高中数学数列试题解题三步曲

曹黎星

【摘 要】 数列是高中数学才有的新内容，是高中数学学习的重点也是难点.因此在教学中教师要提升学生的数列解题能力，以促进他们在数列上的逻辑推理和运算能力.

【关键词】 高中数学;解题能力;逻辑推理

数列解题的规律首先要能理解概念与公式，其次就是要能运用公式;在运用的时候，能注重基础能力的提升就可能了.运用时的基础能力，一是计算能力，二是分类讨论能力，三是逐步推理的能力.

1 充分理解公式，运用公式解题

数列这一章节的学习，学生需要掌握的基本公式就是等差数列求和公式与等比数列求和公式.因此教师首先要让学生理解公式，进而再运用公式.两个常用的公式，一个是1+2+3+…+n=12n（n+1）;另外一个是12+22+…+n2=16n（n+1）×（2n+1），13+23+33+…+n3=[n（n+1）2]2.

例1 等比数列{an}的前n 项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列.求{an}的公比q;求a1-a3=3，求Sn.学生依据题目的意思就能得出，a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2）;再由 a1≠0，故2q2+q=0 又q≠0，进而得出q=-12.对于第二问学生由已知可得a1-a1（-12）2=3，进而 推出a1=4.从而Sn=4（1-（-12）n）1-（-12）=83（1-（-12）n） .解决这题的关键就是要先理解公式，再将公式化为数学素养.教师可另设一题，进一步提升他们运用公式的能力.题目为，甲？厲 乙两人分别从相距315m的两处同时相向行走，甲第一分钟走20m，以后每分钟比前1分钟多走2m;乙第一分钟走30m，以后每分钟比前1分钟少走1m，问甲？厲 乙开始行走后，经过几分钟相遇.对于这样的题目，学生要能从“以后每分钟比前1分钟多走2m”、“以后每分钟比前1分钟少走1m”看出这是数列问题，进而找寻相应的公式.学生发现可利用等差数列求和公式分别表示出甲、乙走的路程，再由Sn+Tn≥315可得到关于n的不等式，最后结合n∈N进而求得结果.有了这样的分析之后，学生先是依据题目的表述，将相关的信息以数列的语言展现出来.他们设甲第n分钟走的路程为an，则an是以20为首项，2为公差的等差数列，则其前n项和Sn=20n+nn-12×2=n2+19n.接着教师指定班上的一个学生问，那么乙怎么设，学生想到设乙第n分钟走的路程为bn，则bn是以30为首项，-1为公差的等差数列，其前n项和Tn=30n-nn-12=-n22+612n.“从相距315m的两处同时相向行走”得出，Sn+Tn=12n2+992n≥315，即n2+99n-630≥0;n≤-105或n≥6，又n∈N，所以经过6分钟他们相遇.

2  规范解题过程，关注计算步骤和转化依据

规范解题过程就是让学生的思考遵循一定的程序，关注计算步骤能让学生在复核时更容易纠正问题，进而提升反思能力;关注转化依据就是培养学生严谨的学习态度，进而也促进他们解题能力的发展.

例2 已知函数fn=n-1+n-2+n-3+…+n-20，其中n是自然数.分别计算f1，f5，f20的值;当n为何值时，fn取得最小值？最小值是多少.

对于第一问，教师可指导学生分别将n=1，n=5，n=20代入fn中即可得到結果;

n=1时，f1=0+1+2+…+19=20×0+192=190;

n=5时，f5=4+3+2+1+0+1+2+3+…+15=10+15×1+152=130;

n=20，f20=19+18+17+…+0=f1=190.对于第二问，学生需要分别在0≤n≤20和n>20两种情况下整理得到fn，也就是说，学生要有具体的步骤，要有最大值、最小值形成的转化依据.教师引导他们结合二次函数和一次函数单调性可确定最小值..当0≤n≤20且n∈N时，fn=n-1+n-2+…+2+1+0+1+2+…+20-n=n-1n-1+12+20-n1+20-n2=n2-21n+210=n-2122+3994，因为n∈N，当n=10或11时，fn取得最小值100.接着他们讨论当n>20且n∈N时的情况：fn=n-1+n-2+…+n-20=20n-20×1+202=20n-210≥20×21-210=210.所以当n=10或11时，fn取得最小值100.同样地，教师可设这题，已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn.求an及Sn;令bn=1a2n-1 （n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn.通过这题进一步地提升学生规范解题的能力，提升计算能力、转化问题的能力.

对于第一问，学生首先要规范化地将题目表述转化，即，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.其次要规范计算过程，他们由a3=7，a5+a7=26，进而推得a1+2d=7，2a1+10d=26;解得a1=3，d=2;最终得，an=2n+1，Sn=n（n+2）.对于最后一问，他们要规范转化，他们由第一问，转化出这样的式子：bn=14n（n+1）=141n-1n+1，接着他们用利用裂项相消求和法可求得结果.

3  逐步提升逻辑推理能力

在数列学习的过程中，教师需要进一步地提升学生的推理能力，培养学生从已知条件一步步地推理出结论的能力.推理能力是重要的数学能力，是高阶思维的一种，教学中教师要强化学生这方面的能力，也提升他们的思维品质.

例3 已知数列an的前n项和Sn=n2+n2，数列bn满足bn=1an，若bn，bn+2，bn+k（k∈N，k>2）成等差数列，则k的值不可能是4、6、8还是10？这题学生需要进行这样的推理，他们先是要利用an与Sn的关系，推理出an，进而再推理出bn，然后根据bn，bn+2，bn+k（k∈N，k>2）成等差数列，展示出n与k的关系.具体地，一学生是这样推理的，当n=1时，a1=S1=22=1;当n≥2an=Sn-Sn-1=n2+n2-n-12+n+12 ，故an=n（n∈N），bn=1an=1n（n∈N）.因为bn，bn+2，bn+k（k∈N，k>2）成等差数列，所以2bn+2=bn+bn+k，即2n+2=1n+1n+k，所以k=4nn-2=4+8n-2，（k>2，k∈N）.学生的推理很严谨，他将n分成不同的情况，进而得出n-2的取值为1，2，4，8，则对应的k的值为12，8，6，5，所以他们推理出k的值不可能是4，10.

提升学生的推理能力就是将能力的发展放在重要的位置.强化计算能力就是让学生不但知道为什么出发，还要知道为什么出发，即，从回到原点，提升学生学科素养.

参考文献：

[1]高考中关联数表的数列问题的研究与创新[J]. 刘胡良，宋宝和.数学通报. 2019（11）

[2]2020年高考全国Ⅰ卷数列试题分析及备考建议[J]. 郑胜文.中学数学研究（华南师范大学版）. 2020（17）