线上线下混合教学模式在傅里叶级数教学中的应用

◎张艳娟 马德宜 柳福祥 （三峡大学理学院，湖北 宜昌 443002）

一、引 言

从2012 年开始，MOOC 热席卷全球，深刻影响和改变了传统教育模式.尤其是近五年，超星、雨课堂、慕课堂和钉钉智能移动办公平台等教学软件发展迅速，使学生打破原有固定而封闭的学习时空限制，能够充分利用多样化媒体终端，不仅提高了学生的学习积极性，还能够让学生主动参与到学习当中，进而提升学习质量和效率.

傅里叶级数是高等数学课程的一个基本且重要的知识点，具有较好的几何和代数性质.学习傅里叶级数不仅能够培养学生的数学素质，而且傅里叶级数在物理学科、移动通信等工学学科具有非常广泛的应用.本文以傅里叶级数教学为例，以激发学生学习兴趣、提高学生学习效率、培养学生综合应用能力为导向，注重教学由教师为主体的传统型教学理念向以学生为中心的自主型教学理念转变，针对三峡大学教学的实际情况和大学生自身的特点，借5G 技术带来的发展契机，充分利用网络教学资源的优势，建构最优的网络资源平台，弥补网络教学资源的不足，保证网络教学质量，探索如何将现代数学教育理念运用到线上线下混合式教学的改革与实践中.

二、复数域傅里叶级数线上线下混合教学设计

首先，研究省内外大学数学线上线下混合教学模式的形势，了解其如何制订培养目标和计划，对省内外网络信息平台上的大学数学教学资源等内容进行研究与整合，在严格遵守国家有关版权法律法规的前提下，研发适合于三峡大学学生在网络环境下的有效应用形式与内容.

其次，教学内容是线上线下混合教学质量的核心，主要包括教材、讲义、课件、作业等.其中教材建设是首要任务.本文针对三峡大学开设的学科专业课程模式和学生的特点，从通俗性、直观性、趣味性和可读性等角度，修订傅里叶级数课堂讲义和相关课程学习的各种辅导资料，进一步修订三峡大学数学课程中的高等数学系列教材，突显教材的亲和性和它的自学功能.三峡大学复数域傅里叶级数的授课对象是大学一年级下学期的学生.通过高等数学、线性代数以及概率论与数理统计等基础课程的学习，学生已经具备了微积分的计算能力、矩阵的运算能力、用矩阵方法解决实际问题的能力以及运用概率与统计方法分析和解决实际问题的能力，同时学生的抽象思维能力和数学建模能力也受到了一定的训练.但是，学生还没有建立数学与他们的专业之间的关联，因此在复数域傅里叶级数的线上线下混合教学中，应该根据三峡大学各个学院开设的学科专业课程模式，建立学生的数学与专业应用的认知，通过增加相应的实际问题应用案例，加入相关的科普知识来拓宽学生的视野，增强学生的认知能力，让学生了解如何运用数学知识解决实际问题，以增强学生对大学数学课程的兴趣，提升学生的数学素质，为进一步学习专业课打下基础.

（1）教学设计的思路

线上线下混合式教学与传统教学的主要区别在于线上线下混合式教学更加强调线上优质的、开放的、共享的教学资源对教师“教”的支撑及对学习者“学”的助力，通过利用信息技术开展启发式、探究式、讨论式、参与式教学.按照传统的授课方式教学完傅里叶级数及收敛定理后，通常学生的反应是：摸不着头绪，无从入手，很难理解.研究三峡大学傅里叶级数教学过程中存在的问题，有助于严格傅里叶级数教学质量控制的制度化管理.教学质量控制的各个环节一旦经过教学团队确立后，将作为制度进行严格执行，各部分内容会做成标准化的模块逐渐展开，以确保教学质量的稳定性和持续性.随形势变化需要调整内容时，需在制度执行周期结束后，大学数学教学团队协商修订.标准化和制度化的教学流程是解决因个体差异而导致教学质量不稳定的重要保证.因此，设计适合线上课程与传统教学相结合的混合式教学模式，引领学生逐步理解傅里叶级数的内涵，才是解决教学难题的关键所在.

（2）教学目标

首先要保证傅里叶级数教学的质量.这也是线上线下教学的核心问题.设计教学思路以及教学过程，提出大学数学教学质量控制的命题的目的是明确大学数学线上线下教学主要环节的主要工作，并选择与其相适应的多样化、互补的教学模式，实现对教学过程的全程管理.同时，通过对线上线下教学过程的分析，提炼影响网络教学质量的关键点，可以更好地完成线上线下教学任务，保证线上线下教学的质量.其次要引导学生在通过微视频和课件从具体问题情境分析抽象出傅里叶级数概念，并且在预习的过程中学会数学语言的表述，进行积极有效地学习.构建网络教学中基于大数据背景下教学实时反馈和学生反馈评价机制，促使教师关心网络教学过程中自身行为的效用以及在线上线下教学的过程中要注意因材施教，有针对性地调整教学重点与教学方式，保证线上线下教学的教学质量.

（3）教学过程设计

基于教学要求、线上学习资源、线上互动、线上测试等活动综合考虑，我们对傅里叶级数的线上线下混合教学内容进行了设计.首先教师提前在长江雨课堂中发布傅里叶级数教学内容的PPT 课件以及重点难点，为学生的课前准备提供指引.学生的课前工作主要是根据教师发布的课件、布置的任务和相关资料自主地进行理论学习，然后在班级群中向教师反馈学习疑点和难点.授课教师需要在课前对学生提出的疑点问题进行收集整理.其次是在课堂教学环节，授课教师针对课前学生集中反馈的难懂、不会的知识点进行讲解.与此同时，教师作为引导者，通过提问鼓励学生积极参与课堂的教学，引导学生进行更深层次讨论，以便能够准确地掌握学生的学习情况，及时地调整上课进度.课堂最后10 min 左右，进行教学效果的检测，以达到对所学内容的巩固和深化，保证教学质量.每章结束后进行傅里叶级数教学内容的测试.考试结果是学情的一种直观展示.考试既可以及时发现教学中的不足，提高学生的听课效率，又可以在后继的教学中有针对性地查缺补漏.考试是提高教学质量的有效途径.

傅里叶级数教学模式：“教师—网络教学—学生”三位一体，“课前—课中—课后”三个环节紧密衔接、相辅相成.教学流程图如图所示：

傅里叶级数的教学设计：

①借助长江雨课堂发布预习课件，并提出预设问题：

问题1 什么是三角级数？ 如何理解三角函数系的正交性？

问题2 为什么傅里叶级数收敛定理又可理解为展开定理？

问题3 周期为2π 的周期函数（）展开为傅里叶级数有哪些步骤？

②概念引入：首先回顾线性代数中正交基的概念，思考函数空间正交基的表示，再向学生展示波是怎样叠加的，将教学内容和学生的经验联系起来.设置提问：如何将一个周期函数展开成三角函数？ 利用三角函数的正交性傅里叶系数，让学生猜想三角函数中系数的计算公式.开展互动教学，进一步举例，让学生明白本节内容的教学重点与难点.

函数（）的傅里叶级数的前4 阶的图形如下图所示：

④课堂检测：学生在课堂上根据授课教师布置的习题进行练习，能够更好地掌握和巩固傅里叶级数的知识，保证教学质量.

三、教学反馈

通过线上线下混合式教学实践发现，课堂上学生能够认真听讲，并且与授课教师展开积极互动.从课堂检测以及课后布置的作业来看，学生对于所讲的重点内容大部分都能够掌握.为了了解和改进线上线下混合式教学改革实践的效果，教学团队围绕傅里叶级数教学的效果以及评价展开问卷调查.调查在授课班级的学生中随机选择121 人.调查开展的时间为2021 年3 月1 日至2021 年6 月18 日.问卷调查的每种选项对教学效果的评价以及影响设置为不同意、中立、同意三个等级.被调查的学生匿名地对问卷选项做出选择，收回问卷121 份.其中，同意选项占89.72%，中立选项占10.28%，不同意选项占0%.通过问卷调查反馈的结果可以看出，80%以上的学生对线上线下混合式教学和混合式学习持肯定态度，认为这种教学方式能够弥补传统课堂教学的不足.

运用学生对教师教学情况的反馈评价，以及学院教学督导团对大学数学线上线下教学课程的随听随查和教学效果及时有效反馈，使授课教师意识到在教学过程中兼顾传统教学与线上教学的差异性，有针对性地调整教学重点与教学方式，不断在自我总结与改进中提升教学质量，不仅能促进师生之间和学生之间信息沟通的广度和深度，而且有利于学生对知识的掌握和理解，有效地提高了课堂教学质量.大学数学教学线上线下混合教学模式有效开展与实施，将会有效地提高学生自身的自学能力、存在问题与老师及时交流沟通的能力、自主解决问题的能力以及对自我客观评价的能力，从而为学生的大学生活与未来职业生涯奠定良好的数理基础.