导数在高中数学解题中的应用

【摘 要】 随着社会发展速度逐步提升，知识更新换代的速率也上升到了一个全新的高度.为确保知识的更新化，及时掌握先进知识，在进行学科学习时应当树立学无止境的观念，数学作为一门专业性较强的学科更应该做到这样.兴趣能够促进数学学习者主动学习数学知识，但学生在学习层面仅具有兴趣是完全不够的，同时还需要教师的指导，以这种方式进行学习，学生在数学学习当中才能做到独立化、个性化和全面发展.基于此，以下对导数在高中数学解题中的应用进行了探讨，以供参考.

【关键词】 高中数学解题;导数教学;数学解题

1 前言

当前，高中数学教学存在一些突出问题，比如，过分强调教师的主导地位，阻碍学生主体意识的发展，“应试教育”现象广泛存在等.这些问题的存在，造成学生在导数学习环节当中难以长期保持兴趣，学习积极性也难以长时间持续，造成导数教学的效率和质量提升受到了阻碍.本文针对高中数学解题当中的常见难题进行分析，并针对实际教学环节当中的问题，具体问题具体分析，让学生的学习热情得到激发，保障教学的效率和质量，同时从提升学生数学核心素养出发，培养学生对数学学习的热情.

2 高中数学教学中存在的问题

2.1 脱离学生生活实际，致使学生感觉数学较抽象

通过对目前高中数学教学实践状况的观察，了解到存在相当比例的数学教育者对于生活和教学内容之间的联系把握不够深刻，这造成数学学科教学同学生的实际生活相脱离.也因此，学生在学习过程中会觉得自己学习到的数学知识是抽象的，难以在实际生活中得到应用[1].数学学习兴趣也逐步减弱，难以针对学习到的数学知识进行知识内化和理解.

2.2 过分强调教师的主导地位

在教学中普遍存在这样一种现象，即过分强调教师的主导地位.这种现象的存在，与传统的“师道尊严”思想有一定的关系.在这种思想的影响下，教师高高在上，成为课堂的主宰，学生成为储存知识的容器，这严重束缚了学生的思维发展.传统的教学模式已经根深蒂固，教师、家长以及学生也都潜意识地认为教师在课堂上应拥有绝对权威.在这种教学模式下，学生难以发挥自己的主观能动性，学习非常被动.久而久之，学生会失去学习兴趣，产生厌学心理，甚至放弃数学学习[2].

2.3 未能恰当采用直观手段，致使学生难以理解复杂知识点

高中阶段的数学知识同小学和初中阶段的数学知识相比，存在一定的区别，主要区别是知识容量的广度和抽象度.因为这一点，高中数学教师应当探索出一条新的通路，将抽象的数学知识转化为简单和直观的数学知识，然而结合当前的教学实际开展教学工作，只有一小部分的教育工作者对这一点有充足的认知，相当大一部分的教师的教学方法只是对数学知识照本宣科的宣讲，难以结合高中学生的实际认知特点对教学手段进行调整，这样就对学生理解相对复杂的数学知识点造成了阻碍，导致高中数学教学效益及其质量难以提升[3].

3 论导数在高中数学解题中的应用

导数是函数的一个局部，具有其部分性质.某一函数在某一点的导数，体现出该函数在此点附近变化率.如函数的自变量和赋值均为实数，函数在某一处的导数，其意义就是这个函数所代表的曲线在此点上的曲线斜率.由此我们可以得出一个结论：导数的本质运用到了极限相关概念，完成导数的线性逼近[4].

对生活中的实际应用问题作出解答的最基本步骤就是采用一般解来进行解答.依据题中所给的条件完成作图并对图中的各个已知条件进行分析，利用这些几何图形拥有的特性，采用合乎实际情况的关系式，将这些条件逐一连接，形成通畅而连贯的数学语言，构造对应函数关系并选择符合实际状况的数值空间，进而求解问题，得出相应结论，是该部分解题的主要技巧[5].

例1 某一铁皮边长为0.6米，在其四个角上都切去相等面积的正方形，折起其边缘线，令其形成无盖方盒形状.当箱底边长取何值时箱子具有最大容积？并求得最大容积的数值.

思路 设箱底边长为x cm，则箱高h=60-x2cm，得箱子容积V是箱底边长x的函数：r（x）x2h=60x2-x32（0

变式 一正方形铁皮边长为a，在其各个角上剪掉相等面积的正方形铁皮，折起各个边使其形成无盖方盒形状.求该盒子取得最大容积时盒子的高度.

提示 V（x）=x（a-2x）2

（0<x<a2）答案：x=a6

例2 如图3设计一个如下的帐篷，其下部形状高为1米，呈正六棱柱装，上部形状为侧棱长为3米如图所示的正六棱锥.试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？

解 设OO1为xm，则1

由题设可得正六棱锥底面边长为：32-（x-1）2=8+2x-x2，

故底面正六边形的面积为：

6·34·（8+2x-x2）2，332·（8+2x-x2）.

帐篷的体积为：

V（x）=332（8+2x-x2）[13（x-1）+1]=32（16+12x-x3）

求导得：

V′（x）=332（12-3x2）

令V′（x）=0解得x=-2（不合题意，舍去），x=2，

当1

当2

所以当x=2时，V（x）最大.

答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为163m3.

上述题目考察的知识点，是使用导数研究函数极值的相关知识.并利用导数知识对生活实际问题进行解决.在我们优化或对极值问题进行求解时，必須考虑到问题实际所处的环境，并让解具有现实意义，如解不符合实际，必须舍去.若所求目标函数在有限区间或无限区间内有单一驻点，驻点的值就是函数极值点.

4 提高高中数学课堂教学有效性的对策

4.1 导入丰富的数学教学资源

随着当前教学的进步与发展，现代化的教学技术和方法改变了高中数学教学现状，为高中数学学科教学提供了更丰富的教学资源.这对于高中生数学学习效率和教学综合质量的提升有积极的作用.因此，高中数学教师在教学过程中要摆脱对数学教材的依赖，寻找丰富多样的数学教学资源，拓展学生的知识面.

4.2 寻找生活中的资源，实施生活化的教学

认知当中，大部分的知识来源于生活.即便高中数学知识的表现形式较为抽象，但其最终要回归于生活，在生活当中可以寻找到很多痕迹.针对这一点，高中数学教师需要从生活出发，积极对生活中的丰富数学教育资源进行寻找，针对学生实施生活化数学教学.使用这种方法，教师才可以缩短数学知识和学生二者之间的距离，并让学生体会到学习数学知识的益处，了解现实生活的高中知识学习的必要性，并结合已存在的生活经验加深数学知识的理解.

4.3 提高高中数学教学质量

在高中阶段的数学学科教学过程中，教师所选择的教学方法，直接影响整体教学质量.因此，选择的教学方法科学合理，也有利于提高教学效率，对教学发展有着积极的作用.教师在教学过程中，要做到与时俱进，合理运用先进的现代化教学辅助工具，不仅可以让课堂变得更丰富精彩，也可以为学生营造良好的学习氛围，激发学生数学学习热情，从而有效实现数学教学目标.在高中数学学科教学的过程中，教师要有目的性、有计划性地帮助学生，奠定良好的学习基础，为提高数学教学质量做好铺垫.

例如 学习“集合”时，教师可以通过游戏教学策略，对学生进行引导.教师在课堂上给出学生工具、植物、动物等名词，在学生选择之后.根据学生所选择的名词进行教学，学生在了解交集和并集时，教师可以让学生划分成两个学习小组，让学生自己归纳两组之间的交集与并集.虽然这是一个较为简单的游戏形式，但是可以让学生更好地理解數学概念，让学生在实际游戏过程中掌握这部分知识.

5 结语

导数在高中数学中占有重要地位，是解答函数问题的重要工具.为提高学生灵活运用导数解题的能力，教学中应围绕具体习题为学生认真讲解解答过程.同时，鼓励学生多进行训练、反思、总结，不断深化对导数知识的认识与理解，真正做到融会贯通.在对生活中的实际问题进行求解的过程中，需要选择适宜的目标函数，利用数学语言将问题实景化，在便于理解的基础上确定问题内部存在的主要关联，将题中所提到的数据进行抽象化和理简要处理，让其可以用数学语言表示，令其和常规类的问题保持一致，必要时可以联系题中所给出的数据作出图形，并对它们之间各个已知条件关系进行分析，联系图形特性对各个条件之间的联系方式进行恰当的选择，选定变化区间后按照对应函数关系进行构造等，解决实际生活中函数应用的问题.

【本文是甘肃省教育科学“十三五”2020年度规划课题，课题名称巜指导高中生开展数学探究性学习的实践研究》，课题立项号GS[2020]GHB3288，课题主持人：蔺卫红.】

参考文献：

[1]曾志超.高中数学解题中导数的应用[J].数理化解题研究，2021（25）：47-48.

[2]冯仰超.论导数在高中数学解题中的应用[J].数理化解题研究，2021（24）：4-5.

[3]董玲燕.例谈导数在高中数学解题中的应用[J].数理化解题研究，2021（19）：30-31.

[4]李梦伊.导数在高中数学解题中的应用研究[J].课程教材教学研究（中教研究），2020（Z5）：48-54.

[5]张影.导数在高中数学解题中的应用实践[J].数学大世界（下旬），2020（09）：75.

[6]范亚萍.导数高考试题分析与教学策略研究[J].数学学习与研究.2020（09）

[7]陈艳.去伪存真激发学生思考让学引思培养核心素养——“反比例函数图像与性质”教学案例分析[J].数学通报.2019（05）

[8]于智锋.小题小做，大题巧做——高中数学导数试题分析与教学策略[J].中学数学.2020（13）

[9]赵开余.探寻多样题型，提高解题效率——高中数学导数试题分析与教学策略[J].中学数学.2020（11）

[10]蒋云涛，陆菊芹.联系高考重点突破——高中数学导数教学有效性探究[J].数理化解题研究.2019（36）