，b，c之间的大小关系是（用“<”连接）.

分析 借助平方差公式和两数和的平方公式，分别表示a，b，c的算式进行因式分解，通过比较相关的结果，从而得出a，b，c之间的大小关系.

解 因为a=8582-1

=（858+1）×（858-1）

=859×857，

b=8562+1713=8562+2×856+1

=（856+1）2=8572，

c=14292-11422=（1429+1142）×（1429-1142）

=2571×287=857×3×287

=857×861.

而8572<859×857<857×861，

所以b

4 判断三角形的形状

例4 已知a，b，c是△ABC的三条边，且满足a2+bc=b2+ac，则△ABC是三角形.

分析 将已知的等式变形，使得等式左边是一个多项式，右边等于0，再将等式左边的多项式分解因式.

解 将a2+bc=b2+ac变形为a2-b2+bc-a=0.

因为a，b，c是△ABC的三边，

所以a+b-c≠0.

因为a2-b2+bc-ac

=（a+b）（a-b）-c（a-b）

=（a-b）（a+b-c）

=0，

所以a-b=0，

所以a=b，

所以△ABC是等腰三角形.