竞赛中二次方程的整数解问题的求解方法

冯伟建

【摘要】 文章以第十届世界数学团体锦标赛试题为例，给出了二次方程整数解问题的三种解法，一是利用一元二次方程根的判别式求解;二是利用一元二次方程的根与系数的关系求解;三是利用因式分解法求解.

【关键词】 二次方程;整数解;求解方法

1 利用一元二次方程根的判别式求解

例1 已知关于x的方程x2-10x-9n2+36n=0的根都是整数，则正整数n=.

解 由一元二次方程的根的判别式，得

Δ=（-10）2-4（-9n2+36n）

=36n2-144n+100

=（6n-12）2-44.

令（6n-12）2-44=t2，其中t为正整数.

则（6n-12）2-t2=44，

即（6n-12+t）（6n-12-t）=44.

因为n是正整数，t是正整数，

所以6n-12+t>6n-12-t.

又因为6n-12+t和6n-12-t的奇偶性相同，

44=2×2×11，

所以6n-12+t=22，6n-12-t=2.①②

由①+②，得12n-24=24，

所以12n=48，即n=4.

由此可以看出，对于一个含有参数的一元二次方程的整数解问题，可利用这个一元二次方程的根的判别式Δ=b2-4ac解决问题.当Δ=b2-4ac≥0，且b2-4ac不是完全平方式时，可考虑设b2-4ac=t2，然后利用整数的性质求解.

例2 若关于x的方程（7-k）（8-k）x2-（112-15k）x+56=0的解都是整数，则满足条件的整数k有个.

解 当k=7时，原方程可化为

-7x+56=0，

所以x=8.

当k=8时，原方程可化为8x+56=0，所以x=-7.

当k≠7且k≠8时，由一元二次方程的根的判别式，得

Δ=[-（112-15k）]2-4（7-k）（8-k）×56

=k2.

由一元二次方程的求根公式，得

x=112-15k±k22（7-k）（8-k）

=112-15k±|k|2（7-k）（8-k）

=112-15k±k2（7-k）（8-k）.

所以x1=77-k，x2=88-k.

由x1=77-k，得k=0或6.

當k=0或6时，x=1或4.

综上所述，满足条件的整数k有4个.

由此可以看出，当Δ=b2-4ac≥0，且b2-4ac是完全平方式时，可考虑利用一元二次方程的求根公式直接求得方程的解，然后利用整数的性质求解.

2 利用一元二次方程的根与系数的关系求解

例3 已知关于x的方程ax2+2（2a-1）x+4a-7=0的根都是整数，则实数a的值有个.

解 当a=0时，-2x-7=0，解得x=-72，不合题意，故a≠0.

设关于x的方程ax2+2（2a-1）x+4a-7=0的两个整数根x1，x2，由一元二次方程的根与系数的关系，得

x1+x2=2-4aa，x1x2=4a-7a.

联立方程组，消去参数a，得

17x1+7x2+2x1x2+0=0.

易得（7+2x1）（7+2x2）=9.

因为x1，x2是整数，

所以7+2x1，7+2x2是整数.

从而可得7+2x1=1，7+2x2=9，或

7+2x1=3，7+2x2=3，

或7+2x1=9，7+2x2=1，或7+2x1=-1，7+2x2=-9，

或7+2x1=-3，7+2x2=-3，或7+2x1=-9，7+2x2=-1，

解得x1=-3，x2=1，或

x1=-2，x2=-2，或

x1=1，x2=-3，

或x1=-4，x2=-8，或

x1=-5，x2=-5，或

x1=-8，x2=-4.

从而易得a=1，或a=-14，或a=-13.

综上所述，实数a的值有3个.

由此可以看出，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），设其两个整数根分别为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1x2=ca.若从这两式中易消去其中的参数，可利用消元法将参数消去，得到一个关于x1，x2的不定方程，然后运用数论等有关知识求解. 若从这两式中不易消去参数，则可将两式联立起来，直接运用数论的有关知识求解.

3 利用因式分解法求解

例4 方程xy=2019（x+y）的正整数解（x，y）有组.

解 由xy=2019（x+y），得

xy-2019x-2019y=0.

即（x-2019）（y-2019）=2019×2019.

因为2019=3×673，

所以x-2019=1，y-2019=2019×2019，

或x-2019=3，y-2019=673×2019，或

x-2019=3×3，y-2019=673×673，或

x-2019=673，y-2019=3×2019，或

x-2019=3×673，y-2019=2019，或

x-2019=3×2019，y-2019=673，或

x-2019=673×673，y-2019=3×3，或

x-2019=673×2019，y-2019=3，或

x-2019=2019×2019，y-2019=1.

显然，方程xy=2019（x+y）的正整数解（x，y）有9组.