辅助线在初中几何解题中的应用

李芳

【摘要】几何是初中数学重难点知识内容，在于培养学生逻辑思维能力与几何图形分析能力，关系到学生数学综合素质提升.正因几何知识抽象性，造成很多学生在解题中频出问题，需要引入合理解题方式.从某种层面分析，合理添加辅助线不仅能帮助学生梳理解题思路，更能降低几何问题难度，调动学生掌握知识以及解题积极性和主动性，可谓数学课程改革与创新关键所在.对此，本文则从多方面分析在几何解题中应用辅助线，望给予相关教师教学提供参考.

【关键词】初中数学;逻辑思维;几何图形

1 在解答三角形中构建辅助线

纵观初中数学几何知识基本都涉及角与角和边与边间关系，例如图形与几何单元中收录的‘全等三角形’知识点，全等三角形两个对应角和对应边相等，通常学生在求证等角和等边中会构建两个全等三角形解答题目.

例1 以图1为所示，AD=BE，∠ADC=∠E，求证AC=BC.

解题分析 上述题目所给出的图形较为简单且条件较少，常用解题方法：证明AC与BC线段所在的三角形为全等.

观察图1发现，AC与BC的三角形△ACD与△BCE并未全等，很多学生在解答到此就不知该如何继续.事实上，经深入思考可得知，当无法运用求证全等三角形方式后可立即运用辅助线，使AC与BC相等，换言之使两个三角形的边与角相等.

针对上述题目，已知AD=BE，∠ADC=∠E，添加辅助线构造全等三角形，随即运用辅助线构造一对角或边相等即可顺利解题.

其中解法①：构造一对角相等;若问题条件给出图形一对角或一对边相等，那么就需寻找一对角相等后便可得出两角一边对应相等，紧接着应用角边角定理可顺利的得出AC与BC两个三角形为全等三角形.

解法②：构造一对边相等;该方法并非随意应用，需参照其中一个三角形，由此一来才能保证所构造的另一三角形为全等.

学生在画辅助线时应遵循以下原则，若构造轴对称或中心对称型全等三角形需根据图形特征合理添加辅助线，形成翻折型或旋转型全等三角形.同时根据题目中已知条件绘制，若得知角平分线信息可在角平分线两边做辅助线，若题目已有线段垂直平分线时，则可运用辅助线连接线段两端后明确线段与角关系.

2 在解答平行四边形中构建辅助线

在解答平行四边形题目中应用辅助线目的在于将四边形转为三角形，从而由易至难解决几何问题.

例2 如图2，在平行四边形ABCD中，O与P为平行四边形ABCD对角线BD上一点且BO=DP，证明四边形AOCP为平行四边形.

解题分析 学生在解答上述题目中需证明对角线相互平分的四边形为平行四边形，也是判定平行四边形原理之一.

对此，在绘制辅助线时先连接AC，再根据已知条件四边形ABCD为平行四邊形，

故而HA=HC，HB=HD，

再已知BO=DP，可直接推断出HP=HO，

所以AOCP为平行四边形.

3 在解答梯形中构建辅助线

梯形是一组对边平行且另一组对边不平行的四边形，求证此类图形可运用辅助线将其转化为平行四边形或三角形，常见拼接、分割以及作梯形的高等辅助线应用方式.

方法1 连接对角线构造三角形，上述为求证梯形问题时常用辅助线方式.

例3 如图3所示，已知四边形ABCD中，AB=AC，BD=CD，过点D作DE⊥AB延长线于点E，DF⊥AC延长线于点F，证明DE=DF.

解题分析 如果想要对DE=DF进行求证，通常需要先求证△DBE≌△DCF，然而题目并未给出与上述求证有关的全等条件.

可连接AD由边边边得△ABD≌△ACD，

所以AD平分∠EAF.

再运用“角平分线”原理可得出DE=DF.

所以，通过连接AD可对AD平分∠EAF进行证明，

最后运用角平分线的判定定理可得出DE=DF.就不需要证明△DBE≌△DCF.

方法2 割补法

例4 图4为一块四边形土地，其中∠ABD=120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB=303m，CD=503m，求该土地面积.

解题分析 在计算图4四边形面积时需要该图形转化成与三角形有关问题，结合题目中所给条件，∠ABD=120°，延长BD与CA，交于点P，

得出S平行四边形ACDB=S△CDP-S△ABP，简化证明S△CDP-S△ABP难度.

总之，几何贯穿整个数学课程始终，在学生学习中发挥着不可小觑的作用，甚至会对其他数学知识的学习质量产生重要影响.

通过几何解析能强化抽象思维能力、逻辑思维能力以及空间想象能力，在解答几何题中应用辅助线能引领学生基于空间思维角度探究解题方式，形成清晰解题思路，将看似抽象复杂图形分为多个熟悉图形，大幅度降低解题难度，为迅速解答提供便利.

学生在辅助线指引下能迅速整理图形中有效信息，提升解题效率，对后续更深层次数学学习奠定坚实基础.