夯实基础重规范拓展思维应变化

孟宪良

【摘 要】 纵观近两年高考，试卷命题整体以全国教育大会精神为指引，全面贯彻落实“五育并举”的教育方针，突出学科核心素养，着重考查考生的阅读能力、思维能力以及综合运用能力.本文以近两年高考天津卷中的数列题型为例，提出几点教学思考.

【关键词】 核心素养;立德树人;课程评价

1 2021年天津卷整体结构分析

试卷秉承“稳中有新，稳中有变”的命题原则，在知识结构、能力结构、难度结构上完整统一，考查基础知识的同时，注重考查能力，以数学学科核心素养为导向，将知识、能力、素养融为一体，全面检测考生的数学学科素养.

第1题集合的交并补运算，第2题充分必要条件，这两道题注重考查学生的数学运算的核心素养.第3题考查图象辨析，培养学生综合运用函数的基本性质，发现函数的变化趋势.

第4题统计中频率分布直方图，以大家熟悉的网络平台推送影视作品为选材，以实际生活为背景，需要学生能从具体生活实际中抽象出数学模型，从统计图表中发现关键信息，处理生活中的概率统计问题.第5题比较大小，借助指对函数图像及指对函数性质，题型稳定，变化不大.第6题球的接切问题，注重学生空间想象能力的培养，提升学生直观想象的核心素养.第7题为一道指对运算的题目.第8题为圆锥曲线的考查，双曲线与抛物线的结合.第9题是以函数零点问题为背景，考查学生分析函数的方法，强调从代数化简推导到几何作图，充分考查了考生的数形结合思想与转化化归思想，考验学生分析问题、解决问题的综合能力.

填空第10题和11题仍然是复数与二项式定理的考查，旨在考查数学运算核心素养.第12题是直线与圆的考查，注重几何与代数结合的考查，难度适中.第13题基本不等式的考查，注重学生对于基础知识的运用和综合分析能力的考查.第14题作为概率与统计知识的考查.第15题是平面向量知识的考查，同样是采用了双空的形式，面向全体学生.

解答题第16题是利用正余弦定理解三角形，考查学生的基础性应用.第17题立体几何知识的考查.第18题圆锥曲线椭圆解答题的考查，本题意在考查学生题目的综合分析能力以及计算能力，从提升学生的数学核心素养的角度出发.第19题数列，第一问还是等差等比数列的基本量运算;第二问为数列求和問题;在第三问加大了难度，尤其是放缩方法的结合，求和时需要先放缩去除根号，才能用错位相减法求和，提高了数列题型的技巧性.第20题，作为试卷的最后一题，综合了函数与导数知识，既有对函数、导数基本知识方法的考查，又有对导数与不等式综合能力的考查.

2 夯实基础，注重解题规范

例如 2020年、2021年天津卷的数列题，我们要注重解题规范，首先获得基础分值.例如第一问：求an和bn的通项公式，属于对学生基本公式和基础能力的考查.

2020年19题 已知an为等差数列，bn为等比数列，a1=b1=1，a5=5a4-a3，b5=4b4-b3.

（Ⅰ）求an和bn的通项公式;

（Ⅱ）记an的前n项和为Sn，求证：SnSn+2<S2n+1n∈N*;

（Ⅲ）对任意的正整数n，

设cn=3an-2bnanan+2，n为奇数，an-1bn+1，n为偶数.

求数列cn的前2n项和.

思路分析 （Ⅰ）由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果;

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论首先求得数列an前n项和，然后利用作差法证明即可;

（Ⅲ）分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算∑nk=1c2k-1和∑nk=1c2k的值，据此进一步计算数列cn的前2n项和即可.

详解过程 （Ⅰ）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.

由a1=1，a5=5a4-a3，可得d=1.

从而an的通项公式为an=n.

由b1=1，b5=4b4-b3，

又q≠0，可得q2-4q+4=0，解得q=2，

从而bn的通项公式为bn=2n-1.

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得Sn=n（n+1）2，

故SnSn+2=14n（n+1）（n+2）（n+3），S2n+1=14n+12n+22，

从而SnSn+2-S2n+1=-12（n+1）（n+2）<0，

所以SnSn+2<S2n+1.

（Ⅲ）当n为奇数时，cn=3an-2bnanan+2=（3n-2）2n-1n（n+2）=2n+1n+2-2n-1n，

当n为偶数时，cn=an-1bn+1=n-12n，

对任意的正整数n，有

∑nk=1c2k-1=∑nk=122k2k+1-22k-22k-1=22n2n+1-1，

和∑nk=1c2k=∑nk=12k-14k=14+342+543+…+2n-34n-1+2n-14n ，①

由①得14∑nk=1c2k=142+343+544+…+2n-34n+2n-14n+1，②

由①②得34∑nk=1c2k=14+242+…+24n-2n-14n+1=241-14n1-14-14-2n-14n+1，

由于241-14n1-14-14-2n-14n+1=23-23×14n-14-2n-14n×14=512-6n+53×4n+1，

从而得：∑nk=1c2k=59-6n+59×4n.

因此，∑2nk=1ck=∑nk=1c2k-1+∑nk=1c2k=4n2n+1-6n+59×4n-49.

所以，数列cn的前2n项和为4n2n+1-6n+59×4n-49.

命题意图 本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.

命题方向 这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现.多为中档题，数列是历年高考的热点，主要考查数列的通项公式及前n项和.

方法总结 高考命制综合题时，常将等差、等比数列结合在一起，形成两者之间的相互联系和相互转化，破解这类问题的方法是首先寻找通项公式，利用性质之间的对偶与变式进行转化.

常见错误解法及教学建议

第1问常见错误解法：

错误解法1 在第一问中，出现计算错误.

错解 a5=5（a4-a3）

a1+4d=5（a1+3d-a1+2d），（此时的符号运算已经出现错误）

21d=1，所以d=121.

错误解法2：等比数列通项公式的记忆错误，很多学生把通项公式记成：bn=b1qn

从而，得到bn=2n的错解.

教学建议 注意基本公式的准确性.

第2问常见错误解法：

错误解法1 等差数列前n项公式错误

例如 错误公式1：Sn=na1+n（n+1）2d

錯误公式2：Sn=n（an-a1）2=n（n-1）2

错误解法2 证明方法随意、不规范，对于作差、作商、分析法，没有规范的书写格式.

错误解法3 把an的前n项和为Sn误当做bn前n项和计算，

即Sn=1-2n1-2=2n-1，

在此时的情况下，Sn+1=2n+1-1;

Sn+2=2n+2-1，

SnSn+2=（2n-1）（2n+2-1）=22n+2-2n+2-2n+1，

S2n+1=（2n+1-1）2=22n+2-2n+2+1.

利用作差等方法比较大小.

教学建议 注意解题方法的规范性.

第3问常见错误解法：

错误解法1 当n为奇数时，裂项形式错误

高频错误方式有：

（1）3n-2·2n-1nn+2=（3n-2）·2n-2·（1n-1n+2）;

（2）3n-2·2n-1nn+2=（2n+2n+2-2nn）.

错误解法2 不清楚前2n项最后一个奇数项是哪一个.

2021年19题

已知{an}是公差为2的等差数列，其前8项和为64.{bn}是公比大于0的等比数列，b1=4，b3-b2=48.

（Ⅰ）求an和bn的通项公式;

（Ⅱ）记cn=b2n+1bn，n∈N.

（i）证明cn2-c2n是等比数列;

（ii）证明∑nk=1akak+1ck2-c2k<22（n∈N）.

详解过程

（Ⅰ）解：记等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，由题意知d=2，S8=64，

代入公式Sn=na1+n（n-1）2d，解得a1=1，所以an的通项公式为an=2n-1.

设等比数列bn的公比为q，由b1=4，b3-b2=48，可得q2-q=12，又q>0，

解得q=4，所以bn的通项公式为bn=4n.

（Ⅱ）（i）证明：由（Ⅰ）可得cn2=（b2n+1bn）2=（42n+14n）2=44n+142n+2×4n，

cn2-c2n=44n+142n+2×4n-（44n+142n）=2×4n，

因为对任意n∈N，有c2n+1-c2（n+1）cn2-c2n=2×4n+12×4n=4，所以cn2-c2n是等比数列.

（ii）证明：由（Ⅰ）和（Ⅱ）（i），有

akak+1ck2-c2k=（2k-1）（2k+1）2×4k=4k2-12×4k<4k22×4k=2·k2k，

则∑nk=1akak+1ck2-c2k<2∑nk=1k2k.

记Tn=∑nk=1k2k，即

Tn=12+222+323+…+n2n.   （1）

由（1）得12Tn=122+223+…+n-12n+n2n+1.   （2）

由（1）（2）得12Tn=12+122+123+…+12n-n2n+1=12（1-12n）1-12-n2n+1，从而得

Tn=2-n+22n<2.

所以，∑nk=1akak+1ck2-c2k<2Tn<22（n∈N）.

3 拓展数学思维，应对题型变化

数学是思维的科学，数学教学的根本任务就是优化学生的思维品质.在高考复习的过程，始终要坚持思维有逻辑，知识常梳理，赋予学生独立探索的过程，体会高考题中的内在联系，促进“高考经验”的形成，从而提升学生解决实际问题的能力，提高课堂复习效率，从容面对题型变化，获得更加优异的成绩.

参考文献：

[1]钱诣文.问题导向下的数学教育研究进展与展望——第二届江苏数学教育学术研讨会述评[J].数学教育学报，2021，30（05）：99-102.

[2]杜晓霞，王勇.当数学文化与解析几何相遇[J].求学，2021（37）：43-44.

[3]谢雪晶.新课改背景下高中数学校本课程的开发与运用[J].试题与研究，2021（28）：137-138.