用列方程法求图形面积的三种途径

孙志东

【摘要】 本文通过三个典型案例给出建立方程求解图形面积的三种途径：根据图形面积比建立方程、根据勾股定理建立方程、 根据中间桥梁建立方程.

【关键词】 求面积;列方程;面积比;勾股定理;中间桥梁

在平面几何中，求图形面积是一类重要的问题，特别是求三角形或四边形的面积类型较多.因为求图形的面积不仅仅涉及计算，还涉及到推理，能考查学生综合运用几何和代数知识解决问题的能力，所以它在竞赛中常常出现.下面通过三个典型案例来说明求图形面积的三种有效途径.

1 根据图形面积比相等建立方程求面积

例1 图1

如图1，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且△ABE，△ADF，△CEF的面积分别为5，4，3，则△AEF的面积是.

分析 考虑到等高的平行四边形面积比等于对应底边的比，通过作两条平行线，可以把原平行四边形分割成四个小平行四边形.若假设其中一个小平行四边形的面积，则其他三个平行四边形的面积很容易表示出来，这样根据四个小平行四边形的面积之间的关系就可以建立方程.

解 如图2，过点E作AB的平行线交AD于点G，过点F作BC的平行线交AB于点H，EG与HF交于点O，可知AHOG，BEOH，ECFO，OFDG都是平行四边形.

设SAHOG=x，则SBEOH=10-x，

SECFO=6，SOFDG=8-x.

根据SAHOG∶SOFDG=SBEOH∶SECFO得

x∶（8-x）=（10-x）∶6，

即方程x2-24x+80=0，

解得x=4或20，

因为0<x<8，

所以x=4，

从而S△AEF=（10+6+4）-（5+3+4）=8.

2 根据勾股定理建立方程求面积

例3 图3

如图3，正方形DEFG的三个顶点D，E，G分别在△ABC的边BC，AC，AB上，D为BC的中点，AG=7，GB=6，AE=9，EC=2，求正方形DEFG的面积.

分析 由线段中点，可以联想到三角形的中位线，结合正方形的对边平行的条件，得到相似三角形，得出几条关键线段的关系，最后利用勾股定理完成方程的建立.

解 如图4，过点B作DE的平行线交AC于点M，延长GF交AC于点N.设DE=x，则由BD=CD，得

CE=ME=2，

所以BM=2x，

且AM=AC-ME

=9-2=7.

由GN∥BM，得

GNBM=ANAM=AGAB，

即x+FN2x=AN7=713，

解得AN=4913，FN=x13，

所以NE=AE-AN=9-4913=6813.

在Rt△ENF中，由EF2+FN2=NE2，得

x2+x132=68132，

解得x2=27.2，

即正方形DEFG的的面积为27.2.

注 在平面几何中，利用勾股定理计算线段的长度，是非常重要的方法.

3 根据中间桥梁建立方程求面积

例3 图5

如图5，四边形EFGH是正方形ABCD的内接四边形，且FH=3，EG=4，S四边形EFGH=5，求S正方形ABCD.

分析 因为四边形EFGH不是特殊的四边形，所以在初中阶段，它的两条对角线和面积这些数量不容易建立关系.这样就需要我们另辟思路，不妨充分借助边之间的关系，多次利用勾股定理寻找到一个等式，再利用图形总面积等于各部分面积的和，得到另外一个等式，发现这两个等式存在中间桥梁，从而建立方程就自然而然了.

解 设正方形ABCD的边长为x，CG=a，

BE=b，BH=c，AF=d，则由勾股定理，得

x2+（a-b）2=16，x2+（c-d）2=9，

变形，整理，得

（a-b）2（c-d）2=（16-x2）（9-x2），①

又S正方形ABCD=x2=5+12bc+12（x-c）a+12（x-b）d+12（x-a）（x-d），

整理，得12x2=5+12（bc+ad-ac-bd），

即（a-b）（c-d）=10-x2，

所以（a-b）2（c-d）2=（10-x2）2，②

聯立①②，得

（16-x2）（9-x2）=（10-x2）2.

解得x2=445.

即S正方形ABCD=445.