平行四边形对角线的应用

周雪

平行四边形的对角线互相平分是平行四边形一条重要的性质.利用该性质可求解平行四边形周长、面积、线段长等问题，也是历年中考热点问题之一.利用该性质求解问题，需根据具体问题，合理利用已知条件进行分析、求解，进而得出答案.以下列举说明它们的应用.

1 利用对角线求周长

例1 图1

如图1，在平行四边形ABCD中，BC=10，AC=14，BD=8.△AOD的周长是多少？△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？

解 因为四边形ABCD是平行四边形，

所以OB=OD=4，

OA=OC=7，

又因为AD=BC=10，

所以S△AOD=AD+OA+OD=10+4+7=21.

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AB=CD，

又因为S△ABC=AB+BC+AC，

S△DBC=CD+BC+BD，

所以S△ABC-S△DBC=AC-BD=14-4=6，

所以△ABC的周长比△DBC的周长长6.

2 利用对角线求面积

例2 图2

如图2，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（）

（A） 3. （B） 6.

（C）12.（D）24.

解 因为四边形ABCD是平行四边形，

所以OA=OC，OB=OD，

AD∥BC，AB∥CD，

所以∠OAN=∠OCM，

在△AON和△COM中，

∠AON=∠OCM，∠AON=∠COM，OA=OC，

所以△AON≌△COM，

同理△AOE≌△COF，

△BOE≌△DOF，

△BOG≌△DOH，

所以OG=OH，OM=ON，

在△GOM和△HON中，

OG=OH，∠GOM=∠HON，OM=ON，

所以△GOM≌△HON，

所以S阴影=12S平行四边形ABCD=16×6×4=12.

例3 如图3，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC. 求BC，CD，AC，OA的长，以及△OBC的面积.

解 因为四边形ABCD是平行四边形，

所以BC=AD=8，

CD=AB=10，

因为AC⊥BC，

所以△ABC是直角三角形，

根据勾股定理

AC=AB2-BC2=102-82=6，

又因为OA=OC，

所以OA=12AC=3，

S△OBC=12BC·OC=12×8×3=12.

3 利用对角线求线段的长

例4 图4

如图4，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别与AD，BC交于点E，F. 求证：AE=CF.

证明 因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AD∥BC，OA=OC，

于是∠DAO=∠BCO，

在△AOE和△COF中，

∠DAO=∠BCO，OA=OC，∠AOE=∠COF，

所以△AOE≌△COF，

所以AE=CF.

例5 如图5，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF，求證：BE=DF.

证明 连接BD交AC于点O，因为四边形ABCD是平行四边形，

所以OA=OC，OB=OD，

又因为AE=CF，

所以OA-AE=OC-CF，

于是OE=OF，

在△BOE和△DOF中，

OE=OF，∠BOE=∠DOF，OB=OD，

所以△BOE≌△DOF，

所以BE=DF.

4 利用对角线求取值范围

例6 图6

如图6，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（）

（A）2cm<OA<5cm.

（B）2cm<OA<8cm.

（C）1cm<OA<4cm.

（D）3cm<OA<8cm.

解 因为AB=3cm，BC=5cm，

所以在△ABC中，

2cm<AC<8cm，

又因为四边形ABCD是平行四边形，

所以OA=12AC，

所以1cm<OA<4cm.

例7 如图7，在平行四边形ABCD中，若AC=10，BD=6，AD=a，则a的取值范围是.

解 因为四边形ABCD是平行四边形，

所以OA=OC=5，

OB=OD=3，

又因为AD=a，

所以在△AOD中，2<a<8.

5 利用对角线求最值

例8 图8

如图8，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形APCQ，则对角线PQ长度的最小值为.

解 因为四边形APCQ为平行四边形，

所以点O是AC的中点，PQ=2PO，

所以PQ最短，只需要PO最短，

于是过点O作AB的垂线，交AB与点P′，此时线段OP′最短，

因为AC=8，

所以AO=12AC=4，

又因为OP′⊥AB，

∠BAC=45°，

所以在Rt△AP′O中，OP′=22，

即OP的最小值为22，

所以PQ的最小值为2×22=42.