解题中的遗漏现象导致错解透析

楚卫华

【摘要】文章从初中数学学科四个主要课程领域出发，分析各领域学生解题中容易发生的遗漏现象.对忽略特殊值导致遗漏、忽略隐含条件导致遗漏、基本概念理解不到位产生思维遗漏以及情况分析不周全导致遗漏等情况通过典型的错解题目进行纠正和分析，希望通过错题剖析，帮助学生在数学学习中养成思维训练的自觉，减少解题错误，提升数学学科的学习能力.

【关键词】初中数学;遗漏现象;错解透析

进入初中，数学学科的难度有了很大的提高，解题过程中会出现各种遗漏导致解题错误的现象.这些遗漏可能是解题中的疏忽、概念理解不到位、遗漏已知条件、隐含条件被忽视、情况分析讨论不周全等造成.

初中數学由四个主要课程领域，分别是数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践，在训练学生运算能力、分析能力的基础上，关注培养学生对数的感觉、对符号的理解、建立空间和几何的直观概念以及数据分析和模型思想.每个数学领域都有因思考遗漏引起的典型错误，数与代数容易出现忽视特殊情况;图形与几何中的隐含条件经常被忽略;统计与概率有基本概念不清晰造成的错误;综合与实践常常出现情况分析不周全的疏漏.本文针对一些常见的遗漏错解，以典型题目为例进行深入剖析，帮助学生理清思路，总结方法，提升初中数据学科的解题和思维能力.

1 忽略特殊值而导致的遗漏

初中学生进入代数学习后，经常对表示数的字母在题目中的特殊性考虑不充分.

例如 关于x的方程2kx2+（8k+1）x=-8k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是多少？

错解 因为方程有两个不相等实数根，所以方程判别式Δ>0;

方程整理得 2kx2+（8k+1）x+8k=0;

Δ=（8k+1）2-4×2k×8k =16k+1>0;

解得 k>-116;

纠正 因为k为一元二次方程二次项的系数，所以 k≠0;

解得 k>-116且k≠0.

分析 学生的解题思路总体来讲是正确的，题目是利用一元二次方程的判别式的性质解题，学生清楚地抓住了判断式的性质，大于零两个不等实根，等于零两个相等实根，小于零没有实根.但学生忽略了系数k的特殊性.我们知道利用一元二次方程判别式解题的前提是要保证方程是一元二次方程，k正好是二次项的系数，要保证解题的先决条件，必须使k不为零.

导致这种现象发生可能是学生粗心，因为只要提到题目中字母的特殊性他们就会恍然大悟，但归根结底还是学生对关键知识点没有主动思考，思维不周全造成.

2 题目的隐含条件被忽略

在图形与几何学习中，图形中隐含的条件和性质容易被学生忽略.

例如 P是圆C内一点，圆C的半径为15，P点到圆心C的距离为9，求通过P点，长度是整数的弦的条数是几条？

错解 因为过P点最长弦长为直径长30，最短弦长是与过P点的半径垂直弦的长，其长度利用三角形勾股定理计算可得24;

24与30之间共有整数6个，分别是24、25、26、27、28、29、30;

所以 过P点长度是整数的弦的条数是6条.

纠正 根据圆的对称性可知，长度为整数的弦共有6×2=12条.

分析 学生能认识到过P点的最长弦长为直径，最短弦长与过P点的半径（或直径）相垂直，说明对弦长的理解是清楚的;但是却忽略了圆的中心对称特性，以过P的直径为分界，过P点的弦可以分别向圆的左右两侧半圆延伸，因此题目要求的数值为整数的弦的数量应该为12.

在初中数学的各课程领域，此类隐含条件遗漏的情况时有发生，而图形与几何中尤其容易出现此类忽略图形隐含条件或性质的错误.例如涉及圆的题目忽略圆的对称性，三角形中容易忽略隐含的边地平行、垂直、相等之类的特征，角的相等、互余、互补的隐含特性也容易被忽略.导致这类错误的原因在于思维过于集中在题目显性条件上，没有关注题目中的隐含条件和前提.要避免这类遗漏需要学生在日常的练习中主动思考，训练自己见一想三的能力，强化分析题目隐含条件和性质的思维自觉.

3 基本概念不清晰造成的思维遗漏

基本概念不清晰、基本定义模糊，造成思维遗漏，产生解题错误是初中学生比较容易犯的错误.概率与统计是初中数学课程领域的重要分支，概率与统计的学习尤其需要理解基本概念，基本概念不清楚，则比较容易出现解题遗漏.

例如 一项“过关游戏”规定：在第n关要掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于3n4，则算过关，否则不算过关，现有下列说法：

1）过第一关是必然事件;

2）过第二关的概率是3536;

3）可以过第四关;

4）过第五关的概率大于零.

问：其中正确说法的个数为几个？

错解1）第一关要求掷一次点数大于34，骰子的最小点数为1，所以是必然事件;

2）第二关要求掷两次，点数和大于94，两次骰子点数组合，只有（1，1）配对的情况不符合要求，所以36种组合中有35种情况都过关，因此概率是3536;

3）第四关要求掷四次，点数和大于814，四次骰子点数组合，大于等于21点都是符合要求的，例如（6，6，6，6），所以第四关总是可以过关的;

4）概率是一个非负数，一般来讲概率是一个不大于1的真分数，即使非常小，也可能发生，所以过第五关的概率大于零.

综上所述：题目中正确说法的个数为4个.

纠正 第五关要求掷五次，点数和大于2434，五次骰子点数组合，大于等于81点都是符合要求的，但骰子最大点数为6，五次点数和不会超过30，因此过第五关的概率为0.

因此，题目中正确说法的个数为3个，分别是1）、2）、3）项.

分析 概率是某事件发生的所有可能组合与所有可能组合之比.所有可能组合是全集，某事件发生的所有可能组合是子集，这个子集也可能是空集，这是初中学生比较难理解的概念.概率是通过计算得到的，首先要把事件进行清楚的定义，搞清楚全部组合中哪一部分是事件能产生的组合.本题的关键就是要逐一定义事件，抓住要从全集中获取的子集的特征，如果想当然认为概率即使非常小也总会发生，凭感觉或常识去解决概率的问题，通常容易犯错误.

4 情况分析不周全造成的遗漏

初中数学中，由于绝对值、方根等概念的引入，题目中常常会出现多种情况，需要进行讨论，一旦情况分析不周全就会造成遗漏，引起解题错误.

例如 求方程|x2-1|=（4-23）（x+2）的解.

错解 原方程化为： x2 -（4-23）x+43-9=0;

解得 x1=4-33，x2=3.

纠正 1）当x2≥1时，绝对值大于0，原方程化为x2 -（4-23）x+43-9=0;

解得 x1=4-33，x2=3;

因为x2≥1，x≤-1或x≥1，所以x1、x2均滿足要求;

2）当x2<1时，绝对值小于0，原方程化为x2 +（4-23）x+7-43=0，

解得 x3=x4=3-2;

因为x2<1，-1

分析 学生在解绝对值方程时，没有对绝对值进行讨论而直接打开绝对值符号，这是刚接触绝对值计算时常见的错误.分情况讨论是初中数学中不可避免要遇到的解题形式，绝对值讨论只是其中最简单的部分，在综合与实践课程领域，分情况讨论更是非常多见，如函数组合中的交点、距离、路程都可能在不同方向、不同轨迹中存在多个解.学生在学习中要从绝对值应用开始，要克服多情况讨论的困难，强化自己的思维广度和深度，为综合与实践课程打下坚实的基础.

参考文献：

[1] 孙学东.对初中数学解题研究的认识及解题型教学论文撰写的实践[J/OL]. 中学数学教学参考旬刊，2011.

[2] 张可法，周继军，资斌.初中数学解题研究[J/OL].湖南师范大学出版社，1999.

[3] 王玲，陈伟.转化思想在初中数学解题中的应用与实践[J/OL].数理化解题研究.初中版， 2013.