运用逆向思维巧解数学问题

封回美

【摘要】逆向思维能够解放学生的思维方式，能够加强学生数学思维的广度与深度;灵活应用逆向思维有利于优化初中解题教学的质量与效率.因此，数学教师要从概念、公式、解题方式等多角度出发，指导学生从对立面发散思维，从求解倒推回已知条件，从而另辟蹊径，以逆向的思路来轻松解决难题，从最本质的角度提升学生的解题能力.

【关键词】逆向思维;解题能力;发散思维

多数初中生经过长时间系统化的数学学习，已经初步形成了自己固定的思维方式.而在数学解题中，这种一成不变的定式思维容易禁锢学生的解题灵感，使得数学解题思路复杂化.针对这种问题，教师要指导学生从对立面发散思维，从求解倒推回已知条件，从而另辟蹊径，以逆向的思路来轻松解决难题.由此可见，灵活应用逆向思维有利于优化初中解题教学的质量与效率，锻炼学生数学思维的深度与广度.

本文例举了利用逆向思维解题的典型例题，综合分析，提出了在初中数学解题教学中培养学生逆向思维的可行策略.

1 逆向思维在初中数学解题中的具体应用

相比传统的思维方式，逆向思维更能够激发学生的创造性思维，有利于打破僵化的解题模板，进而拓宽数学课程的边界，开辟全新的解题思路.学生利用逆向思维进行数学解题，能够将解题条件化隐为显，将数学问题化难为易，将解题思路化繁为简，从而高效提升数学解题的效率与准确性.逆向思维已经深入渗透着初中数学题的各个领域之中，发挥着不可替代的重要作用.本文从三角形相关问题、不等式和一次函数这三个知识点出发，简单分析利用逆向思維解题的典型例题.

1.1 利用逆向思维，巧解不等式

以不等式问题的解题教学为例，教师可以充分利用逆向思维，按照反设-归谬-结论的步骤，证明结论的可行性.

例如设x，y都是正数，且x+y>2，试用反证法证明1+x<2y和1+y<2x中，至少有一个成立.

证明 假设1+x<2y和1+y<2x都不成立，则有+x≥2y和1+y≥2x，

将两式相加得 2+（x+y）≥2（x+y），

所以x+y≤2，这与x+y>2矛盾，

所以1+x<2y和1+y<2x中至少有一个成立.

1.2 利用逆向思维，巧解三角形问题

在解决三角形相关问题的过程中，逆向思维能帮助学生更好地拓展思路，根据题目的求解与特点，来灵活巧妙地运用相关的定理与性质.教师可以以勾股定理逆定理这一教学内容为例，向学生分析逆向思维的具体应用.勾股定理逆定理从勾股定理的对立面进行思考，充分体现了逆向思维，帮助我们更灵活高效地判定直角三角形.

例如已知△ABC，三边长分别是a、b、c，a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1（n>0），求证△ABC是直角三角形.

证明 因为n>0，

所以2n2+2n+1>2n2+2n>2n+1，

即c>b>a，

又因为a2+b2=（2n+1）2+（2n2+2n）2

=4n4+8n3+8n2+4n+1，

c2=（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1，

所以a2+b2=c2 ，

根据勾股定理思维逆命题可得，△ABC是直角三角形.

1.3 利用逆向思维，巧解一次函数

一次函数知识点是初中数学课程的重难点.由于初中生尚未形成系统化的数学思维，难以灵活应用数学公式，因此多数学生难以深入掌握一次函数知识点，无法快速解答一次函数的相关问题.针对这个教学问题，教师便可以指导学生利用逆向思维，帮助学生深化对于一次函数知识的理解与掌握.

例如 以“当k>0时直线经过第一、三象限，由左到右递进上升;当k<0时，经过第二、四象限，由左到右下降”这一定义法则为例，教师可以指导学生先掌握该定义法则.再利用逆向思维，将其转换为“直线经过一、三象限时，由左到右上升，k>0;直线经过第二、四象限时，由左到右下降，k<0.”从而有效锻炼学生的逆向思维，帮助学生高效解题.

2 在初中数学解题教学中培养学生逆向思维的可行策略

2.1从基础概念出发，培养学生逆向思维

逆向思维的培养要细化到数学教学的各个环节之中.基础知识教学是初中数学课程的重要环节.教师在传授数学基础概念时，要深入分析知识点的内涵与外延.

对于部分具有互逆性、双面性的数学概念，教师可以采用“先正后逆”的教学方法，指导学生双向思考，深化学生对概念的理解与掌握.并打破学生的定式思维，培养学生从多角度思考的解题习惯.这不仅仅能够优化初中数学理论教学的质量，还能够锻炼学生思维的灵活性与广泛性，在本质上提升学生的数学学习能力.

例如 “相反数”这一教学内容，教师便可以从正反两个角度进行设问：“7的相反数是什么？”、“0.3的相反数是什么.”、“-4和什么互为相反数.”这能促进学生更全面地理解相反数的概念，从而熟练地求出一个已知数的相反数.

例如 一元二次方程这一知识点的教学过程中，教师便可以引导学生从正反两个角度来理解“根”的概念.教师要先找准教学切入点，从正向角度出发，分析基础概念：若x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，则ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0.进而引导学生利用逆向思维，从反向教学出发，分析基础概念：若ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，且x1≠x2，则x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根.比起传统的单向教学，“先正后逆”的策略能在日常的基础教学中循序渐进地培养学生的逆向思维，引导学生形成辩证思考的解题习惯，锻炼学生数学思维的系统性与全面性.

2.2从数学公式出发，培养学生逆向思维

在数学解题教学中数学公式发挥着至关重要的作用，是学生解决数学问题的必要工具.数学公式的内容是一成不变的，但数学公式的形式却是千变万化的.倘若学生懂得灵活变换公式，就能够快速找准破题点，高效解决数学难题.然而多数学生的公式运用能力有限，他们对于数学公式的掌握仅仅止于机械记忆，而没有正确认识公式的双向性，难以得心应手地运用公式，无法充分发挥数学公式在解题中的作用.

针对这个问题，教师便应该加强逆向指导，通过变式的手段来锻炼学生的逆向思维，帮助学生开展深层次的数学学习.

例如平方差公式的教學过程中，学生倘若只是死记硬背，将难以高效的运用.因此教师应该指导学生将公式a2-b2=（a+b）（a-b），转化为a2-b2= a2-ab+ab-b2，再消去-ab、ab两项.通过简单的逆向推导，使得抽象的公式变得一目了然，在巩固学生基础知识的同时，也培养了逆向思维.

例如 在正弦定理的教学过程中，教师可以先进行验证推导，得出正弦定理公式：asinA=bsinB=csinC= 2，r=D.帮助学生初步掌握正弦定理的内在规律.进而循循善诱，引导学生发散逆向思维，开展多维度的分析思考，要求学生思考正弦定理的变式形式.

最后，教师要鼓励学生积极发言，认真倾听学生的回答.进行梳理总结，列出正弦定理的所有变式形式;

1、a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC;

2、asinB=bsinA;bsinC=csinB;asinC=csinA;

3、a：b：c=sinA：sinB：sinC.

从而给予学生独立思考的机会，有效开拓学生的思路，帮助学生将所学知识吸收内化为自身能力.

2.3 从解题方法出发，锻炼学生逆向思维

在传统的填鸭式教育中数学解题教学普遍存在模板化的问题.这便严重导致多数学生的解题思路被模板所禁锢，缺乏创新与多样性.在解题过程中，学生常常因为思维的僵硬固化，而没有灵活运用逆向思维，使得解题效率低下.因此教师必须打破模板，传授给学生多元化的解题方法，指导学生正确应用逆向思维.

一是反证法.反证法是一种间接证法，其巧妙地应用了逆向思维，能够构建快捷高效的解题思路.反证法通过提出结论的对立面来制造矛盾，例如与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾.进而分析矛盾，证明结论的对立面的不可行性，从而来证明结论的可行性.教师要指导学生熟练掌握反证法，按照反设-归谬-结论的步骤，将其灵活应用至代数、立体几何、解析几何等等知识领域.

二是举反例法.在判断数学命题时，只要可以举出该命题的反例，便能证明该命题为假.教师可以指导学生通过文字、数据和图形这三个形式，举出简单、清晰、有力的反例，帮助学生认识数学知识的本质属性，引导学生辩证地思考数学问题.

三是倒推分析法.正向思维和逆向思维两者密不可分、相辅相成.教师应该指导学生先应用正向思维进行思考，进而在正向思维的基础上合理应用逆向思维.

例如 当学生应用正向思维解题遇到困难时，教师应该指导学生采取倒推分析法，从结论出发，分析充分条件，最后倒推至已知条件来反向证明结论.学生掌握了这三种解题方法，便能做到双管齐下，从正反两个角度出发，利用发散性思维与创造性思维，高效开展数学解题.进而充分锻炼自身数学思维的深刻性与条理性，循序渐进地培养自身的逆向思维.

2.4 从解题运算出发，锻炼学生逆向思维

运算是数学解题的关键步骤，其在极大程度上影响着学生的解题效率与解题准确性.而逆向思维被广泛应用至初中数学解题运算步骤之中.因此，教师要引导学生了解运算方式之间的互逆关系，帮助学生利用逆向思维，更加灵活高效地开展数学运算.

例如（1）已知∣a-2∣+（b-3）2=0，求代数式a2+3ab-b3的值.

（2）已知x2+x-1=0，求代数式2x3+4x2+3的值.

分析 （1）先应用非负数的知识，求出a、b后，再直接把a、b的值代入式子就可以求值了，这使用了直接代入的方法.（2）如果用同样的方法则很繁琐，如果用和（1）逆向的思维方法，考虑整体代入，先把已知变为x2+x=1，再把2x3+4x2+3作如下的变化逐步代入：2x3+4x2+3=2x3+2 x2+2 x2+3=2x（x2+x）+ 2 x2+3=2x+2 x2+3=2（x2+x）+3=5.这里在代入的方法上，一个是直接代入字母的数值，另一个是不求出x的值，而是求出x的代数式的值，这是互逆的两种思维方法.

除此之外，逆向思维还被广泛应用于加、减、乘、除、多项式乘法等等运算方法之中，其具有不可替代的解题优势.教师必须加强解题运算训练，帮助学生掌握多元的运算方式，在无形之中引导学生构建系统化的逆向思维模式.

逆向思维能灵活运用于初中数学的各个领域，是学生解题过程中必不可少的工具.逆向思维能够打破填鸭式教学下学生僵化的思维方式，锻炼学生数学思维的广度与深度.因此教师必须从概念、公式、解题方式等多角度出发，强化逆向指导，从最本质的角度提升学生的解题能力.

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