坐标系中的几何问题

徐开富

【摘要】 平面直角坐标系把前面所学的代数知识与几何知识巧妙地联系到了一起，这为我们利用代数方法解决几何问题提供了有效的解决途径.而且在近年许多中考数学压轴题中，有一类综合题：在平面直角坐标系中，含有平面图形，我们把这类综合题简称为坐标几何题.这类试题是在平面直角坐标系的背景下去研究几何，重在考查同学们数形结合思想，要求学生具备用平面直角坐标系和几何知识综合解决问题的能力.

【关键词】 坐标几何;数形结合;函数的方法

坐标几何题已成为中考成熟题型，通常是与三角形、特殊四边形结合，融丰富的几何图形于一题，用函数的方法来研究几何问题.这类问题包含的知识点较多，代数变换（包括数式变换、方程变换、不等式变换）与几何推理巧妙融合，交相辉映，数形结合思想和方法得到充分运用，大多数有一定的难度.

例1 如图1，OABC的顶点O（0，0），A（1，2），点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D.将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD′A′，当点D的对应点D落在OA上时，D′A′的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为（）

（A）（23，0）. （B）（25，0）.

（C）（23+1，0）（D）（25+1，0）.

分析 连接A′C，由题意可证明△ADO∽△OD′C，利用相似三角形线段成比例即可求得OC的长，进而得点C的坐标.

解 如图，连接A′C，因为AD⊥y轴，△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD′A′，

所以∠CD′O=90°，OD′=OD，

因为∠DOA+∠D′OC=∠D′CO+∠D′OC，

所以∠DOA=∠D′CO，

所以△ADO∽△OD′C，

所以ADAO=OD′OC，

因为A（1，2），，

所以AD=1，OD=2，

所以AO=12+22=5，

OD′=OD=2，

所以OC=25，

故选（B）.

例2 如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为.

分析 根据旋转的性质可求得O′A′和O′B的长度，进而可求得点A′的坐标.

解 作A′C⊥x轴于点C，

由旋转可得∠O′=90°，O′B⊥x轴，

所以四边形O′BCA′为矩形，

所以BC=A′O′=OA=3，

A′C=O′B=OB=4，

所以点A′坐标为（7，4）.

例3 如图3，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P，Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P，Q同时停止运动.过点Q作MN∥OB分别交AO，AB于点M，N，连接PM，PN.设运动时间为t（秒）.

（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）;

（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值;

（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解析式;如果不存在，请说明理由;

（4）连接AP，当∠OAP=∠BPN时，求点N到OA的距离.

分析 （1）作适当的辅助线，过M点作MG⊥x轴于点G.过A点作AD⊥x轴于点D，利用三角形相似的判定定理证明两个三角形相似，根据对应边成比例，从而可得答案;

（2）根据坐标先求解OM，OA，OP，OB长度，证明△MOP∽△AOB，利用相似三角形的性质证明MP∥AB，再证明四边形MNBP为平行四边形，再列面积函数关系式，利用二次函数的性质求解最大值即可;

（3）先判断存在，通过观察图形知，当直线l过MNBP的对角线交点时，总能平分其面积;再利用平行四边形的性质求解对角线的中点坐标，从而可得答案;

（4）当0<t<2时，证明△AOP∽△PBN，利用三角形相似，对应边成比例，求解时间t，再利用等面积法求解点N到直线OA的距离即可.当t=0，t=2时，MN与OB是重合的，不合题意，舍去.

解 （1）如图4，过点M作MG⊥x轴于点G.过点A作AD⊥x轴于点D.

则∠MGO=90°，

MG∥AD，

因为∠QOP=90°，

MN∥OB，

所以∠OQM=180°-∠QOB=90°，

四边形QOGM为矩形，

则MG=OQ=2t，

因为O（0，0），A（3，4），B（6，0），

AD⊥OB，

所以D（3，0），

OD=3，AD=4.

易證△MOG∽△AOD，

所以OGOD=MGAD，

即OG3=2t4，

所以OG=32t，

所以M32t，2t.

（2）因为OQ=2t，

QM=32t=OG，A（3，4），

所以OM=OQ2+QM2=52t，

OA=32+42=5，

因为OP=3t，B（6，0），

所以OB=6，

所以OMOA=52t5=12t=3t6=OPOB，

因为∠MOP=∠AOB，

所以△MOP∽△AOB，

所以∠MPO=∠ABO，

所以MP∥AB，

因为MN∥OB，

所以四边形MNBP为平行四边形，

因为SMNBP=BP·OQ=（6-3t）×2t

=-6（t-1）2+6，

因为0<t<2

（当t=0或t=2时，四边形不存在），

所以当t=1时，S取最大值6，

所以四边形MNBP面积不存在最小值，存在最大值，最大值为6.

（3）存在.理由如下：

如图4，连接BM，交PN于点H，

由（2）得四边形PBNM为平行四边形，

所以过H的任意直线都平分MNBP的面积，MH=BH，

因为M32t，2t，B（6，0），

由中点坐标公式可得H34t+3，t，

即l过点H，

所以x=34t+3，y=t，

所以x=34y+3，

所以l：y=43x-4.

（4）如图5，当0

因为A（3，4），B（6，0），AO=5，

所以AB=（3-6）2+（4-0）2=5，图5

所以AB=AO=5，

所以∠AOB=∠ABO，

因为∠OAP=∠BPN，

所以△AOP∽△PBN，

所以AOPB=OPBN，

即56-3t=3tBN，

因为MN∥OB，

所以∠AMN=∠AOB，

∠ANM=∠ABO，

所以∠AMN=∠ANM，

所以AM=AN，

所以OM=BN=52t，

所以56-3t=3t52t，

所以t1=1118，t2=0，

經检验t1=1118是原方程的根，t2=0是增根，舍去，

此时MN=PB=6-3t=256，

OQ=2t=119，

过点N作NK⊥AO于点K，

因为S△ABO=12×OB×AD

=12=S△OBN+S△AON，

所以12×6×119+12×5×NK=12，

所以NK=103.

当t=0和t=2时，∠OAP=∠BPN=90°，

即MN与OB是重合的，不符合MN∥OB的前提，

所以t=0，t=2不合题意.

综上，N到OA的距离为103.