运用一个恒等式简解竞赛题

于先金 明海军

当a≥0时，有a=a2.这是数学中一个简單的恒等式，运用这个恒等式，对一个代数式“先平方再开方”，则可使一些竞赛题的解答显得简洁又漂亮.

1 化简求值，一步到位

例1 4+7-4-7=（）

（A） 1.（B） 2.（C） 3.（D） 2.

（第23届“希望杯”初二2试）

解 4+7-4-7

=（4+7-4-7）2

=4+7-2（4+7）（4-7）+4-7

=8-216-7

=8-6=2.

故选（B）.

2 比较大小，一目了然

例2 设A=6+2，B=3+5，则A，B中比较小的是.

（第5届“希望杯”初二1试）

解 因为

A=6+2=（6+2）2=8+212，

B=3+5=（3+5）2=8+215，

故A，B中比较小的是A.

3 代数式化简，简捷明快

例3 当x>2时，化简代数式x+2x-1+x-2x-1，得.

（第19届“希望杯”初二2试）

解 x+2x-1+x-2x-1

=（x+2x-1+x-2x-1）2

=2x+2（x+2x-1）（x-2x-1）

=2x+2x2-4（x-1）

=2x+2（x-2）2

=2x+2（x-2）

=2x-1.

所以原代数式化简得2x-1.

4 求整数或小数部分，注意概念适当放缩

例4 将x的整数部分记为[x]，x的小数部分记为{x}，易知x=[x]+{x}（0<{x}<1）.若x=3-5-3+5，那么[x]=（）

（A）-2.（B）-1.（C） 0.（D） 1.

（第20届“希望杯”初二2试）

解 x=3-5-3+5

=-（3-5-3+5）2

=-6-2（3-5）（3+5）

=-6-29-5

=-2，

所以[x]=-2.

故选（A）.

例5 无理数2+3的小数部分是（）

（A）2+3-2. （B）4-2-3.

（C）2+3-3.（D）[2+3]-2.

（第28届“希望杯”初三1试）

解 因为 2+3

=（2+3）2

=5+26<5+2×3

=11<4，

2+3=5+26>5+2×2=3，

所以3<2+3<4，

故2+3的小数部分是2+3-3.

故选（C）.

5 求函数最值，利用函数性质

例6 已知-7≤x≤5，求函数y=5-x+x+7的最大值和最小值.

解 因为y=5-x+x+7

=（5-x）+（x+7）2

=12+2-x2-2x+35

=12+2-（x+1）2+36，

由-7≤x≤5，

所以当x=-1时，u=-（x+1）2+36取得最大值36;

当x=-7或5时，u=-（x+1）2+36取得最小值0.

故y的最大值为12+12=26，

最小值为12+0=23.

6 二次方程，利用韦达定理

例7 若x1，x2是方程x2+2x-2019=0的两个根，则|x1-x2|=.

解 由韦达定理，可得

x1+x2=-2，

x1x2=-2019.

所以 |x1-x2|

=（x1-x2）2

=（x1+x2）2-4x1x2

=（-2）2-4×（-2019）

=4505.

故|x1-x2|=4505.

7 证明不等式，注意条件适当放缩

例8 已知实数x，y满足|x|<1，|y|<1，证明：|x+y|+|x-y|<2.

证明 由对称性，不妨设|x|≤|y|，

则x2≤y2.

所以 |x+y|+|x-y|

=（|x+y|+|x-y|）2

=2x2+2y2+2|x2-y2|

=2x2+2y2-2（x2-y2）

=4y2

=2|y|<2.

所以|x+y|+|x-y|<2.

练习

1.8+63+8-63的值为（）

（A）32. （B）23.

（C）52.（D）25.

2.当1≤x≤2时，代数式x+2x-1-x-2x-1可以化简为（）

（A） 0.（B） 2.

（C）2x-1.（D）-2x-1.

3.设a为3+5-3-5的小数部分，b为6+33-6-33的小数部分，则2b-1a的值为（）

（A）6+2-1.（B）6-2+1.

（C）6-2-1.（D）6+2+1.

4.已知1≤x≤2，求函数y=x-1+2-x的最大值和最小值.

5.已知x>0.

求证：x+1x-x+1x+1≤2-3.

答案

1.（A）. 2.（C）.

3.（B）.4.2;1.

5.证明略.