孟新爱
摘 要:在高中数学教学中,教师要结合学科特点,同时根据当前的教学要求和目标选择恰当的教学思维,将一些比较抽象的数学知识具体化,帮助学生建立转化、分类或者整体等解题思维,使学生不仅能少走很多弯路,而且可以快速解决数学问题,提升教学效率。
关键词:整体思想;数学解题;应用方法;教学思路
中图分类号:G633.6文献标识码:B
高中数学考试出题方式更加偏向对学生思维方式、解题方法的考查,因此,教师应该教会学生如何运用各种解题思维解决大量的实际问题,以提高数学成绩。
一、转化思维在解题中的应用
解题的第一步是审题,学生审题要细致,挖掘其中的内涵,否则,解题思路很容易出现偏差,一旦解题解到一半发现思路错了,很可能已经没有时间再重新来过了,错失了一个拿分的好机会。所以说认真审题十分关键,教师要指导学生客观、冷静、细致地审题,这也是运用数学转化思想的第一步。
例如:已知sin(2a+b)=4sinb,求证:3tan(a+b)=5tana。这是一道三角函数的题目,教师引导学生从两个方面来审题:首先进行题目分析,发现已知条件分别为∠2a+b和∠b,函数为正弦函数,而结论需要证明的是正切函数,同时两个角也不同,结论中的角是∠a+b和∠a,已知条件与结论中的角并不同,这个时候就需要运用转化思维,仔细审题之后发现,2a+b=(a+b)+a,b=(a+b)-a,在明确了这一点之后,通过两角之和与差的正弦公式证明如下。
∵ sin(2a+b)=4sinb
∴ sin[(a+b)+a]=4sin[(a+b)-a]
∴ sin(a+b)cosa+cos(a+b)sina=4sin(a+b)cosa-4cos(a+b)sina
3sin(a+b)cosa=5cos(a+b)sina
两边同时除以cos(a+b)cosa可得3tan(a+b)=5tana
∴3tan(a+b)=5tana
转化思维在数学解题过程中的运用非常重要,教师帮助学生合理运用这种思维方式,在实际的解题过程中,必然会收到事半功倍的效果。
二、整体思维在解题中的应用
整体解题思路是非常常见的有效解题方法,学生做题的过程中,常常会遇到单个元素无法解释和理解的问题,因为这些问题而导致毫无解题思路,或者思路被阻断。那么,如果将思维转化为整体解题思路,将这些单个的元素作为一个整体来看,问题往往引刃而解。
例如高中代数几何中很多三角函数的问题,计算过程中常见角度的函数都是熟稔于心,但是有一部分并不常见,角度也不是整角,像22.5°,这时候如果直接计算会十分麻烦。如果使用整体思维,两个22.5°角是45°,这是学生熟悉的角度,并且对45°的各种函数计算结果早已十分熟悉,这个时候运用整体思维,将两个22.5°角视为一个整体,这个整体就是45°角,从而根据常用的45°角三角函数求出22.5°的三角函数数值,比如通过45°的正切函数来求22.5°的正切函数时,方法如下:
∵22.5°=45°/2,根据半角公式计算可得。
tan45°=tan(22.5+22.5)=1+(tan22.5+
tan22.5)/(1-tan22.52)解得tan22.5= -1±
√2 ,这样的思维将复杂的计算步骤简化了,降低了问题难度,提升了解题效率。
三、转化思维中的分类解题思路
在高中数学学习过程中,学生会遇到一些题目比较难以解答,这个时候如果能够将这些不同难题进行分类,并讨论,就非常容易找到答案。教师要让学生认识到:虽然数学中的公式和方法适用于大多数题目,但是有一些个别的习题,直接使用这些公式是很难找到答案的。这个时候转变思维,运用分类的方法,可以很容易找到答案。
例如:在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手,若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成公差为3的等差数列的概率为______。
A.1/51 B.1/68
C.1/306 D.1/408
此例题属于典型概率问题,从题目可以了解到实践总数为C318=17×16×3。
火炬手的编号为an=a1+(n-1)d。当a1=1时,火炬手就是从1,4,7,10,13中选择,有1,4,7;4,7,10;7,10,13;10,13,16共4种选法。而当a1=2时,火炬手可以从2,5,8,11,14,17中选,也有4种选法。同样地,当a1=3的时候,火炬手可以从3,6,9,12,15,18中选,仍有4种选法。所以P=(4+4+4)/17×16×3=1/68,故选择B。
通过以上分析和研究可以看出,在高中数学教学中,教师应该不断地总结教学经验,教会学生灵活运用数学解题思维,帮助学生提升解题效率和质量。