遵循学生的学习历程，让思维“发声”

北京十五中 郑毅斌 黄思祺

一、问题的提出

20世纪上半叶，就出现了数学思维。国外数学思维的研究，在理论层面比较有代表性的人物是斯托利亚尔、弗赖登塔尔、奥加涅相等，在实践层面比较有代表性的人物是波利亚、克莱因、道尔等。我国早在春秋战国时代就已经有了提高受教育者思维能力的意识，孔子就是代表人物。目前数学教育同时担负了传授学生知识与培养学生思维能力两项重任。在这样的情况下，我国数学教育工作者也一直在寻找如何最大限度提高学生思维能力的方法。

二、问题的研究

（一）理论研究

1.什么是思维

通常意义上的思维，涉及所有的认知或智力活动。它探索与发现事物的内部本质联系和规律性，是认识过程的高级阶段，是人脑对客观事物间接、概括的反映。

2.思维的特征是什么

思维具有间接性和概括性的特点。间接性是指不是直接通过感觉器官而是通过其他媒介来认识客观事物。概括性则表现在思维反映的是同一类事物共同的、本质的属性以及事物的内部联系和规律。当然，思维还有一个特征就是具有内隐性，不易被发现、不易被察觉，有了问题也不易被纠正。

3.如何在课堂上进行思维养成

“思维养成”是指通过有效的课堂构建和教学方式设计，启发学生思考，形成具有延续性和持续性思维方式。余文森指出，有效课堂是指创造课堂的高效益，这要求作为教育主体之一的教师，从课堂教学的基本要素和基本环节入手，创设和生成有价值的情境和问题是提升课堂教学有效性的前提。

（二）实践研究

1.设计案例

下面以高中数学课程中非常经典的一节课《函数单调性》为例，设计一节关注学生思维养成的一堂课。以下为教学实录及设计意图说明。

环节1 概念引入

问题1：在初中是怎样描述函数变化趋势的？以二次函数y=x2为例说明。

【预设学生活动】学生回顾初中知识，结合函数图像作答。

设计意图：让学生从已有认知基础出发，回顾从“形”到“数”、从图形语言到文字语言的转化过程。

【预设学生活动】学生在平面直角坐标系中利用描点法作图，再从图像上读取该函数的变化趋势，但由于取点的不同，一部分学生会忽略掉（0，1）区间上的点，从而导致信息读取错误或不完整，具体如图1所示。

图1 描点法作图

追问1：通过手工描点得到的图像准确吗？．

追问2：能否直接从解析式出发判断函数的变化趋势？

设计意图：这里的设计是为了通过作图让学生思维第一次发“声”，暴露思维中的错误和不严谨之处，再从不同的声音中引发认知冲突，让学生体会在高中阶段从代数角度再次研究单调性的意义所在，及用代数方法研究函数单调性的必要性。

环节2 概念形成

问题3：如何用符号语言描述函数的变化趋势？

问题3．1：如何用符号语言描述在［1，＋∞）区间上，f（x）随x的增大而增大？

【预设学生活动】学生交流讨论，第一次得到符号表述

追问1：什么叫x增大，一个变量能表示增大吗？

追问2：存在两组就行，存在无数组，任意两组都满足才行？

【预设学生活动】学生在刚才的基础上进一步修正完善表述方式，第二次得到符号表述

设计意图：对高一学生来说，直接得到单调性符号语言的准确阐述无疑是困难的，因为学生没有类似的经验，所以这里设置子问题搭设台阶，引导学生逐字逐句地将文字语言转化为严谨的数学符号语言，这里是学生思维的第二次发“声”。

追问1：请尝试用符号语言给出函数y=f（x）在区间I上单调递增的定义

追问2：类比增函数的定义，试着给出减函数的定义

【预设学生活动】学生交流讨论，建构定义，并将自己给出的定义与教材中的定义进行比较、修正

设计意图：这里是学生思维的第三次发“声”，在理解特殊函数单调性符号语言阐述的基础上，将其推广到一般函数中，并借此渗透从特殊到一般的转化思想，再通过类比思想由增函数定义得到减函数定义。

在上面概念形成的整个过程中，充分体现了学生的主体地位，在自主建构定义的过程中培养学生的数学抽象素养，培养了数学直觉思维和形象思维。

环节3 概念辨析

问题4：判断下列命题的真假，并说明理由。

①设函数y=f（x）的定义域为R，若f（1）＜f（3），则函数f（x）在［1，3］上为增函数。

②若函数f（x）在区间［1，2］和（2，3］上均为增函数，则函数f（x）在区间［1，3］上为增函数。

【预设学生活动】先独立思考，并将自己的答案和想法记录下来，再与同组同学交流讨论，选定代表上台通过实物投影展示本组成果。虽然此处刚刚学习完单调性的代数定义，但学生还是会更多地选择先从图像角度入手来举反例。

设计意图：再一次引导学生由“形”到“数”加深对函数单调性概念的理解，尤其让学生体会单调性定义中“任意”的必要性，通过两个具体的例子将其对“任意”的理解发“声”出来。

环节4 概念应用

【预设学生活动】学生上黑板板演过程，并向全体同学阐述自己的思路和想法

设计意图：学生思维的第四次发“声”，回扣课堂开始时提出的问题，并由此例引导学生发现并总结用定义证明函数单调性的一般步骤，培养学生数学逻辑思维。

环节5 目标检测

问题5：试用函数单调性的定义证明下列函数的单调性。

设计意图：① ③是三个特殊的一次函数、二次函数、反比例函数，这些函数都是学生在初中从图像角度研究过单调性的函数，但缺少严谨的代数证明，放在这里既可以作为单调性定义应用的练习，同时还可以弥补初中对单调性研究的缺憾；④是一个对学生来说陌生的函数，对④的研究相当于对一个一般函数单调性研究方法和思路的重现，可以让学生再次体会如何从“数”的角度判断函数单调性。这里可以布置为学生的课后作业，让学生的思维发“声”从课上延续到课下。

2.设计点评

目前教育要大力培养学生的核心素养，直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算和数据分析，这些基本素养正是数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现。让学生在课堂教学中展示出来，这样合理的高中数学教学情境创设，对提高学生的核心素养是很有必要的，同时合理的情境也能充分展示知识的形成过程，展示学生的思维过程，让他的思维发生，让思维发“声”。

本节课在教学过程中数学情境包括现实情境、纯数学情境和科学情境。教师搭设合理的情境，让学生更深刻地意识到数学情境可以帮助他们去理解新知识，从而让学生更加深刻地认识知识的内涵。

“概念的引入”的情境创设基于几个原因：一是从学生认知的简单函数模型入手，回顾已学的知识，动手操作解决新的问题，既增加了学生的学习动机，让学生对知识更感兴趣，也为学生提供了合作性学习的机会，为学生提供一个探究学习的平台；二是启发学生思维，培养学生创新能力。这个情境的搭设主要是以学生的学为主体，让他们把思维彻底展现出来，使教师更好地理解他们的认知过程。搭设合理的台阶，帮助他们更好地认识知识。思维外显化通过学生的语言表达，展示学生的思维历程，通过学生的抽象概括，学生的互相倾听交流，得到相关的结论。

“概念辨析”为学生提供了一个充分表达自我想法的环节，让学生互相交流讨论，给学生机会互相倾听同伴的意见，汲取合理因素，整理出相对正确的数学结论。交流就需要学生用数学语言来表述自己的思路和想法，那么思维势必要先“发生”，然后再“发声”。思维外显化凸显学生解决问题的过程，对教师把控课堂的教学进度很有必要。

“概念形成”教师适时引导，学生自主建构相结合的半开放性探究教学，为学生搭设台阶，让学生发现其中的关键点，运用自己的语言描述相关的概念，虽然不是很成熟的表达，但是合理表达能让教师体会到学生的想法，更好地指导，同时也让学生经历了探索的过程，不是将概念硬塞给他。学生掌握知识有一个循序渐进的过程，对知识的认知不是停留在死记硬背上，对知识的理解就更深刻。

正是这样一节节探究课的实施，学生在课堂教学过程中，充分发挥了主体地位，全程参与到知识的理解掌握过程中，能从中感悟到数学知识的实质性内容，领会到其中所蕴含的数学素养，使数学思维得到锻炼，将思维通过语言表述出来，进而与教师和同伴分享思维过程，对促进学生全面发展，提高核心素养起到积极的作用。

三、思考与展望

数学家柯朗指出：“今天，数学教育的传统地位陷入严重的危机。数学教学有时竟变成一种空洞的解题训练。教师、学生和一般受过教育的人都要求有一个建设性的改造，其目的是要真正理解数学是一个有机整体，是科学思考与行动的基础。”高中数学课程以立德树人为根本任务，要求培养学生的科学精神和创新意识，而这一过程往往会随着学生所处时代背景和思维方式的转变而发生变化，固守的经验主义收效甚微。

学习数学的本质是让学生思维本质得到提升，那么如何调动学生，让学生思维发“声”是教师每节课前要思考的问题。教师有时认为学习数学关键是解题方法，但是如果强行给出方法，让学生套用，学生就变成了解题的机器，而问题其中的精髓学生没有悟到。设置问题链，给学生提供思维发“声”的借力点，学生的思维慢慢展开，逐步深入，可极大地提升学生对思维的认识，也使学生对知识掌握的更通透，更明了。

借用一位特级教师的话：“思维是一种力量！因为只有思维才最接近数学学习的本质；只有思维，才能让我们变得越来越聪明、智慧！”这也正是数学教学应该培养学生所具备的品质。